潘海澤,黃遠(yuǎn)春,,汪 磊,劉仍奎,胥耀方

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院,上海 201620； 2.北京交通大學(xué)軌道交通安全與控制國家重點實驗室,北京 100044；3.北京交通大學(xué)交通長江學(xué)者研究中心,北京 100044)

我國新建200 km/h的客貨共線鐵路,既有線也提速到200 km/h。速度高、軸重大、運行條件復(fù)雜,對線路的整體平順性提出了更嚴(yán)格的要求[1～3]。軌道質(zhì)量狀態(tài)的評價主要依靠軌檢車的檢測數(shù)據(jù),其方法有2種:一種是通過峰值管理來評價線路的狀態(tài)；另一種是均值管理,用軌道不平順統(tǒng)計特征值,即軌道質(zhì)量指數(shù)(TQI)來評價軌道狀態(tài)[4～6]。歐美及日本等許多國家的鐵路也都用軌道譜診斷和綜合評判鐵路軌道的平順性。歐洲高速鐵路采用軌道譜反演曲線的上、下限界譜,對軌道的平順性進(jìn)行評判[7～11]。

軌道不平順的評價指標(biāo)一般有峰值和區(qū)段內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差兩種[12～13],但鑒于這2種指標(biāo)無法反映不平順波長的影響,因此有學(xué)者又增加了利用功率譜指標(biāo)來評價軌道不平順的方法,故描述軌道不平順狀態(tài)一般有3個指標(biāo)：不平順的最大值、不平順的區(qū)段標(biāo)準(zhǔn)差、不平順的功率譜[14～16]。本文主要研究幾何形位不平順的狀態(tài)影響。在分析國外軌道幾何不平順預(yù)測模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合國內(nèi)的實際情況,對軌道不平順的區(qū)段標(biāo)準(zhǔn)差提出不同方法建立預(yù)測模型,并對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析比選。

1 灰色預(yù)測模型的建立及應(yīng)用研究

1.1 灰色預(yù)測模型GM(1,1)的基本原理

GM(1,1)反映了一個變量對時間的一階微分函數(shù),其相應(yīng)的微分方程為

式中，x(1)為經(jīng)過一次累加生成的數(shù)列；t為時間；a,u為待估參數(shù),分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)[6]。建立一次累加生成數(shù)列。設(shè)原始數(shù)列為

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)},

i=1,2,…,n

按下述方法做一次累加,得到生成數(shù)列(n為樣本空間)

(1)利用最小二乘法求參數(shù)a、u。設(shè)

參數(shù)辨識a、u

(2)求出GM(1,1)的模型

(3)對模型精度的檢驗。檢驗的方法有相對誤差檢驗、殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗。

首先計算原始數(shù)列x(0)(i)的均方差S0。其定義為

最后根據(jù)預(yù)測精度等級劃分表(表1),檢驗得出模型的預(yù)測精度。

表1 預(yù)測精度等級劃分

(4)如果檢驗合格,則可以用模型進(jìn)行預(yù)測。即用

作為x(0)(n+1),x(0)(n+2),……的預(yù)測值。

1.2 基于GM(1,1)模型的TQI預(yù)測

數(shù)據(jù)選取軌檢車檢測數(shù)據(jù)庫中滬昆線上行的數(shù)據(jù),檢測時間分別為2008年4月第1遍、2008年4月第2遍、2008年5月第1遍、2008年5月第2遍、2008年6月第1遍、2008年6月第2遍,預(yù)測的時間為2008年7月第1遍,間隔時間為90 d。長度上分別選取工務(wù)段、車間、工區(qū)管轄范圍內(nèi)的線路長度的平均TQI以及1 km和200 m的TQI數(shù)據(jù),作者利用灰色預(yù)測原理設(shè)計并開發(fā)了相應(yīng)軟件以便計算。以下為此軟件的計算預(yù)測結(jié)果。

(1)曲靖工務(wù)段(K2 471～K2 532)的TQI預(yù)測。通過軟件進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果如圖1所示。

平均相對誤差為0.004 038,小于0.01,Δ6=0.004 36<0.01,所以預(yù)測精度為一級。

預(yù)測的結(jié)果為11.636 0,實際檢測值為12.13。

圖1 曲靖工務(wù)段(K2 471～K2 532)的TQI預(yù)測

(2)K2 500 TQI預(yù)測。

圖2 K2 500 TQI預(yù)測

(3)多里程點(K2 500～K2 520)TQI預(yù)測,單元區(qū)段為200 m。預(yù)測結(jié)果及預(yù)測的絕對誤差見圖3、圖4。

圖3 多里程點(K2 500～K2 520)TQI預(yù)測

圖4 多里程點(K2 500～K2 520)TQI預(yù)測絕對誤差

1.3 灰色預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果分析

將以上分析的一元線性回歸的預(yù)測結(jié)果和灰色預(yù)測模型的結(jié)果歸納如表2所示。

由表2的統(tǒng)計結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),灰色預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果比一元線性回歸分析模型的精確度有所提高。其主要原因是，灰色預(yù)測的累積運算有效減少的數(shù)據(jù)隨機(jī)波動性的影響。與一元線性回歸相比,灰色預(yù)測能在各種里程范圍內(nèi)都取得較好的預(yù)測結(jié)果。但是不論是一元線性回歸還是灰色預(yù)測,對短區(qū)段的TQI預(yù)測偏差較大。

表2 TQI預(yù)測結(jié)果匯總

2 灰色-馬爾可夫預(yù)測模型

灰色預(yù)測的優(yōu)勢在于短期預(yù)測,缺點在于對長期預(yù)測和波動較大數(shù)據(jù)序列的擬合較差。而馬爾可夫預(yù)測的對象是一個隨機(jī)變化的動態(tài)系統(tǒng),對于長期預(yù)測和隨機(jī)波動較大的數(shù)據(jù)序列的預(yù)測效果較好,但是,馬爾可夫預(yù)測對象要求具有平移過程。將灰色預(yù)測與馬爾可夫預(yù)測兩者結(jié)合起來,形成灰色-馬爾可夫預(yù)測模型,不僅能揭示數(shù)據(jù)序列的發(fā)展變化總趨勢,又能預(yù)測狀態(tài)規(guī)律。用馬爾可夫預(yù)測方法對于解決無后效性的預(yù)測有獨到之處,兩者結(jié)合不僅避免考慮其他多種影響因素,還可使預(yù)測具有較強(qiáng)的科學(xué)性和實用性。

2.1 灰色-馬爾可夫預(yù)測模型原理

應(yīng)用灰色-馬爾可夫預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測的基本思路是[17]：

(2)狀態(tài)劃分：以γ′(k)曲線為基準(zhǔn),劃分成與γ′(k)曲線平行的若干條形區(qū)域,每個條形區(qū)域構(gòu)成一個狀態(tài),任意狀態(tài)區(qū)間Qi表示為Qi=[Q1i,Q2i],(i=0,1,2,…,T)。式中：Q1i=γ′(k)+Ai,Q2i=γ′(k)+Bi,Ai,Bi可根據(jù)具體情況自行確定,顯然狀態(tài)Qi具有時態(tài)性。

(3)計算轉(zhuǎn)移概率矩陣：公式為

Pij(m)=Mij(m)/mi(i,j=1,2,3…,T)(6)

式中，Pij(m)為由狀態(tài)Qi經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移到Qj的概率；T為劃分狀態(tài)數(shù)組；Mi為原始數(shù)據(jù)按一定概率落入狀態(tài)Qi的樣本數(shù)；Mij(m)為由狀態(tài)Qi經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到Qj的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。

當(dāng)狀態(tài)劃分不太合適,以至于某一狀態(tài)中無原始數(shù)據(jù)落入時,則可令Pij(m)=Pji(m)=0。由此,可求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣p(m)來預(yù)測未來狀態(tài)轉(zhuǎn)向

(7)

(4)確定預(yù)測值：當(dāng)Qd確定后,也就確定了預(yù)測值的變動區(qū)間[Q1d,Q2d]，則有

(8)

(5)模型精度檢驗：檢驗公式為

ε(k)=q(0)(k)/x(0)(k)

式中，q(0)(k)為殘差；ε(k)為相對誤差。

2.2 模型計算及分析

如上文所述灰色-馬爾可夫適用于長期預(yù)測和隨機(jī)性較大的預(yù)測,所以本節(jié)將此灰色-馬爾可夫預(yù)測模型分別應(yīng)用于較小區(qū)間范圍(1 km,隨機(jī)性較大),較短時間(15 d)和較長時間范圍(45 d)的TQI預(yù)測。

(1)較短時間范圍的TQI預(yù)測

如上文所述灰色-馬爾可夫適用于長期預(yù)測和隨機(jī)性較大的預(yù)測,所以本論文將此模型應(yīng)用于小區(qū)間的預(yù)測(1 km和200 m的單元區(qū)段,隨機(jī)性較大)。下面以1 km區(qū)段為例來描述模型的應(yīng)用。

步驟 1：建立灰色 GM(1,1)模型。

由本文2.1節(jié)直接獲得灰色GM(1,1)預(yù)測公式

(9)

式中a=-0.001 791 78,u/a=10.233 632 17

γ′=(10.16,10.261 026,10.279 428,10.277 863,10.316 331,10.334 833,10.353 367)。預(yù)測結(jié)果如圖5所示。

圖5 K2 500 TQI預(yù)測

步驟 2：狀態(tài)劃分。

圖6 狀態(tài)劃分

步驟3：計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

在狀態(tài)劃分圖中,橫坐標(biāo)表示時間,縱坐標(biāo)為TQI值;實線為趨勢曲線,相鄰兩實線之間為一狀態(tài),點為原始數(shù)據(jù)。根據(jù)狀態(tài)劃分圖,容易計算出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

則可認(rèn)為2007年6月第2遍檢測TQI值處于狀態(tài)?1,所以2007年7月第1遍檢測TQI預(yù)測值為

2007年7月下半月TQI預(yù)測值與實際值比較見表3。

表3 TQI對照(短時間)

(2)較長時間范圍的TQI預(yù)測

數(shù)據(jù)的選取和預(yù)測的步驟都同上,將灰色-馬爾可夫模型與一元線性回歸分析模型與灰色預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果對照見表4。

表4 TQI對照

(3)結(jié)果分析

由以上預(yù)測分析可見,當(dāng)原始數(shù)據(jù)存在隨機(jī)波動性時(如本研究實例),應(yīng)用灰色-馬爾可夫組合預(yù)測方法進(jìn)行預(yù)測,比直接應(yīng)用灰色GM(1,1)模型預(yù)測更能反映TQI值的變化,短期預(yù)測精確度達(dá)到95.46%,提高了0.78%。長期預(yù)測達(dá)到了95.93%,比灰色預(yù)測提高了2.49%。因此,利用灰色-馬爾可夫組合預(yù)測方法,分析和預(yù)測時間序列數(shù)據(jù)信息,不僅可以避免自然環(huán)境、人的主觀因素等影響,還可以提高預(yù)測精確度,具有較強(qiáng)的科學(xué)性和實用性。

3 結(jié) 論

軌道結(jié)構(gòu)的變形是無法避免的,其影響因素很多,目前,國內(nèi)尚缺乏一個能全面反映軌道不平順發(fā)展的預(yù)測公式。本文基于昆明鐵路局的實際數(shù)據(jù),提出了灰色預(yù)測模型和灰色-馬爾可夫預(yù)測模型。通過將兩種模型預(yù)測結(jié)果與一元線形回歸的預(yù)測結(jié)果對比分析,得出下列結(jié)論。

(1)TQI的灰色預(yù)測模型,不僅適用于較長區(qū)段的TQI預(yù)測,對于更長區(qū)段的TQI預(yù)測也有比較好的效果,所以適用范圍更為廣泛,但是模型的計算過程相對復(fù)雜。

(2)灰色-馬爾可夫預(yù)測模型在灰色模型的基礎(chǔ)上,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)一步降低由不平順變化的隨機(jī)性帶來的影響,不僅能夠預(yù)測隨機(jī)性較強(qiáng)的TQI數(shù)據(jù),也能應(yīng)用于較長時間范圍內(nèi)的預(yù)測。但由于要建立復(fù)雜的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和需要大量的檢測數(shù)據(jù)來建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,所以需要進(jìn)一步的收集歷史檢測數(shù)據(jù)才能更好的進(jìn)行軌道不平順的預(yù)測。

[1] 許玉德,周 宇.既有線軌道質(zhì)量指數(shù)的分布與不平順權(quán)重系數(shù)統(tǒng)計分析[J].中國鐵道科學(xué),2006,27(4)：71-73.

[2] 陳憲麥,王 瀾,陶夏新等. 我國干線鐵路軌道平順性評判方法的研究[J].中國鐵道科學(xué),2008,29(4)：21-22.

[3] 張格明.160 km/h線路軌道不平順管理標(biāo)準(zhǔn)的研究[J].中國鐵道科學(xué),1995,16(4):31-41.

[4] 陳憲麥,王 瀾,陶夏新,等.我國干線鐵路通用軌道譜的研究[J].中國鐵道科學(xué),2008,29(3):73-77.

[5] 周 正,趙國堂.軌道質(zhì)量指數(shù)計算問題的探討[J].中國鐵道科學(xué),2003,24(3):64-68.

[6] 周 宇,練松良.基于遺傳算法的軌道綜合養(yǎng)護(hù)決策系統(tǒng)的研究[J].中國鐵道科學(xué),2008,29(6):132-134.

[7] Coudert F, Sunaga Y, Takegami K. Use of Axle Box Acceleration to Detect Track and Rail Irregularities[C]. WCRR, 1999．

[8] Bocciolone M, Coprioli A, Cigada A. A measurement system for quick rail inspection and effective track maintenance stragety[J]. Mechanical systems and signal processing, 2007,21(3):1242-1254．

[9] Caprioli A, Cigada A, Raveglia D. A benchmark between the wavelet approach and the more conventional Fourier analysis[J]. Mechanical systems and signal processing, 2007,21(2):631-652.

[10] Fausto Pedro García Mrquez,Diego Jose Pedregal Tercero.Unobserved Component models applied to the assessment of wear in railway points： A case study[J]. European Journal of Operational Research, 2007，176(3)：1703-1712.

[11] Iwnicke S.D, Grassie S, Kik W. “Track Settlement Prediction using Computer Simulation Tools”[R/OL]. The Rail Technology Unit, 2004.

[12] 王建西,李海鋒,許玉德.基于概率分布推移變化的鐵路軌道幾何狀態(tài)評價與預(yù)測方法[J].中國鐵道科學(xué),2008,29(5):31-34．

[13] 練松良,陸惠明.軌道不平順分析程序[J].中國鐵道科學(xué)，2006,27(1):68-71．

[14] 張曙光,康熊,劉秀波.京津城際鐵路軌道不平順譜特征分析[J].中國鐵道科學(xué),2008,29(5):25-30.

[15] 羅林,張格明,吳旺青,等. 輪軌系統(tǒng)軌道平順狀態(tài)的控制[M].北京:中國鐵道出版社,2006．

[16] 陳憲麥,王 瀾,楊鳳春,等. 用于鐵路軌道不平順預(yù)測的綜合因子法[J].中國鐵道科學(xué),2006,27(6):27-31．

[17] 石 揚(yáng).基于灰色馬爾可夫模型的能耗預(yù)測[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2009,23(2):63-64．