張妙瑜

(西安石油大學(xué)電子工程學(xué)院 陜西西安)

基于FEPG的三線圈系動(dòng)態(tài)問題求解

張妙瑜

(西安石油大學(xué)電子工程學(xué)院 陜西西安)

基于有限元程序自動(dòng)生成平臺(tái)FEPG,建立了三線圈系動(dòng)態(tài)問題兩個(gè)未知場的有限元控制方程,通過編寫元件化程序,對(duì)陣列感應(yīng)測井儀器在地層運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)進(jìn)行了求解,實(shí)現(xiàn)了對(duì)其動(dòng)態(tài)問題的透明計(jì)算。結(jié)果表明該方法可以用于二維電磁場問題計(jì)算,為研究三維時(shí)諧電磁場問題,開發(fā)出更多地層模型的測井響應(yīng)數(shù)值計(jì)算軟件奠定了基礎(chǔ)。

三線圈系;電磁場;有限元控制方程;FEPG

0 引 言

有限元方法是50年代隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而發(fā)展起來的一種求解偏微分方程的數(shù)值計(jì)算方法[1]。它是當(dāng)今求解偏微分方程最有效的數(shù)值方法,其原理是基于微分方程弱解形式(即力學(xué)中的虛位移原理)。由于它通用性強(qiáng)、使用廣泛,作為具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值分析工具,很快成為各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域與各種生產(chǎn)部門,尤其是高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)普遍采用的工程與科學(xué)計(jì)算方法[2]。

目前出現(xiàn)的通用有限元軟件并不通用,只能求解很少的一部分有限元問題,不公開源代碼,純黑箱操作,對(duì)用戶來說程序是不可改動(dòng)的,極大地限制了用戶的創(chuàng)造性。而有限元程序自動(dòng)生成系統(tǒng)FEPG(Finite Element Program Generator),適用于求解各種領(lǐng)域的各種工程與科學(xué)的有限元問題,本文通過數(shù)學(xué)公式推理的方式,建立FEPG所需的微分方程表達(dá)式和算法表達(dá)式,對(duì)三線圈系陣列感應(yīng)測井儀器在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱地層中電磁場分布進(jìn)行求解,從而編程實(shí)現(xiàn)了對(duì)地層電磁場動(dòng)態(tài)問題的透明計(jì)算。

1 有限元程序自動(dòng)生成軟件FEPG設(shè)計(jì)思想

對(duì)于一個(gè)有限元問題的描述主要是兩方面的內(nèi)容:一方面是物理模型的描述,在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為偏微分方程表達(dá)式;另一方面是給出求解區(qū)域和邊界條件,統(tǒng)稱為幾何建模。FEPG系統(tǒng)是基于虛位移原理(即弱形式)而不是變分原理,要求用戶將物理模型書寫成弱形式的微分方程表達(dá)式,然后利用有限元語言來描述該物理模型。它把完整的有限元程序分解為可變部分和不可變部分。不變部分系統(tǒng)直接給出,可變部分是根據(jù)方程和算法用有限元語言描述,通過生成系統(tǒng)自動(dòng)產(chǎn)生,然后可變部分和不變部分組成完整的有限元程序,如圖1所示。每個(gè)元件程序都是一個(gè)完整的FORTRAN程序,可以單獨(dú)進(jìn)行編譯、連接與運(yùn)行,它們之間的通信完全通過磁盤文件[2]。

圖1 有限元程序自動(dòng)生成示意圖

用戶需要給出三種類型的文件:一種是描述有限元控制方程的PDE文件,由這些文件自動(dòng)生成計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?、單元阻尼矩陣和單元載荷向量等單元子程序;再一類是GCN文件,給出多場問題中單場問題的算法來形成多場問題的算法,同時(shí)給出各物理場之成系統(tǒng)可由這些表達(dá)式自動(dòng)生成全部的間的耦合方式以及求解流程;最后一類是GIO文件,給出各個(gè)物理場的PDE文件名以及求解區(qū)域的體單元類型信息及坐標(biāo)系名。有限元程序自動(dòng)生有限元程序,突破了國內(nèi)外的通用有限元軟件只適用于特定領(lǐng)域和特定問題的限制。對(duì)電磁場分布來講,在通用軟件中研究其本構(gòu)模型是不可能的,但利用該平臺(tái),用戶可以使用自己的本構(gòu)模型[2]。

2 三線圈系陣列感應(yīng)測井儀器電磁場分布的有限元控制方程

2.1 電磁學(xué)基本方程

感應(yīng)測井工作頻率為20 kHz,電磁波在地層中的趨膚深度一般在1 m～10 m范圍內(nèi),因此嚴(yán)格的感應(yīng)測井理論是建立在Maxwell方程的基礎(chǔ)之上,它是感應(yīng)測井電磁場理論的基礎(chǔ)[3]。

Maxwell方程[4]在測井問題中很有用,感應(yīng)測井的場源是單一頻率并隨時(shí)間作正弦變化。即使不是單一頻率的正弦變化場,也可分解為基波和高次諧波的場的疊加。這里的電磁場源為電流源,JT=ITδ(r-a)δ (z-zs)φ^,φ^為單位矢量,是圓柱坐標(biāo)系(r,φ,z)中的φ方向;zs是發(fā)射線圈的縱向位置;a是線圈纏繞的芯棒半徑。

2.2 地層模型

三線圈系陣列沿井眼運(yùn)動(dòng),如圖2所示,記錄每個(gè)深度點(diǎn)的測量信號(hào)(接收電壓)。三線圈系中,T是發(fā)射線圈;R是接收線圈,接收來自地層各部分的信號(hào); B是屏蔽線圈。那么建立的地層模型為縱向3層、徑向4層[5]。

圖2 地層模型示意圖

2.3 耦合場的有限元控制方程

下面在基本方程(1)～(4)基礎(chǔ)上,利用虛位移原理和最小二乘法建立三線圈系動(dòng)態(tài)問題求解的有限元控制方程。二維時(shí)諧磁場微分方程向量形式為[6]

其中,H為磁場強(qiáng)度向量,E為電場強(qiáng)度向量,i為復(fù)數(shù)單位,omega為角頻率常數(shù),fmu為磁導(dǎo)率, sigma為電導(dǎo)率,epsilon為介電常數(shù),Js為源電流密度。

由上面得第一個(gè)方程有:

H=-Curl(E)/(i＊omega＊fmu)

代入第二個(gè)方程可得微分方程的弱形式為[7]:

[(i＊sigma - omega＊epsilon) ＊E;E] + [1/(fmu＊omega)＊Curl(E);Curl(E)]=i＊|n＊H;E|-[i＊Js;E]

其中,[· ; ·]表示區(qū)域上的兩個(gè)函數(shù)或表達(dá)式的內(nèi)積,“;”表示虛位移,也就是說“ ;”后面的表達(dá)式中出現(xiàn)的未知函數(shù)表示該函數(shù)的變分。|·;·|表示區(qū)域邊界上兩個(gè)函數(shù)或者表達(dá)式的內(nèi)積,“ ;”表示虛位移,也就是說“ ;”后面的表達(dá)式中出現(xiàn)的未知函數(shù)表示該函數(shù)的變分。n表示區(qū)域邊界上外法向單位向量,n＊H表示叉乘。

在二維問題中,我們只需求解 Ez(即 E的z向分量),即可求電場強(qiáng)度 Hx,Hy。

2.4 求解結(jié)果

圖3為剖分后的網(wǎng)格圖,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為24 779。圖4為第132個(gè)采樣點(diǎn)的電場強(qiáng)度實(shí)部云圖。圖5為串行計(jì)算測井響應(yīng)的散點(diǎn)圖,由圖5可知,其響應(yīng)基本反映原狀地層的性質(zhì),由于受地層非均質(zhì)影響以及網(wǎng)格剖分的限制,曲線在層界面有波動(dòng),因而曲線實(shí)際反映的是儀器周圍整個(gè)地層的綜合響應(yīng)。

圖3 網(wǎng)格圖

3 結(jié) 論

三線圈系陣列感應(yīng)測井儀器在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱地層中的電磁場分布在感應(yīng)測井響應(yīng)研究中處于核心地位。本文依據(jù)麥克斯韋方程建立電場及磁場的有限元控制方程,通過實(shí)施編程,對(duì)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度進(jìn)行了分析計(jì)算。該程序克服了一般通用有限元軟件的黑箱模型,其結(jié)果與實(shí)際地層響應(yīng)基本一致。目前斜井和水平井鉆井逐漸成為主流,因此,有必要在此基礎(chǔ)上,開發(fā)出更多地層模型的測井響應(yīng)數(shù)值計(jì)算軟件。

圖4 第132個(gè)采樣點(diǎn)的電場強(qiáng)度實(shí)部云圖

圖5 串行計(jì)算采樣點(diǎn)實(shí)部電壓散點(diǎn)圖

[1] 萬 水,陳建平.有限元程序生成系統(tǒng)及其在工程中的應(yīng)用[J].船舶力學(xué),2004,8(3)

[2] 趙增輝,王育平,陳 波,等.基于FEPG的壓電復(fù)合結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)問題求解[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2008,27(5)

[3] 胡 啟,仵 杰.感應(yīng)測井理論[M].西安:陜西人民教育出版社,1990

[4] 晁立東,仵 杰,王仲奕.工程電磁場基礎(chǔ)[M].西安:西北大學(xué)出版社,2002

[5] 北京飛箭軟件有限公司.FEPG.GID使用手冊.2003(資料)

[6] 北京飛箭軟件有限公司.FEPG用戶手冊.2003(資料)

[7] 黃 成.基于FEPG的電磁場計(jì)算若干問題的研究[D].北京:華北電力大學(xué),2004

P631.8+3

B

1004-9134(2010)02-0079-03

張妙瑜,女,1980年生,碩士在讀,講師,現(xiàn)在西安石油大學(xué)電子工程學(xué)院主要從事信息探測與處理技術(shù)方面研究。郵編:710065

2009-11-21 編輯:高紅霞)

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