周 文 侯進(jìn)勇

摘 要:現(xiàn)有的混合混沌信號(hào)分離方法一般都要利用各個(gè)混沌信號(hào)的內(nèi)在性質(zhì)以及一定的約束。利用混合混沌信號(hào)中各源信號(hào)的獨(dú)立性,依據(jù)基本ICA估計(jì)原理中的極大非高斯性原理,采用基于峭度的不動(dòng)點(diǎn)分離法對此類混合信號(hào)進(jìn)行分離,實(shí)現(xiàn)了此類信號(hào)的盲分離。對多種此類混合信號(hào)進(jìn)行分離仿真的結(jié)果表明,該方法可以快速有效地分離出混合混沌信號(hào)中的各個(gè)源信號(hào)。

關(guān)鍵詞:混合混沌信號(hào);獨(dú)立分量分析;盲分離;噪聲頻譜

中圖分類號(hào):TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2009)21-109-03

Blind Separation of Chaotic Signals Based on ICA

ZHOU Wen1,HOU Jinyong2

(1.Suzhou Institute of Trade & Commerce,Suzhou,215008,China;

2.School of Electronics and Information Engineering,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing,210044,China)

Abstract:There are some methods that separate the mixing chaotic signals,but they have to use the internal properties of the signals and special constraints.By exploiting the independence of source in the mixing chaotic signals,using the fixed-point ICA based on the kurtosis to separate the mixtures,which is accordance with the ICA estimation principle of maximum nongaussianity.The results by computer simulation indicate that the mixed chaotic signals,by using the method,the source signals can be separated fast and effectively.

Keywords:mixed chaotic signals;independent component analysis;blind separation;noise spectrum

0 引 言

在信號(hào)處理中,將混合在混沌信號(hào)中的其他信號(hào)分離出來是混沌信號(hào)處理領(lǐng)域中的重要課題,對于混沌在通信、雷達(dá)、生物醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用有十分重要的意義。在這類分離中,常規(guī)的處理方法是應(yīng)用小波變換等方法,利用信號(hào)與噪聲頻譜的差別進(jìn)行濾波,以達(dá)到分離目的,但是當(dāng)信號(hào)與噪聲的能量分布在同一頻帶時(shí),該方法就不再適用?，F(xiàn)有的此類信號(hào)分離方法一般都要利用各個(gè)混沌信號(hào)的內(nèi)在性質(zhì)以及一定約束。文獻(xiàn)[1]利用各個(gè)混沌信號(hào)之間的互不相關(guān)性,依據(jù)重構(gòu)理論,重構(gòu)出源信號(hào),但只假設(shè)信號(hào)間互不相關(guān),且只涉及到數(shù)據(jù)的二階統(tǒng)計(jì)特性,并未充分利用包含有實(shí)際信號(hào)中大部分重要信息的高階統(tǒng)計(jì)特性。本文假設(shè)各信號(hào)間為更符合實(shí)際的相互獨(dú)立模型,提出應(yīng)用獨(dú)立分量分析法,利用高階統(tǒng)計(jì)量方法對混合混沌信號(hào)進(jìn)行分離,實(shí)現(xiàn)此類混合信號(hào)的盲分離。此處“盲”是指源信號(hào)不能被觀測;源信號(hào)如何混合是未知的[2]。通過仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)該方法有效可行。

1 基本原理

設(shè)X=(x1,x2,…,xm)T為m維零均值混沌信號(hào)與其他信號(hào)的觀測混合信號(hào),它由源信號(hào)向量S=(s1,s2,…,sn)T中相互獨(dú)立的混沌信號(hào)、其他信號(hào)sj(j=1,2,…,n)線性加權(quán)組合而成,此線性混合模型可表示為:

X=AS=∑nj=1ajsj,j=1,2,…,n

(1)

式中:A=(a1,a2,…,an)是m×n滿秩矩陣,稱為混合矩陣;aj為混合矩陣的基向量。

混合混沌信號(hào)分離基本原理圖如圖1所示。

圖1 混合混沌信號(hào)分離基本原理圖

為確保上述模型可被估計(jì),需做以下假設(shè)和約束:

(1) 源信號(hào)中各分量即混沌信號(hào)與其他信號(hào)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

(2) 源信號(hào)中各分量sj具有非高斯分布,且最多只允許一個(gè)具有高斯分布。

(3) 混合矩陣A為方陣,即假設(shè)傳感器數(shù)與混合混沌信號(hào)的源信號(hào)分量數(shù)相等,即m=n,此時(shí)A為非奇異矩陣,逆矩陣A-1存在。

利用觀測混合信號(hào)X和上述條件構(gòu)建解混矩陣W=(wij)n×n后,經(jīng)過W變換后得到n維源信號(hào)估計(jì)值Y=[y1,y2,…,yn]T,則ICA的解混模型可表示如下:

Y=WX=WAS=GS

(2)

式中:G稱為全局(系統(tǒng))矩陣,若通過學(xué)習(xí)得G=In×n(n×n 單位陣),則y(t)=s(t),從而達(dá)到分離目的。實(shí)際上,只要G的各行各列只要有一個(gè)元素接近1而其他接近零,則可認(rèn)為分離成功。由ICA分離得到的各源信號(hào)存在兩種內(nèi)在的不確定性:排列順序不確定;復(fù)幅值不確定[3-5],但這并不影響最終對信號(hào)的識(shí)別。

2 分離方法

分離過程可分為三個(gè)部分:

(1) 觀測混合信號(hào)的中心化;

(2) 觀測混合信號(hào)的白化;

(3) 提取源信號(hào)。

在分離過程中假設(shè)觀測混合信號(hào)已經(jīng)過中心化,其均值為零。

2.1 觀測混合信號(hào)的白化

白化(Whitening)定義為對于觀測的混合混沌信號(hào)x尋找線性變換V,使得變換后的信號(hào)z:z=Vx是白的?！鞍椎摹笔侵缸儞Q后各源信號(hào)分量zi是不相關(guān)的且具有單位方差。

線性變換V一般可利用協(xié)方差矩陣的特征值法(EVD)來求得?；旌闲盘?hào)的協(xié)方差為:

E{xxT}=EDET

(3)

式中:E是E{xxT}的特征向量的正交矩陣;D是相應(yīng)的特征向量的對角矩陣,D=diag(d1,d2,…,dn),則可令線性白化矩陣為:

V=ED-12ET

(4)

可以證明此時(shí)z為白化的:

E{zzT}=VE{xxT}VT=ED-12ETEDETED-12ET

=I

(5)

2.2 基于峭度的快速不動(dòng)點(diǎn)分離法(FastICA法)[3,6]

極大非高斯性分離定理指出,混合混沌信號(hào)的各源信號(hào)是極大非高斯性分量。在對混合混沌信號(hào)分離中,極大化y=wTz的峭度(z為預(yù)處理中經(jīng)白化后的零均值觀測混合信號(hào)),可以得到混合混沌信號(hào)中各分量的估計(jì)值。當(dāng)采用梯度算法極大化峭度的絕對值時(shí)有:

祂urt(wTz)祑=4sign?

{E[z(wTz)3-3w‖w‖2}

(6)

當(dāng)令式(6)中,峭度的梯度與w相等,即可得到:

w∝{E[z(wTz)3]-3‖w‖2w}

,(‖w‖2=1)

(7)

由式(7)可得不動(dòng)點(diǎn)迭代算法,此時(shí)可以先計(jì)算右面的項(xiàng),并將其賦給w作為新值。

w←E[z(wTz)3]-3w

(8)

由此可得不動(dòng)點(diǎn)的兩步迭代算式:

wTi(k+1)=E[z(wTi(k)z)3]-3wiwTi(k + 1)←wi(k + 1)‖wi(k + 1)‖

(9)

該算法也被稱為FastICA。實(shí)際應(yīng)用時(shí),E[z(wTi(k)z)3]需用各時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)均值代替,收斂后得到的wTi是矩陣中的一行,所以yi(t) =wTiz(t)就是分離出的混合混沌信號(hào)中某一個(gè)源信號(hào)si(t)。原理上,可以多次運(yùn)行算法而獲得多個(gè)源信號(hào),但這并不可靠。要應(yīng)用極大化非高斯原理,以估計(jì)更多的源信號(hào)時(shí)利用:在白化空間中,不同的源信號(hào)對應(yīng)向量wi是正交的。因此,當(dāng)估計(jì)多個(gè)源信號(hào)時(shí),需將上述一元算法運(yùn)行多遍,而為了避免不同的向量收斂至同一個(gè)極值點(diǎn),必須在每次迭代后將w1,w2,…,wm進(jìn)行正交化。

在正交化時(shí)一般采用并行正交化,其可以使源信號(hào)能夠并行估計(jì),同時(shí)被分離出來。W的對稱正交化可以通過矩陣平方根的方法來實(shí)現(xiàn)。

W←(WWT)-12W

(10)

式中:(WWT)-12可通過對WWT進(jìn)行特征值分解得到。

(WWT)-12=ED-12E

(11)

式中:E為WWT的特征向量的正交矩陣,D是相應(yīng)的特征向量的對角矩陣,D-12=diag(d-121,d-122,…,d-12m)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

下面,應(yīng)用基于峭度的FastICA分離法對混合混沌信號(hào)的分離進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真中定義分離性能指標(biāo)為:

PI=1n(n-1)∑ni=1∑nk=1gikmaxjgij-1+

∑nk=1gkimaxjgij-1

(12)

分離出的估計(jì)信號(hào)y(t)與源信號(hào)s(t)波形完全相同時(shí),PI=0;實(shí)際上當(dāng)PI=10-2時(shí)說明算法分離性能已經(jīng)相當(dāng)好。

實(shí)驗(yàn)1:兩個(gè)不同模型的混沌信號(hào)混合的分離

兩個(gè)混沌信號(hào)分別為logistic map與henon map,

其中:logistic map 映射方程為x(n)=μx(n-1)[1-x(n-1)],式中μ=4,初始值為0.2。henon map 映射方程為x(n)=y(n-1)+1-ax(n-1)2,y(n)=bx(n-1);式中a=1.4,b=0.3。取10 000個(gè)觀測點(diǎn),舍去前3 000個(gè)點(diǎn)(確保系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài))再取其后連續(xù)的150個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分離仿真。混合信號(hào)中一路觀測信號(hào)與源信號(hào)明顯不同,另一路波形與logistic map相似,但幅值有明顯變化。經(jīng)11次迭代后收斂,分離后不影響對信號(hào)的最終識(shí)別(見圖2)。該實(shí)驗(yàn)分離指數(shù)為PI=0.063 4。

圖2 分離logistic與henon兩個(gè)不同模型的混沌信號(hào)

實(shí)驗(yàn)2:logistic map與均方差為1的高斯白噪聲(GWN)的混合 在仿真中l(wèi)ogistic map采用實(shí)驗(yàn)1的映射方程,式中μ=4,初始值為0.2,高斯白噪聲的能量為1。同樣,當(dāng)確保進(jìn)入混沌狀態(tài)后,再取150個(gè)連續(xù)的點(diǎn)進(jìn)行仿真。一路混合信號(hào)形似噪聲,此時(shí)混沌信號(hào)被“淹沒”在噪聲中,經(jīng)FastICA法分離,11次迭代后,將混沌信號(hào)從噪聲中“抽取”出來(見圖3)。分離性能指數(shù)為PI=0.050 4,表明很好地將信號(hào)分離出來。

圖3 logistic map與標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲的分離

實(shí)驗(yàn)3:混沌信號(hào)與諧波信號(hào)混合的分離 混沌信號(hào)為logistic map,其映射方程為 x(n)=μx(n-1)[1-x(n-1)],式中μ=4,初始值為0.2。諧波信號(hào)為Asin(2πft+φ),式中A=0.02,歸一化頻率f=0.3,初相位φ=1?；煦缧盘?hào)與諧波信號(hào)混合時(shí),微弱的諧波信號(hào)“隱藏”在強(qiáng)混沌信號(hào)中,應(yīng)用本文的方法可快速有效地將其從中分離出來。此外在強(qiáng)諧波信號(hào)背景中,混沌信號(hào)“淹沒”在其中時(shí),也可很好地將混沌信號(hào)從中分離出來。同樣,在本實(shí)驗(yàn)中經(jīng)11次迭代后收斂(見圖4),分離性能指數(shù)為PI=0.074 5,同樣表明,可以很好地將混合混沌信號(hào)分離開來。

將上述實(shí)驗(yàn)時(shí)FastICA法分離性能列表,見表1。

圖4 混沌信號(hào)與諧波信號(hào)的分離

表1 FastICA 法進(jìn)行分離時(shí)分離性能指數(shù)

混合混沌信號(hào)logistic與henonlogistic與高斯白噪聲logistic與諧波

可分離性0.063 40.050 40.074 5

4 結(jié) 語

本文提出基于獨(dú)立分量分析的方法對混合混沌信號(hào)進(jìn)行分離,利用各源信號(hào)獨(dú)立,基于極大非高斯性原理,應(yīng)用FastICA法對此類信號(hào)進(jìn)行分離,在未知混合情況時(shí),實(shí)現(xiàn)此類信號(hào)的盲分離,通過實(shí)驗(yàn)仿真,分離性能指數(shù)均可達(dá)10-2,表明該方法可以很好地將此類信號(hào)分離開來。

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