張 勇， 靜 行， 袁海慶

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院, 湖北 武漢 430070)

結(jié)構(gòu)在服役期間由于受到?jīng)_擊、地震、風(fēng)荷載、腐蝕等作用，材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)會發(fā)生變化，由此必然會產(chǎn)生各種各樣的損傷[1]。如今，土木工程結(jié)構(gòu)的安全性問題日益引起人們的關(guān)注，尤其對于大型結(jié)構(gòu)而言，損傷無時(shí)無刻不威脅著人民的生命財(cái)產(chǎn)安全。因此，及時(shí)發(fā)現(xiàn)損傷并對其進(jìn)行修復(fù)顯得尤為重要。

結(jié)構(gòu)損傷識別一般可分為4個(gè)階段：結(jié)構(gòu)損傷存在性判斷、結(jié)構(gòu)損傷位置診斷、結(jié)構(gòu)損傷程度評估和損傷結(jié)構(gòu)剩余壽命估計(jì)[2]。目前的研究工作基本停留在第二階段。結(jié)構(gòu)損傷定位的標(biāo)識量應(yīng)該具備以下基本條件：一是局域量，二是對結(jié)構(gòu)局部損傷敏感，三是關(guān)于結(jié)構(gòu)位置坐標(biāo)的單調(diào)函數(shù)[3]。

曲率模態(tài)損傷識別法的基本原理是因損傷所致的構(gòu)件截面剛度突變而引起截面的曲率變化，但曲率模態(tài)對于結(jié)構(gòu)小程度損傷不敏感，而且難以反映模態(tài)節(jié)點(diǎn)處的損傷。為此，本文通過數(shù)值仿真計(jì)算，對曲率模態(tài)曲線進(jìn)行一次微分，發(fā)現(xiàn)得到的曲率模態(tài)變化率曲線對于結(jié)構(gòu)損傷具有更高的敏感性，而且對模態(tài)節(jié)點(diǎn)處損傷同樣能夠較好地進(jìn)行識別。

1 曲率模態(tài)結(jié)構(gòu)損傷識別理論

這里以梁為例來討論曲率模態(tài)的相關(guān)理論依據(jù)[4]，其結(jié)論可以適用于任何類型的線性結(jié)構(gòu)。忽略軸向力的影響，梁振動的微分方程為：

(1)

式中，υ(x,t)是橫向振動位移，a1為Rayleigh阻尼剛度比例因子。

根據(jù)模態(tài)理論，方程(1)的解可以表示為模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加形式

(2)

式中，j為模態(tài)階數(shù)；φj(x)和qj(t)分別是梁位移模態(tài)振型和模態(tài)坐標(biāo)。

依據(jù)材料力學(xué)理論中彈性梁彎曲變形曲線曲率與位移的關(guān)系，任意截面x處梁彎曲振動曲線的曲率變化函數(shù):

(3)

由材料力學(xué)知，梁的彎曲靜力關(guān)系式

(4)

式中，M為梁截面彎矩；E為梁的彈性模量；I(x)為梁的截面抵抗矩。

由式(3)、式(4)可知，曲率模態(tài)隨結(jié)構(gòu)剛度的變化而變化，即曲率模態(tài)對結(jié)構(gòu)損傷敏感，而且曲率模態(tài)與位移模態(tài)是一一對應(yīng)關(guān)系。

對于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，由于目前尚缺乏能夠直接測量結(jié)構(gòu)曲率響應(yīng)的傳感器，因此利用中心差分方法近似計(jì)算曲率模態(tài)振型[5]

(5)

該方法需要有足夠密的測點(diǎn)，或精度非常好的插值擴(kuò)階模態(tài)，否則將增大曲率模態(tài)計(jì)算的誤差。

結(jié)構(gòu)不同程度的損傷，會導(dǎo)致曲率模態(tài)相應(yīng)程度的變化，一般用突變模態(tài)差(損傷處左右側(cè)二測點(diǎn)與完好狀態(tài)曲率模態(tài)差的絕對值)表示：

(6)

2 曲率模態(tài)變化率損傷指標(biāo)

2.1 問題的提出

將幾何尺寸為900 mm×40 mm×10 mm的某簡支梁劃分為45個(gè)梁單元有限元模型，應(yīng)用有限元軟件模擬簡支梁完好狀態(tài)、跨中損傷兩種工況，進(jìn)行模態(tài)數(shù)值仿真計(jì)算分析。

完好狀態(tài)下梁的彈性模量為2.1×1011MPa，泊松比取0.3，通過降低單元彈性模量模擬損傷。圖1為利用位移模態(tài)差分計(jì)算所得的相應(yīng)曲率模態(tài)曲線φ″(x)，在計(jì)算中為了減小差分帶來的誤差，事先用三次樣條曲線對位移模態(tài)曲線進(jìn)行了插值處理。圖2為突變曲率模態(tài)差與損傷量的關(guān)系。對曲率模態(tài)仿真結(jié)果進(jìn)行分析可以看到如下問題:

(a) 一階

(b) 二階

(c) 三階

(d) 四階圖1 跨中損傷曲率模態(tài)曲線

圖2 突變曲率模態(tài)差與損傷量的關(guān)系

(1)各階模態(tài)反映損傷的情況并不相同，跨中損傷曲率模態(tài)曲線φ″(x)的一階和三階模態(tài)在跨中損傷處發(fā)生突變，而二階和四階模態(tài)節(jié)點(diǎn)處(即振型振幅為0的點(diǎn))卻并未發(fā)生明顯變化，表明曲率模態(tài)對于模態(tài)節(jié)點(diǎn)處損傷并不敏感。

(2)圖2表明，采用曲率模態(tài)差可以對結(jié)構(gòu)的損傷程度進(jìn)行定量研究，但是曲率模態(tài)差的計(jì)算要求知道結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)下曲率模態(tài)數(shù)據(jù)，而對于大多數(shù)已建成的橋梁結(jié)構(gòu)，建成時(shí)往往未必有相應(yīng)的量測數(shù)據(jù)。

2.2 改進(jìn)的敏感參數(shù)φ?(x)

對式(3)兩邊求導(dǎo)得曲率變化率：

?j(x)qj(t)

(7)

由式(4)、(7)可知，曲率模態(tài)變化率φ?(x)隨結(jié)構(gòu)剛度的變化而單調(diào)變化，即φ?(x)對結(jié)構(gòu)損傷敏感。根據(jù)φ?(x)與位移模態(tài)的一一對應(yīng)性可知，φ?(x)是結(jié)構(gòu)位置坐標(biāo)的單調(diào)函數(shù)。因此，作為局域量的φ?(x)能滿足損傷定位指標(biāo)的基本要求。

現(xiàn)對圖1曲率模態(tài)曲線進(jìn)行一次微分，得到的曲率模態(tài)變化率曲線φ?j(x)(如圖3)。微分計(jì)算一般采用差分法

(8)

從圖3得知，采用差分法得到的曲率模態(tài)變化率φ?(x)曲線圖，二階和四階模態(tài)曲線在跨中模態(tài)節(jié)點(diǎn)處發(fā)生了明顯突變；而且一階和三階曲線在跨中損傷附近區(qū)域產(chǎn)生了更加劇烈的變化：從一側(cè)極大(或極小)值，經(jīng)過零點(diǎn)很快達(dá)到另一側(cè)極小(或極大)值，此區(qū)域內(nèi)兩個(gè)極值點(diǎn)之間的范圍即為結(jié)構(gòu)損傷的大致影響區(qū)，兩極值的中點(diǎn)即是結(jié)構(gòu)損傷位置，并且各損傷量下的曲線幾乎同時(shí)相交于損傷位置點(diǎn)，這也表明曲率變化率φ?(x)模態(tài)曲線具有很強(qiáng)的損傷定位能力。

由此可見，φ?(x)對結(jié)構(gòu)損傷的敏感程度高于曲率模態(tài)。損傷越大，φ?(x)曲線突變越明顯。因此，也可以根據(jù)φ?(x)突變大小判定結(jié)構(gòu)的損傷程度。既然φ?(x)曲線在結(jié)構(gòu)損傷處發(fā)生劇烈變化，則φ?(x)曲線突變極值差Δ(即損傷處左右兩側(cè)二節(jié)點(diǎn)極值差的絕對值)更能反映損傷曲線突變性，而且突變極值差的絕對值還可以消除試驗(yàn)或計(jì)算誤差所引起的突變現(xiàn)象。令

(a) 一階

(b) 二階

(c) 三階

(d) 四階圖3 跨中損傷曲率模態(tài)變化率曲線

Δj=|φ?j2-φ?j1|

(9)

式中，φ?j1、φ?j2分別是j階模態(tài)損傷節(jié)點(diǎn)左右兩側(cè)二節(jié)點(diǎn)的模態(tài)值。

圖4 突變極值差Δ與損傷量的關(guān)系

圖4為一階和三階突變極值差Δ與損傷量的關(guān)系。結(jié)構(gòu)損傷處突變極值差Δ與損傷量之間基本保持線性關(guān)系。Δ越大，損傷程度越大。另一方面，采用突變極值差作為結(jié)構(gòu)損傷程度的研究指標(biāo)，無需結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)下的模態(tài)數(shù)據(jù)。

3 基于曲率變化率指標(biāo)的數(shù)值算例

設(shè)有幾何尺寸為2×450 mm×80 mm×20 mm的二跨連續(xù)梁。模擬四種工況：①無損；②左跨中5%損傷+中間支座5%損傷；③左跨中10%損傷+中間支座處10%損傷；④左跨中10%損傷+中間支座20%損傷。

通過ANSYS軟件計(jì)算出位移模態(tài)數(shù)據(jù)，再采用差分法得到一階、二階曲率模態(tài)φ″(x)曲線和曲率模態(tài)變化率φ?(x)曲線如圖5所示。從圖中不難看出，在本例多損情況下曲率模態(tài)的一階、二階曲線在損傷處變化并不明顯，而曲率模態(tài)變化率φ?(x)一階、二階曲線在左跨中損傷處發(fā)生明顯突變，并且中間支座損傷處的曲線也發(fā)生了明顯變化，進(jìn)一步表明φ?(x)指標(biāo)不僅能反映模態(tài)節(jié)點(diǎn)處損傷，對于結(jié)構(gòu)支座處損傷仍然能夠做出敏感反應(yīng)，而且低階φ?(x)曲線即可反映出結(jié)構(gòu)的損傷特性。由此可見，相比曲率φ″(x)模態(tài)指標(biāo)而言，曲率模態(tài)變化率φ?(x)指標(biāo)對于結(jié)構(gòu)損傷識別具有更高的敏感度。

(a) 一階曲率

(b) 一階曲率變化率

(c) 二階曲率

(d) 二階曲率變化率圖5 多處損傷曲率與曲率變化率曲線

4 結(jié) 語

本文在曲率模態(tài)的基礎(chǔ)上提出新的結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)-曲率模態(tài)變化率φ?(x)。數(shù)值仿真算例表明新指標(biāo)相對于曲率模態(tài)對于結(jié)構(gòu)損傷具有更高的敏感性。由曲率模態(tài)變化率φ?(x)曲線圖可知，突變區(qū)域內(nèi)兩個(gè)極值點(diǎn)之間的范圍即為結(jié)構(gòu)損傷的大致影響區(qū)，兩極值的中點(diǎn)即是結(jié)構(gòu)損傷位置；而且損傷處左右側(cè)二節(jié)點(diǎn)突變極值差Δ與損傷量之間保持著良好的線性關(guān)系。

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