韓兆紅,吳燕岡,徐 兵,趙玉巖

(1.吉林大學(xué) 地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130026 2.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130052)

0 前言

礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)是對(duì)礦產(chǎn)資源空間分布的屬性、性態(tài)、程度、規(guī)模、數(shù)量、質(zhì)量、位置等特征變量,采用相應(yīng)的數(shù)學(xué)、地質(zhì)、計(jì)算技術(shù)等方法進(jìn)行的評(píng)價(jià),即以地質(zhì)學(xué)理論和方法為指導(dǎo),通過(guò)信息的提取方法揭示了礦產(chǎn)資源的屬性特征。因此,其核心問(wèn)題可以歸結(jié)為信息處理的理論、方法、技術(shù)同地質(zhì)理論的結(jié)合。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,特別是非線性理論的發(fā)展,以混沌、分形為主要標(biāo)志的非線性資源評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)方法,正日益受到重視。作者在本文中,通過(guò)對(duì)非線性理論在成礦中的機(jī)理,以及礦床分布特點(diǎn)的討論,建立了以李雅普諾夫指數(shù)為基礎(chǔ)的資源評(píng)價(jià)方法的數(shù)學(xué)模型。

1 李雅普諾夫指數(shù)法原理

混沌運(yùn)動(dòng)最重要的特征,就是其對(duì)初始條件的極度敏感性。在混沌系統(tǒng)中不可能對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行長(zhǎng)期的預(yù)測(cè),這是因?yàn)樵诔跏紶顟B(tài)的微小不確定性將會(huì)按指數(shù)速度迅速擴(kuò)大。在非混沌系統(tǒng)中,相互靠近的軌跡,要么是指數(shù)的收斂,要么慢于指數(shù)速度的發(fā)散(最壞情況),至少在理論上,長(zhǎng)期預(yù)測(cè)是可能的。這種軌跡收斂或發(fā)散的比率,稱(chēng)為李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov exponent)。一般情況下,李雅普諾夫指數(shù)的數(shù)目和相空間的維數(shù)一樣多,每個(gè)指數(shù)描述一類(lèi)相互靠近的軌跡對(duì)行為。對(duì)于維數(shù)大于1的系統(tǒng),存在李雅普諾夫指數(shù)的集合,稱(chēng)為李雅普諾夫指數(shù)譜。

常用李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算方法,大體上分屬于二大類(lèi):Wolf方法和Jacobian方法。

(1)Wolf方法適用于時(shí)間序列無(wú)噪聲,切空間中小向量的演變高度非線性。

(2)Jacobian方法適用于時(shí)間序列噪聲大,切空間中小向量的演變接近線性。

G.Barana和I.Tsuda曾提出一種新的P—范數(shù)算法,在Wolf方法和Jacobian方法之間架起了橋梁。但P—范數(shù)的選取和計(jì)算復(fù)雜,實(shí)際操作困難。M.T.Rosetein、J.J.Collins和G.J.De luca提出的一種小數(shù)據(jù)量的計(jì)算方法,操作起來(lái)比較方便,而且具有①對(duì)小數(shù)據(jù)組比較可靠;②計(jì)算量較小;③相對(duì)易操作優(yōu)點(diǎn)。

2 李雅普諾夫指數(shù)與成礦的關(guān)系

申維在《礦化富集的耗散結(jié)構(gòu)研究》一文中,把Logistic方程中μ和成礦關(guān)系進(jìn)行了討論;於崇文、徐兵對(duì)成礦的混沌性進(jìn)行了研究。基于此有:①在李雅普諾夫指數(shù)λ<0的方向,相體積收縮,運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定,且對(duì)初始條件不敏感,在此區(qū)間上無(wú)礦;②在λ>0的方向軌道迅速分離,長(zhǎng)時(shí)間行為對(duì)初始條件敏感,運(yùn)動(dòng)呈混沌狀態(tài),再次區(qū)間上成礦;③λ=0對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定邊界,屬于一種臨界情況,這種分類(lèi)方法應(yīng)根據(jù)相應(yīng)的礦床進(jìn)行地質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

3 李雅普諾夫指數(shù)法在資源評(píng)價(jià)中的應(yīng)用方法

由于李雅普諾夫指數(shù)有一個(gè)特殊意義的含義,即代表數(shù)據(jù)的分離程度,那么就可以利用數(shù)據(jù)計(jì)算出相應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù),由此評(píng)價(jià)形成了各種評(píng)價(jià)方法。

作者在本文討論的問(wèn)題是已知某區(qū)域的信息,評(píng)價(jià)該區(qū)域中的區(qū)域S的信息,這需要二部分,一部分是對(duì)S內(nèi)的信息進(jìn)一步認(rèn)識(shí),同時(shí)更重要的是認(rèn)識(shí)整個(gè)研究區(qū)的信息。而整個(gè)研究區(qū)的認(rèn)識(shí)是基于原來(lái)小區(qū)域的信息,首先研究它的信息,即地質(zhì)學(xué)上的信息如構(gòu)造帶、斷裂、回旋、展理、巖層、巖性等。在地球化學(xué)方面,如元素的分布含量變化,變化的特征以及采樣的程度等。在地球物理方面,如重力、航磁等的特征,而這些特征有些是定量的,有些是難以定量的,甚至就是定性的,如巖性是難以量化的,這樣對(duì)于信息的要求是多方面的統(tǒng)一體。而這些信息在一個(gè)成礦區(qū)域內(nèi),是如何表現(xiàn)出其特征,它如何擴(kuò)展到整個(gè)區(qū)域的研究,這些都有待于更深刻的認(rèn)識(shí)。

4 地質(zhì)異常變量的選擇方法

在資源評(píng)價(jià)時(shí),通常在研究程度較高,或有一定的地質(zhì)研究工作的地區(qū),選擇一些已知礦床作為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象。或選擇一些地質(zhì)條件已知的地區(qū),作為控制區(qū)或模型區(qū)。所有這些標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象及控制區(qū),都是作為定量類(lèi)比的標(biāo)準(zhǔn),然后用未知區(qū)與其進(jìn)行對(duì)比,從而評(píng)價(jià)未知區(qū)的資源潛力。因此,資源評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的效果,一方面取決于所建立的模型是否正確,另一方面取決于對(duì)類(lèi)比對(duì)象相似程度的把握。通常采取以下的選擇方法:

(1)在地質(zhì)異常致礦概念模型基礎(chǔ)上選擇變量。

(2)以地質(zhì)異常體為單元進(jìn)行綜合變量的選擇。

(3)通過(guò)已知礦異常單元成礦特征的橫向?qū)Ρ?選擇定位預(yù)測(cè)變量。

(4)在區(qū)域綜合地質(zhì)致礦異常圖編制的基礎(chǔ)上選擇變量。

5 數(shù)學(xué)模型的建立方法

下面將通過(guò)已知區(qū)域的信息評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)區(qū)的特征和屬性,我們?cè)谀逞芯繀^(qū)內(nèi)共劃分礦床n+1處,在對(duì)已知n個(gè)區(qū)域的資料進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上,提取了綜合信息地質(zhì)變量。通過(guò)這些地質(zhì)變量(自變量),建立如下數(shù)學(xué)模型。

設(shè)已知區(qū)(模型單元)有n個(gè),評(píng)價(jià)區(qū)有m個(gè),對(duì)已知區(qū)的李雅普諾夫指數(shù),λ1、...、λn計(jì)算評(píng)價(jià)區(qū)的李雅普諾夫指數(shù),寫(xiě)成線性表達(dá)式為

其中 xij表示第i個(gè)模型單元的地質(zhì)變量。

由這個(gè)方程組利用最小二乘法,可以識(shí)別出參數(shù)^aj,并由此得到相應(yīng)的方程,對(duì)于評(píng)價(jià)區(qū)的評(píng)價(jià)進(jìn)行回代,即可以確定出相應(yīng)的μ1、...、μm(μ1、μ2、…、μm為未知m個(gè)評(píng)價(jià)區(qū)某元素的李雅普諾夫指數(shù))。

已知n個(gè)統(tǒng)計(jì)區(qū)域(模型單元):1、2、…、n,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)xij表示第i個(gè)統(tǒng)計(jì)區(qū)域(模型單元)的第j個(gè)地質(zhì)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。

下面就某一元素來(lái)根據(jù)已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),計(jì)算它的李雅普諾夫指數(shù),其中λi表示第i個(gè)區(qū)域中該元素的李雅普諾夫指數(shù)(λi看做已知,即可以通過(guò)前面介紹的方法計(jì)算出來(lái))。利用多元線性回歸建立如下方程組。

即

或記作

其中 a0、a1、…、ak和σ2為與xij無(wú)關(guān)的未知參數(shù),這就是k元線性回歸模型。

為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)處理,引進(jìn)矩陣表示,可記作

則上方程組可記作

下面用最小二乘法求未知參數(shù)的估計(jì),即未知參數(shù)a1、a2、...、ak應(yīng)使式(5)為最小。

這里把M看成是與自變量aj相對(duì)應(yīng)的因變量,那么問(wèn)題就歸結(jié)為求函數(shù)M=M(a1、a2、...、ak)在哪些點(diǎn)處取得最小值。由數(shù)學(xué)知識(shí)可以知道,上述問(wèn)題可以通過(guò)求方程組(6)的解來(lái)解決

即令

把上式整理合并,并把未知參數(shù)aj分離出來(lái),得a0、a1、...、ak的估計(jì):

從而得到Λ與x1、x2、...、xp的經(jīng)驗(yàn)回歸方程:

下面把a(bǔ)0、a1、...、ak的估計(jì)帶入到μi中,則得到m個(gè)評(píng)價(jià)區(qū)中某元素的李雅普諾夫指數(shù)。

若李雅普諾夫指數(shù)大于零,則該區(qū)域成礦;若李雅普諾夫指數(shù)小于零,則可判斷該區(qū)對(duì)于這種元素不成礦。

6 結(jié)論

(1)利用李雅普諾夫指數(shù)對(duì)礦產(chǎn)資源進(jìn)行評(píng)價(jià)的方法,體現(xiàn)了成礦結(jié)構(gòu)及演化的特征,即混沌成礦。它揭示了成礦規(guī)律與預(yù)測(cè)的一致性,并具有示性特征,反映了成礦的分類(lèi)特點(diǎn),是傳統(tǒng)方法的改進(jìn)(傳統(tǒng)的方法基本上是統(tǒng)計(jì)的結(jié)果)。

(2)在理論上,利用李雅普諾夫指數(shù)對(duì)礦產(chǎn)資源進(jìn)行評(píng)價(jià),是一種資源評(píng)價(jià)的可行途徑。在實(shí)際應(yīng)用中,還有許多問(wèn)題需要繼續(xù)探討。

[1] 單明霞.灰色系統(tǒng)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的礦產(chǎn)資源預(yù)測(cè)模型[J].物探化探計(jì)算技術(shù),2007,29(5):443.

[2] 趙玉琛.礦產(chǎn)資源預(yù)測(cè)中非參數(shù)自動(dòng)化蒙特卡洛模擬程序[J].物探化探計(jì)算技術(shù),1991,13(2):173.

[3] 趙鵬大.地質(zhì)異常理論與礦床預(yù)測(cè):現(xiàn)代礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)理論與方法[M].北京:地質(zhì)出版社,1998.

[4] 馬漢峰.礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)現(xiàn)狀[J].世界核地質(zhì)科學(xué),2007,24(2):77.

[5] 王東聲.混沌分形及其應(yīng)用[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2003.

[6] 李堯亭.混沌和李雅譜諾夫特征指數(shù)[J].物理,1996,25(5):282.

[7] 申維.礦化富集的耗散結(jié)構(gòu)研究[J].礦物巖石地球化學(xué)通報(bào),2000,19(4):416.

[8] 王世稱(chēng),范繼璋,楊永華.礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)[M].長(zhǎng)春:吉林科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

[9] 楊毅恒,韓燕,徐兵,等.多維地學(xué)數(shù)據(jù)處理技術(shù)與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2002.