翟 頡, 徐人平

(昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 云南 昆明 650093)

0 引言

標(biāo)志，在視覺上就是一種表明事物特征的形象記號(hào)，是通過人所具有的知覺、思維、記憶、情感等作用而得以認(rèn)知的.由于設(shè)計(jì)作品存在藝術(shù)性和多樣性等特點(diǎn)，因此其設(shè)計(jì)過程沒有固定的模式和方法，但變化之中仍有許多基本規(guī)律和共同原理可以遵循.標(biāo)志設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)，就是進(jìn)行圖形變換，通過圖形變換達(dá)到符合審美的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn).在標(biāo)志設(shè)計(jì)中，這種共性的審美因子，除了人所共知的圖形圖像所表現(xiàn)的意義之外，主要是指人所共有的基本平衡感、節(jié)奏感、韻律感等.一方面，這些秩序美是審美的感受；另一方面，它們也是重要的造型手段.圖形變換的合理利用有助于反映和表現(xiàn)標(biāo)志設(shè)計(jì)的主題內(nèi)容，增強(qiáng)標(biāo)志設(shè)計(jì)的美感[1-3].

平衡，是形態(tài)秩序再造所要達(dá)到的最基本要求，是一種可視量和非可視量在質(zhì)與量上的對(duì)比與和諧的關(guān)系，它不僅將節(jié)奏感、韻律感融合于對(duì)稱美之中，還巧妙地將有規(guī)律的共性與富有創(chuàng)意的個(gè)性融匯于作品之中，因此在標(biāo)志設(shè)計(jì)中得到了廣泛使用.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派指出“和諧是數(shù)的結(jié)構(gòu)，它是最重要的數(shù)的規(guī)定性，它規(guī)定事物，使事物能夠被認(rèn)識(shí)；和諧是最美的.”任何一個(gè)物體都可以看作是一定數(shù)量的點(diǎn)按一定規(guī)律排列的集合，所以我們?cè)谘芯课矬w與表示其圖形之間的關(guān)系時(shí)，可以將其歸結(jié)為研究物體上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與該物體圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，而這種坐標(biāo)之間的聯(lián)系及其坐標(biāo)的變換就是我們所說的圖形變換.這些變換可以是圖形的對(duì)稱變化、旋轉(zhuǎn)變化和平移變化，也可以是回轉(zhuǎn)變化等，它們都可以用矩陣的方法進(jìn)行表現(xiàn)，同時(shí)也正是標(biāo)志設(shè)計(jì)中最常見的造型手段，給人以平衡的視覺感受.圖形變換的矩陣方法是圖形數(shù)字化處理的最佳方式，也是計(jì)算機(jī)繪圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和重要手段.掌握?qǐng)D形變換的矩陣知識(shí)對(duì)分析標(biāo)志設(shè)計(jì)中的圖形關(guān)系具有非常重要的作用[4，5].

矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的重要組成部分，它的概念和運(yùn)算法則是研究構(gòu)成藝術(shù)必不可少的工具之一，應(yīng)用得當(dāng)可以對(duì)圖形進(jìn)行空間上的變換，并對(duì)標(biāo)志設(shè)計(jì)起到積極的作用[6].

1 矩陣在標(biāo)志設(shè)計(jì)中的作用

標(biāo)志設(shè)計(jì)，在操作上就是根據(jù)載體的需要，將圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)通過外部形態(tài)表現(xiàn)出來.雖然審美的心理過程存在著較大的主觀性差異，但審美也具有超越個(gè)性與地域文化特征的共性因子，體現(xiàn)在圖形上就是指人所共有的基本平衡感，它既是審美表現(xiàn)的基本目的，又是造型活動(dòng)的基本思路.通過數(shù)字運(yùn)算，運(yùn)用矩陣的理論，合理地將點(diǎn)、線、面排列、組合并巧妙地將其安排在標(biāo)志設(shè)計(jì)當(dāng)中則能更準(zhǔn)確、更便捷的呈現(xiàn)出其審美特征，使得圖形數(shù)字化，因此清楚地分析其圖形關(guān)系，對(duì)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)也具有十分重要的意義.

在標(biāo)志設(shè)計(jì)的造型活動(dòng)中，每當(dāng)畫面中新增一個(gè)點(diǎn)、一條線、一個(gè)塊面，或者是改變了原有形態(tài)的排列組合方式，就會(huì)在畫面原有的視覺關(guān)系基礎(chǔ)上又增加多層次、多角度的視覺變化關(guān)系.一般情況下，標(biāo)志設(shè)計(jì)中所使用的視覺元素越多，畫面視覺關(guān)系就越復(fù)雜，在矩陣運(yùn)算上也就越復(fù)雜，它需要幾種矩陣變換相疊加而最終得出所需要的圖形.

眾所周知，任何一個(gè)物體都可以看作是一定數(shù)量的點(diǎn)按一定規(guī)律排列的集合，它們都可以用某些圖形來表示，所以我們?cè)谘芯课矬w與表示其圖形之間的關(guān)系時(shí)，可以將其歸結(jié)為研究物體上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與該物體圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，而這種坐標(biāo)之間的聯(lián)系及其坐標(biāo)的變換就是我們所說的圖形變換.根據(jù)需要，任何二維或是三維的圖形，都可通過變化而形成新的圖形，這些變換可以是圖形的對(duì)稱變化、旋轉(zhuǎn)變化和平移變化，也可以是回轉(zhuǎn)變化等.它們也正是標(biāo)志設(shè)計(jì)中最常見的造型手段，給人以平衡的視覺感受，這些都可以用矩陣的方法進(jìn)行表現(xiàn).

這樣就建立了平面圖形的數(shù)學(xué)模型.

圖形變換的實(shí)質(zhì)就是研究圖形之間所對(duì)應(yīng)的構(gòu)成關(guān)系，這種關(guān)系決定著設(shè)計(jì)作品是否美觀且具有注目性.作者在文獻(xiàn)[7]中已指出這種有秩序的圖形關(guān)系對(duì)標(biāo)志設(shè)計(jì)起到了十分積極的作用.要想使作品具有韻律感和節(jié)奏感，滿足人們審美的基本平衡感，在設(shè)計(jì)過程中就應(yīng)當(dāng)把體現(xiàn)對(duì)稱美作為造型設(shè)計(jì)的基本思路，這種造型方法在自然科學(xué)中就是我們所說的矩陣變換，為了使圖形在計(jì)算機(jī)中達(dá)到反射對(duì)稱、回轉(zhuǎn)對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、移動(dòng)對(duì)稱等圖形變換，使圖形具有有力的節(jié)奏感，并產(chǎn)生高度統(tǒng)一的秩序感和較強(qiáng)的視覺沖擊力，就要利用矩陣的方法使圖形數(shù)字化，最終能夠更好、更容易地進(jìn)行標(biāo)志設(shè)計(jì)，使其滿足人們的審美需求.

2 標(biāo)志設(shè)計(jì)中的矩陣變化

平衡，是客觀世界本質(zhì)規(guī)律在設(shè)計(jì)中的反映，也是人類在現(xiàn)實(shí)中賴以生存的基本生理感覺之一.在標(biāo)志設(shè)計(jì)中，平衡是構(gòu)成設(shè)計(jì)整體協(xié)調(diào)的基本保證，可以給人以舒服的視覺享受和安全感.我們所研究的以靜感為主導(dǎo)的平衡是指：以對(duì)稱性原理構(gòu)成的形態(tài)平衡關(guān)系，也稱之為均齊.依據(jù)對(duì)稱關(guān)系的不同特點(diǎn)，又可將視覺形態(tài)對(duì)稱的形式分為反射對(duì)稱、回轉(zhuǎn)對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、移動(dòng)對(duì)稱4種主要類型.就標(biāo)志設(shè)計(jì)而言，其運(yùn)用十分廣泛，它在知覺上表現(xiàn)出以靜為主，靜中有動(dòng)的特點(diǎn)，在形態(tài)特征上具有重復(fù)性和理性且裝飾性強(qiáng)的特點(diǎn)，通常給人以典雅、高貴、和諧、可信任的感受，容易取得審美的和諧與滿足.

2.1 反射對(duì)稱

反射對(duì)稱也稱為軸對(duì)稱.反射對(duì)稱的特點(diǎn)是，當(dāng)以一條中心軸劃分形態(tài)時(shí)，中心軸兩側(cè)的形態(tài)可呈現(xiàn)出一種完全對(duì)稱重合的“鏡像反應(yīng)”關(guān)系，這種對(duì)稱形式在標(biāo)志設(shè)計(jì)中應(yīng)用十分廣泛.由于它是一種在對(duì)稱軸兩側(cè)以等量和等形的精確平衡為特征所構(gòu)成的絕對(duì)對(duì)齊形式，所以在各種平衡的形式中是一種呼應(yīng)關(guān)系最嚴(yán)謹(jǐn)、穩(wěn)定感最突出的平衡形式，在標(biāo)志中有利于表現(xiàn)莊重、穩(wěn)定、嚴(yán)肅、成熟、安靜等主題的設(shè)計(jì).依據(jù)形體關(guān)系中對(duì)稱軸的方向和數(shù)量，反射對(duì)稱還可分為豎軸反射、橫軸反射、斜軸反射和多軸反射，如表1所示，我們可以看出，在同一形態(tài)關(guān)系中，對(duì)稱軸的數(shù)量越多，平衡感越強(qiáng).用矩陣的方式表示如下.

2.1.1 豎軸反射

當(dāng)豎軸為Y軸時(shí)，關(guān)于Y軸對(duì)稱變換，點(diǎn)對(duì)Y軸對(duì)稱，應(yīng)有x′= -x,y′=y,則變換矩陣為:

(1)

2.1.2 橫軸反射

當(dāng)橫軸為X軸時(shí)，關(guān)于X軸對(duì)稱變換，點(diǎn)對(duì)X軸對(duì)稱，應(yīng)有x′=x,y′= -y, 則變換矩陣為:

(2)

2.1.3 斜軸反射

橫軸為X軸時(shí)，關(guān)于+45°線的對(duì)稱變換，點(diǎn)對(duì)+45°線對(duì)稱，應(yīng)有x′=y,y′=x,

(3)

2.1.4 多軸反射

(4)

2.2 回轉(zhuǎn)對(duì)稱

回轉(zhuǎn)對(duì)稱是由反射對(duì)稱演化而來的一種對(duì)稱形式，雖然其對(duì)稱軸兩側(cè)的形態(tài)是等量、等形、相對(duì)呼應(yīng)的，但在對(duì)稱軸兩側(cè)的形態(tài)動(dòng)勢(shì)是以頭尾相反的方向安排的.在這種對(duì)稱方式中，由于運(yùn)動(dòng)方向的強(qiáng)烈矛盾，導(dǎo)致整個(gè)標(biāo)志的造型產(chǎn)生明顯的跳躍感，它既能保持形態(tài)相互呼應(yīng)的對(duì)稱特征，又能在整體的對(duì)稱關(guān)系中構(gòu)成較強(qiáng)運(yùn)動(dòng)感的平衡形式.如表2所示，依據(jù)回轉(zhuǎn)對(duì)稱的方向特征也可分為豎軸回轉(zhuǎn)、橫軸回轉(zhuǎn)、斜軸回轉(zhuǎn)和曲軸回轉(zhuǎn)4種組織方式,用矩陣的方式表示如下.

2.2.1 豎軸回轉(zhuǎn)

(1)首先將圖形的基點(diǎn)平移到原點(diǎn)上，然后繞基點(diǎn)(原點(diǎn))旋轉(zhuǎn)180°后，再將基點(diǎn)平移回原位,則變換矩陣為：

(5)

(2)接著將(x,y)擴(kuò)展為(x,y, 1),并將圖形在y向上平移一個(gè)單位圖長m,得出變換矩陣為：

(6)

2.2.2 橫軸回轉(zhuǎn)

(1)首先將圖形的基點(diǎn)平移到原點(diǎn)上，然后繞基點(diǎn)(原點(diǎn))旋轉(zhuǎn)180°后再將基點(diǎn)平移回原位，則變換矩陣為公式(5).

(2)接著將(x,y)擴(kuò)展為(x,y, 1),并將圖形在x向上平移一個(gè)單位圖長l,得變換矩陣為：

(7)

2.2.3 斜軸回轉(zhuǎn)

(1)首先將圖形的基點(diǎn)平移到原點(diǎn)上，然后繞基點(diǎn)(原點(diǎn))旋轉(zhuǎn)180°后再將基點(diǎn)平移回原位.

(2)將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，并使這一斜軸與X軸或Y軸其中一軸相重合，并沿軸的方向平移一個(gè)圖形長度l.

2.2.4 曲軸回轉(zhuǎn)

(1)首先將圖形的基點(diǎn)平移到原點(diǎn)上，然后繞基點(diǎn)(原點(diǎn))旋轉(zhuǎn)180°后再將基點(diǎn)平移回原位,.則得到相應(yīng)的變換矩陣如公式(5)所示.

(2)沿軸方向平移一個(gè)長度l.

表1 反射對(duì)稱圖例

表2 回轉(zhuǎn)對(duì)稱圖例

2.3 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱是以一個(gè)點(diǎn)為中心，將對(duì)稱軸按均等的角度呈放射狀順向重復(fù)排列，從而構(gòu)成在視知覺中具有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的對(duì)稱秩序關(guān)系，這種視覺語法的造型關(guān)系運(yùn)用于標(biāo)志設(shè)計(jì)中一般采用2至6個(gè)對(duì)稱軸，給人以規(guī)整、嚴(yán)謹(jǐn)之感而又不失內(nèi)在的活力，可營造較強(qiáng)的注目性，如表3所示.用矩陣的方式表示如下：平面圖形想要繞任意點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)任意角度，需要4個(gè)步驟，我們這里把任意點(diǎn)定義為0(x0,y0)，旋轉(zhuǎn)角度α分別為180°、90°、72°、60°.

(1)首先將旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)平移到原點(diǎn)，則變換矩陣為：

(8)

(2)接著將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，變換矩陣為：

(9)

(3)再將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來的位置，其變換矩陣為：

(10)

(4)最后得出繞任意點(diǎn)o的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

2.4 移動(dòng)對(duì)稱

移動(dòng)對(duì)稱是指通過等間距移動(dòng)對(duì)稱軸，使相同的單元形態(tài)有規(guī)則地重復(fù)排列，這種形態(tài)關(guān)系具有構(gòu)成簡便、節(jié)奏明晰且可無限重復(fù)的特點(diǎn).如表4所示，移動(dòng)對(duì)稱可分為：橫向移動(dòng)、豎向移動(dòng)、斜向移動(dòng)和四向移動(dòng)4種形式.用矩陣的方式表示如下：首先要對(duì)點(diǎn)向量進(jìn)行擴(kuò)充，將[xy]擴(kuò)充為[xy1]，即把點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為n×3階矩陣，這樣點(diǎn)集矩陣與變換矩陣即可進(jìn)行乘法運(yùn)算，l,m分別為x,y方向上的平移量.

表3 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖例

表4 移動(dòng)對(duì)稱圖例

2.4.1 橫向移動(dòng)

橫軸為X軸時(shí)，圖形在X方向上進(jìn)行平移，則變換矩陣為公式(7).

2.4.2 豎向移動(dòng)

豎軸為Y軸時(shí)，圖形在Y方向上進(jìn)行平移，則變換矩陣為公式(6).

2.4.3 斜向移動(dòng)

圖形首先在X方向上進(jìn)行平移，得出變換矩陣為公式(7)，再在Y向上進(jìn)行平移，則變換矩陣為公式(6).

2.4.4 四項(xiàng)移動(dòng)

圖形首先在Y軸方向上進(jìn)行平移，得出變換矩陣為公式(6)，再在X向上進(jìn)行平移，則變換矩陣為公式(7).

3 結(jié)束語

(1)研究物體上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與該物體圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，就是我們所說的圖形變換.矩陣?yán)碚搼?yīng)用得當(dāng)可以對(duì)圖形進(jìn)行空間上的變換，并對(duì)標(biāo)志設(shè)計(jì)起到積極的作用.

(2)標(biāo)志設(shè)計(jì)的共性審美因子體現(xiàn)在圖形上，就是指人所共有的基本平衡感，它將節(jié)奏感和韻律感很好地融合在一起，既是審美感受，也是造型活動(dòng)的基本思路.

(3)平衡是形態(tài)秩序再造所要達(dá)到的最基本要求.依據(jù)對(duì)稱關(guān)系的不同特點(diǎn)，又可將視覺形態(tài)對(duì)稱的形式分為反射對(duì)稱、回轉(zhuǎn)對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、移動(dòng)對(duì)稱4種主要類型.對(duì)稱美是符合審美規(guī)律的.

(4)任何一個(gè)物體都可以看作是一定數(shù)量的點(diǎn)按一定規(guī)律排列的集合，它們都可以用某些圖形來表示.

(5)反射對(duì)稱、回轉(zhuǎn)對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、移動(dòng)對(duì)稱這些圖形變換用矩陣的方式表現(xiàn)出來，應(yīng)用于標(biāo)志設(shè)計(jì)中可以使得標(biāo)志設(shè)計(jì)手段更有章可循，設(shè)計(jì)作品更符合審美標(biāo)準(zhǔn).

(6)圖形變換的矩陣方法是圖形數(shù)字化處理的最佳方式，也是計(jì)算機(jī)繪圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和重要手段.合理地將點(diǎn)、線、面排列、組合，巧妙的安排在標(biāo)志設(shè)計(jì)當(dāng)中，則能更準(zhǔn)確、更便捷的呈現(xiàn)出其審美特征和圖形關(guān)系，對(duì)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)也具有十分重要的作用.

[1]郭茂來.視覺藝術(shù)概論[M].北京：人民美術(shù)出版社，1999.

[2]王劍鋒.標(biāo)志構(gòu)成新解[M].南寧：廣西美術(shù)出版社，2004.

[3]張憲榮.設(shè)計(jì)符號(hào)學(xué) [M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004.

[4]徐人平.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)[M]北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2006.

[5]文 紅.標(biāo)志設(shè)計(jì)教程 [M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，2004.

[6]茍雙曉,徐人平.包裝視覺語法 [J].包裝工程,2006,27(5):10-12.

[7]翟 頡,徐人平.解讀標(biāo)志設(shè)計(jì)的秩序構(gòu)成[J].東北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,7(6):63-66.