秦愛芳, 羅 坤, 孫德安

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

國外研究學(xué)者從 20世紀 60年代開始研究非飽和土固結(jié)問題,典型的有 Blight[1],Scott[2], Barden[3],Fredlund[4-5]等提出的固結(jié)方程.20世紀90年代,非飽和土固結(jié)問題是國內(nèi)非飽和土力學(xué)研究的熱點,楊代泉[6]、陳正漢[7-9]、沈珠江[10]、殷宗澤[11]等先后研究了非飽和土的固結(jié)理論,并提出各自的見解.在非飽和土固結(jié)理論中比較完善的、具有權(quán)威性的是 Fredlund固結(jié)理論[4-5].

流變性作為土的重要工程性質(zhì)之一,引起了人們的高度重視.一些學(xué)者如陳宗基[12]、門福錄[13]、趙維柄[14]、李冰河[15-16]等將粘彈性模型如Maxwell, Kelvin及Merchant等模型引入到固結(jié)理論中,相應(yīng)的固結(jié)理論也得到了發(fā)展.但他們的研究都是針對飽和土,前面所介紹的非飽和土固結(jié)理論又都是針對彈性地基,目前對于粘彈性非飽和土地基固結(jié)的研究還很少.

如果已有線彈性解,引入柔度系數(shù)的 Laplace變換式V(s)來代替線彈性模型中的常數(shù) 1/E,便可解決粘彈性情況的同一問題,這個思想首先是由 E. H.Lee提出,被稱為李氏比擬法.錢家歡在求解固結(jié)問題時擴展了李氏比擬法的適應(yīng)范圍.本研究在粘彈性非飽和土固結(jié)問題求解中采用李氏比擬法.

秦愛芳等[17]首次基于 Fredlund的非飽和土一維固結(jié)理論得到一個有限厚度,且在大面積均布瞬時加載下,表面為透氣透水面、底面為不滲透面的線彈性非飽和土層一維固結(jié)的解析解.此方法可向多種邊界條件拓展.本研究在此基礎(chǔ)上采用李氏比擬法研究表面排氣不排水、底面不滲透的粘彈性非飽和土層的一維固結(jié)問題,得到了超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力及土層沉降的半解析解;給出了一個典型算例,探討該邊界下不同氣、水滲透系數(shù)比 ka/kw下,Kelvin體中彈性模量 E1和粘滯系數(shù)η等對非飽和土粘彈性地基的固結(jié)規(guī)律的影響,得到相關(guān)的固結(jié)曲線,揭示了非飽和土粘彈性地基的固結(jié)特性;最后,通過擬彈性情況下 (非飽和土粘彈性地基的粘滯系數(shù)為零)半解析解與彈性地基解析解的對比,從而驗證了半解析解的正確性.

1 計算簡圖和本構(gòu)模型

非飽和土層如圖 1所示,土層厚度為 H,地表作用有大面積均布瞬時荷載 q,坐標原點設(shè)在地表,深度方向 z向下為正,取底面積為 1、高度為 dz的單元體V0=1×1×dz為研究對象.

圖1 非飽和土層一維固結(jié)計算模型Fig.1 S implified model for one-d imensional consolidation in unsaturated soil

本研究采用Merchant模型 (三單元模型)為粘彈性地基模型,它由一個彈性體和一個 Kelvin體串聯(lián)而成,其中 Kelvin體由一個彈性體并聯(lián)一個粘性體而成.模型結(jié)構(gòu)如圖 2所示,其本構(gòu)方程為

對式(1)作關(guān)于時間 t的Laplace變換,得

圖2 M erchant模型Fig.2 M erchantmodel

2 半解析解推導(dǎo)

本研究基于 Fredlund的非飽和土的一維固結(jié)理論進行假設(shè)[17],針對Merchant粘彈性地基模型,應(yīng)用李氏比擬法,由得到的液相及氣相的控制方程、Darcy定律及 Fick定律,采用文獻[17]的方法,得到Laplace變換下 4個微分方程：

式中,

其中 s為 Laplace變量;ua,uw為超孔隙氣、水壓力;,為初始超孔隙氣、水壓力;,為超孔隙氣、水壓力的Laplace變換;Ja為 z方向上單位面積土體內(nèi)氣體的質(zhì)量流動速率及其 Laplace變換; vw,為非飽和土中的水在 z方向的流速及其Laplace變換;ka為非飽和土中的氣體滲透系數(shù)(m/s),假定為常數(shù);g為重力加速度;kw為非飽和土中的液體滲透系數(shù) (m/s),假定為常數(shù);γw為液相的重度;Va為氣體的體積;R=8.314 J/(mol·K)為通用氣體常數(shù);M為氣體的平均摩爾質(zhì)量;T為絕對溫度;n0為負載前的初始孔隙率;Sr0為負載前的初始飽和度;,為 K加荷條件下相應(yīng)于凈法0向應(yīng)力變化 d(σ-ua)的水體積、氣體體積變化系數(shù)的Laplace變換;,為 K0加荷條件下相應(yīng)于基質(zhì)吸力變化 d(ua-uw)的水體積、氣體體積變化系數(shù)的Laplace變換;E為相應(yīng)的彈性模量;η為相應(yīng)的粘滯系數(shù).

由式(3)～(6)得到矩陣形式的常微分方程為

式中,

矩陣常微分方程(7)的一般解為

根據(jù) Cayley-Hamilton理論[18],可求得矩陣 T (z,s),S(s).

土層頂面為排氣不排水面,底面為不滲透面,所以邊界條件為

初始條件為

可解得Laplace變換下任意深度處的超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力為

進一步可求得

對于簡單的 Laplace逆變換問題,可直接利用Laplace逆變換的數(shù)學(xué)表達式解決.而對于本研究,(z,s),(z,s)及(z,s)都極其復(fù)雜,且無法用解析式表示,需通過數(shù)值法進行逆變換.本研究采用精確度較高、較常用的Drubin和 Crump[19]方法編制程序?qū)κ?11)～(13)進行 Laplace逆變換,得到時間域內(nèi)土層內(nèi)任意深度、任意時間的超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及任意時刻地表沉降量.

3 計算與分析

設(shè)一水平方向無限的土層,層表面排氣不排水,層底不排氣不排水,主要土層參數(shù)如下：

圖3～圖 5表現(xiàn)了不同 ka/kw條件下超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及土層沉降隨時間的變化規(guī)律.從圖 3可以看出：超孔隙氣壓力的消散是在相對較短的時間內(nèi)完成的;ka/kw越大,超孔隙氣壓力越早開始消散;在對數(shù)坐標下,各種 ka/kw情況下,超孔隙氣壓力消散曲線的切線斜率 (消散率)幾乎相同.從圖 4可以看出：ka/kw越大,超孔隙水壓力越早開始消散,與超孔隙氣壓力的消散規(guī)律類似;當超孔隙氣壓力消散結(jié)束后,由于不排水,超孔隙水壓力將停止消散.從圖 5可以看出：當 ka＜kw時,土層沉降隨時間變化曲線呈反 S形,類似于飽和粘彈性土固結(jié)沉降曲線;當 ka≥kw時,土層沉降隨時間變化曲線呈雙 S形.從圖 5中還可以看出,前期 ka/kw越大,土層沉降開始越早,且當 ka≥kw時,中間有一段相對平緩的階段;后期不論 ka/kw值是多少,沉降曲線均趨于一致.這是由于后期超孔隙氣壓力消散完成后,不排水導(dǎo)致超孔隙水壓力也不消散.此外,當超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力均完成消散后,粘彈性地基土層并沒有完成固結(jié),還有較大的沉降量發(fā)生,這是由于土的粘滯性造成的.

圖3 不同 ka/kw條件下土中超孔隙氣壓力 ua/q隨時間的變化規(guī)律Fig.3 Change in excess pore gas pressureua/qin soil with t ime under differentka/kw

圖4 不同 ka/kw條件下土中超孔隙水壓力 uw/q隨時間的變化規(guī)律Fig.4 Change in excess pore water pressureuw/qin soil with t ime under differentka/kw

圖6為不同粘滯系數(shù)η下,土層沉降隨時間變化規(guī)律.可以看出：在擬彈性情況下,土的固結(jié)速度比其他情況都要快,且固結(jié)曲線呈反 S形;當粘滯系數(shù)η較大時,固結(jié)曲線呈雙 S形.前期(超孔隙氣壓力消散結(jié)束前)固結(jié)曲線趨于一致,且均比擬彈性情況下固結(jié)沉降稍小;后期 (超孔隙氣壓力消散結(jié)束后),粘滯系數(shù)越大,土的固結(jié)越緩慢,并且完成固結(jié)所需要的時間越長,這說明粘滯系數(shù)對土的固結(jié)的影響主要體現(xiàn)在固結(jié)過程的后期.

圖5 不同 ka/kw下沉降隨時間的變化規(guī)律Fig.5 Change in soil layer settlement with t ime under differentka/kw

圖6 ka/kw=1時不同粘滯系數(shù)η下沉降隨時間的變化規(guī)律Fig.6 Change in soil layer settlement with t ime under different coefficient of viscosityηwhenka/kw=1

圖7 ka/kw=1時不同彈性模量 E1下沉降隨時間的變化規(guī)律Fig.7 Change in soil layer settlement with t ime under different elastic ratioE1whenka/kw=1

圖7為不同彈性系數(shù) E1下沉降隨時間的變化規(guī)律.從圖中可明顯看出,隨著 E1的減小,土的固結(jié)沉降增大,前期土的固結(jié)沉降量基本不變.這說明Kelvin體中彈性模量E1對土的固結(jié)的影響,也是主要體現(xiàn)在固結(jié)過程的后期.

圖8～圖 10對比了非飽和土彈性地基一維固結(jié)的解析解與擬彈性情況下的半解析解的超孔隙氣壓力、水壓力及沉降隨時間的變化規(guī)律.從圖 8可以看出,兩條曲線呈相同規(guī)律,且曲線趨于一致.從圖9可以看出,兩條曲線呈相同規(guī)律,但彈性情況下,最終超孔隙水壓力消散比擬彈性情況快一些.從圖10可以看出,彈性情況與擬彈性情況固結(jié)曲線趨于一致,這也說明半解析方法是正確的.

圖8 彈性和擬彈性情況下土中超孔隙氣壓力 ua/ua0隨時間的變化規(guī)律Fig.8 Change in excess pore gas pressureua/ua0in soil with t ime under the elastic situation and the elastic s imulation situation

圖9 彈性和擬彈性情況下土中超孔隙水壓力 uw/uw0隨時間的變化規(guī)律Fig.9 Change in excess pore water pressureuw/uw0in soil with t ime under the elastic situation and the elastic s imulation situation

4 結(jié) 論

本研究采用李氏比擬法,針對Merchant粘彈性地基模型,采用Laplace變換等數(shù)學(xué)方法,建立求解非飽和土粘彈性地基的一維固結(jié)的半解析方法,所解的問題考慮有限厚度的粘彈性非飽和土層,處于一維受荷狀態(tài),土層表面為排氣不排水面,底面為不滲透面,取得以下結(jié)論：

(1)非飽和土粘彈性地基的固結(jié)過程中,超孔隙氣壓力、水壓力的消散呈相同規(guī)律,ka/kw越小,超孔隙氣壓力、水壓力越早開始消散,且均在較短時間內(nèi)完成.超孔隙氣壓力消散完成后,由于不排水,超孔隙水壓力也停止消散.

(2)當 ka＜kw(即 ka/kw=0.1)時,初期沉降較緩慢,沉降隨時間變化曲線呈反 S形,類似于飽和土固結(jié)沉降曲線;而當 ka≥kw時,沉降隨時間變化曲線呈雙 S形.

(3)Merchant模型中,Kelvin體的彈性模量 E1和粘滯系數(shù)η對非飽和土粘彈性地基的固結(jié)規(guī)律的影響主要體現(xiàn)在固結(jié)過程的后期,數(shù)值越大,后期土的固結(jié)越緩慢.

(4)對比了非飽和土彈性地基一維固結(jié)的解析解與擬彈性情況下的半解析解的超孔隙氣壓力、水壓力及沉降隨時間的變化規(guī)律,它們均呈相同的規(guī)律,曲線趨于一致,證實了半解析解的正確性.

圖10 彈性和擬彈性情況下沉降隨時間的變化規(guī)律Fig.10 Change in soil layer settlement with t ime under the elastic situation and the elastic s imulation situation

[1] BL IGHTG E.Strength and consolidation characteristics of compacted soils [D]. England：University of London,1961.

[2] SCOTTR F.Principles of soilmechanics[M].Boston：AddisonWesley Publishing Company,1963.

[3] BARDENL.Consolidation of compacted and unsaturated clays[J].Geotechnique,1965,15(3)：267-286.

[4] FREDLUNDD G, HASAN J U. One-dimensional consolidation theory unsaturated soils[J]. Canadian Geotechnical Journal,1979,17(3)：521-531.

[5] FREDLUNDD G,RAHARDJOH. Soil mechanics for unsaturated soil[M].New York：JohnW iley and Sons, 1993：224-226;525-578.

[6] 楊代泉.非飽和土廣義固結(jié)理論及其數(shù)值模擬與試驗研究[D].南京：南京水科院,1990.

[7] 陳正漢.非飽和土固結(jié)的混合物理論-數(shù)學(xué)模型、試驗研究、邊值問題[D].西安：陜西機械學(xué)院,1991.

[8] CHENZ H,XIED Y,L IUZD.Consolidation theory of unsaturated soil based on the theory of mixture(Ⅰ) [J].Applied Mathematics and Mechanics：English Edition,1993,14(2)：137-150.

[9] CHENZ H. Consolidation theory of unsaturated soil based on the theory of mixture(Ⅱ) [J].Applied Mathematics andMechanics：English Edition,1993,14 (8)：721-733.

[10] 沈珠江.非飽和土簡化固結(jié)理論及其應(yīng)用 [J].水利水運工程學(xué)報,2003(4)：1-6.

[11] 殷宗澤.土工原理[M].北京：中國水利水電出版社, 2007：350-364.

[12] 陳宗基.固結(jié)及次時間效應(yīng)的單向問題[J].土木工程學(xué)報,1958,5(1)：1-10.

[13] 門福錄.粘土固結(jié)與次時間效應(yīng)單維問題的近似解[J].水利學(xué)報,1963(1)：44-63.

[14] 趙維柄.廣義Voigt模型模擬的飽水土體一維固結(jié)理論及其應(yīng)用[J].巖土工程學(xué)報,1989,11(5)：78-85.

[15] 李冰河,謝康和,應(yīng)宏偉,等.變荷載下軟粘土非線性一維固結(jié)半解析解[J].巖土工程學(xué)報,1999,21(3)：288-293.

[16] 李冰河,謝康和,應(yīng)宏偉,等.初始有效應(yīng)力沿深度變化的非線性一維固結(jié)半解析解 [J].土木工程學(xué)報, 1999,32(6)：47-52.

[17] Q INA F,CHENG J,TANY W,et al.Analytical solution to one dimensional consolidation in unsaturated soils[J].AppliedMathematics andMechanics：English Edition,2008,29(10)：1329-1340.

[18] KORNGA,KORNT M.Mathematical handbook for scientists and engineerings[M].New York：McGraw-Hill Inc,1968.

[19] DURB INF. Numerical inversion of the Laplace transfor ms：an efficient improvement to Dubner and Abate’smethod[J].Comput J,1974,17：371-376.