韓兆紅,吳燕岡,徐 兵,趙玉巖

(1.吉林大學(xué) 地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春 130026 2.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)院,吉林長春 130052)

0 前言

礦產(chǎn)資源評價是對礦產(chǎn)資源空間分布的屬性、性態(tài)、程度、規(guī)模、數(shù)量、質(zhì)量、位置等特征變量,采用相應(yīng)的數(shù)學(xué)、地質(zhì)、計算技術(shù)等方法進(jìn)行的評價,即以地質(zhì)學(xué)理論和方法為指導(dǎo),通過信息的提取方法揭示了礦產(chǎn)資源的屬性特征。因此,其核心問題可以歸結(jié)為信息處理的理論、方法、技術(shù)同地質(zhì)理論的結(jié)合。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,特別是非線性理論的發(fā)展,以混沌、分形為主要標(biāo)志的非線性資源評價的評價方法,正日益受到重視。作者在本文中,通過對非線性理論在成礦中的機(jī)理,以及礦床分布特點(diǎn)的討論,建立了以李雅普諾夫指數(shù)為基礎(chǔ)的資源評價方法的數(shù)學(xué)模型。

1 李雅普諾夫指數(shù)法原理

混沌運(yùn)動最重要的特征,就是其對初始條件的極度敏感性。在混沌系統(tǒng)中不可能對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行長期的預(yù)測,這是因?yàn)樵诔跏紶顟B(tài)的微小不確定性將會按指數(shù)速度迅速擴(kuò)大。在非混沌系統(tǒng)中,相互靠近的軌跡,要么是指數(shù)的收斂,要么慢于指數(shù)速度的發(fā)散(最壞情況),至少在理論上,長期預(yù)測是可能的。這種軌跡收斂或發(fā)散的比率,稱為李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov exponent)。一般情況下,李雅普諾夫指數(shù)的數(shù)目和相空間的維數(shù)一樣多,每個指數(shù)描述一類相互靠近的軌跡對行為。對于維數(shù)大于1的系統(tǒng),存在李雅普諾夫指數(shù)的集合,稱為李雅普諾夫指數(shù)譜。

常用李雅普諾夫指數(shù)計算方法,大體上分屬于二大類:Wolf方法和Jacobian方法。

(1)Wolf方法適用于時間序列無噪聲,切空間中小向量的演變高度非線性。

(2)Jacobian方法適用于時間序列噪聲大,切空間中小向量的演變接近線性。

G.Barana和I.Tsuda曾提出一種新的P—范數(shù)算法,在Wolf方法和Jacobian方法之間架起了橋梁。但P—范數(shù)的選取和計算復(fù)雜,實(shí)際操作困難。M.T.Rosetein、J.J.Collins和G.J.De luca提出的一種小數(shù)據(jù)量的計算方法,操作起來比較方便,而且具有①對小數(shù)據(jù)組比較可靠;②計算量較小;③相對易操作優(yōu)點(diǎn)。

2 李雅普諾夫指數(shù)與成礦的關(guān)系

申維在《礦化富集的耗散結(jié)構(gòu)研究》一文中,把Logistic方程中μ和成礦關(guān)系進(jìn)行了討論;於崇文、徐兵對成礦的混沌性進(jìn)行了研究?；诖擞?①在李雅普諾夫指數(shù)λ<0的方向,相體積收縮,運(yùn)動穩(wěn)定,且對初始條件不敏感,在此區(qū)間上無礦;②在λ>0的方向軌道迅速分離,長時間行為對初始條件敏感,運(yùn)動呈混沌狀態(tài),再次區(qū)間上成礦;③λ=0對應(yīng)于穩(wěn)定邊界,屬于一種臨界情況,這種分類方法應(yīng)根據(jù)相應(yīng)的礦床進(jìn)行地質(zhì)的認(rèn)識。

3 李雅普諾夫指數(shù)法在資源評價中的應(yīng)用方法

由于李雅普諾夫指數(shù)有一個特殊意義的含義,即代表數(shù)據(jù)的分離程度,那么就可以利用數(shù)據(jù)計算出相應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù),由此評價形成了各種評價方法。

作者在本文討論的問題是已知某區(qū)域的信息,評價該區(qū)域中的區(qū)域S的信息,這需要二部分,一部分是對S內(nèi)的信息進(jìn)一步認(rèn)識,同時更重要的是認(rèn)識整個研究區(qū)的信息。而整個研究區(qū)的認(rèn)識是基于原來小區(qū)域的信息,首先研究它的信息,即地質(zhì)學(xué)上的信息如構(gòu)造帶、斷裂、回旋、展理、巖層、巖性等。在地球化學(xué)方面,如元素的分布含量變化,變化的特征以及采樣的程度等。在地球物理方面,如重力、航磁等的特征,而這些特征有些是定量的,有些是難以定量的,甚至就是定性的,如巖性是難以量化的,這樣對于信息的要求是多方面的統(tǒng)一體。而這些信息在一個成礦區(qū)域內(nèi),是如何表現(xiàn)出其特征,它如何擴(kuò)展到整個區(qū)域的研究,這些都有待于更深刻的認(rèn)識。

4 地質(zhì)異常變量的選擇方法

在資源評價時,通常在研究程度較高,或有一定的地質(zhì)研究工作的地區(qū),選擇一些已知礦床作為標(biāo)準(zhǔn)對象?；蜻x擇一些地質(zhì)條件已知的地區(qū),作為控制區(qū)或模型區(qū)。所有這些標(biāo)準(zhǔn)對象及控制區(qū),都是作為定量類比的標(biāo)準(zhǔn),然后用未知區(qū)與其進(jìn)行對比,從而評價未知區(qū)的資源潛力。因此,資源評價預(yù)測的效果,一方面取決于所建立的模型是否正確,另一方面取決于對類比對象相似程度的把握。通常采取以下的選擇方法:

(1)在地質(zhì)異常致礦概念模型基礎(chǔ)上選擇變量。

(2)以地質(zhì)異常體為單元進(jìn)行綜合變量的選擇。

(3)通過已知礦異常單元成礦特征的橫向?qū)Ρ?選擇定位預(yù)測變量。

(4)在區(qū)域綜合地質(zhì)致礦異常圖編制的基礎(chǔ)上選擇變量。

5 數(shù)學(xué)模型的建立方法

下面將通過已知區(qū)域的信息評價預(yù)測區(qū)的特征和屬性,我們在某研究區(qū)內(nèi)共劃分礦床n+1處,在對已知n個區(qū)域的資料進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上,提取了綜合信息地質(zhì)變量。通過這些地質(zhì)變量(自變量),建立如下數(shù)學(xué)模型。

設(shè)已知區(qū)(模型單元)有n個,評價區(qū)有m個,對已知區(qū)的李雅普諾夫指數(shù),λ1、...、λn計算評價區(qū)的李雅普諾夫指數(shù),寫成線性表達(dá)式為

其中 xij表示第i個模型單元的地質(zhì)變量。

由這個方程組利用最小二乘法,可以識別出參數(shù)^aj,并由此得到相應(yīng)的方程,對于評價區(qū)的評價進(jìn)行回代,即可以確定出相應(yīng)的μ1、...、μm(μ1、μ2、…、μm為未知m個評價區(qū)某元素的李雅普諾夫指數(shù))。

已知n個統(tǒng)計區(qū)域(模型單元):1、2、…、n,統(tǒng)計數(shù)據(jù)xij表示第i個統(tǒng)計區(qū)域(模型單元)的第j個地質(zhì)變量對應(yīng)的數(shù)據(jù)。

下面就某一元素來根據(jù)已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),計算它的李雅普諾夫指數(shù),其中λi表示第i個區(qū)域中該元素的李雅普諾夫指數(shù)(λi看做已知,即可以通過前面介紹的方法計算出來)。利用多元線性回歸建立如下方程組。

即

或記作

其中 a0、a1、…、ak和σ2為與xij無關(guān)的未知參數(shù),這就是k元線性回歸模型。

為了簡化數(shù)學(xué)處理,引進(jìn)矩陣表示,可記作

則上方程組可記作

下面用最小二乘法求未知參數(shù)的估計,即未知參數(shù)a1、a2、...、ak應(yīng)使式(5)為最小。

這里把M看成是與自變量aj相對應(yīng)的因變量,那么問題就歸結(jié)為求函數(shù)M=M(a1、a2、...、ak)在哪些點(diǎn)處取得最小值。由數(shù)學(xué)知識可以知道,上述問題可以通過求方程組(6)的解來解決

即令

把上式整理合并,并把未知參數(shù)aj分離出來,得a0、a1、...、ak的估計:

從而得到Λ與x1、x2、...、xp的經(jīng)驗(yàn)回歸方程:

下面把a(bǔ)0、a1、...、ak的估計帶入到μi中,則得到m個評價區(qū)中某元素的李雅普諾夫指數(shù)。

若李雅普諾夫指數(shù)大于零,則該區(qū)域成礦;若李雅普諾夫指數(shù)小于零,則可判斷該區(qū)對于這種元素不成礦。

6 結(jié)論

(1)利用李雅普諾夫指數(shù)對礦產(chǎn)資源進(jìn)行評價的方法,體現(xiàn)了成礦結(jié)構(gòu)及演化的特征,即混沌成礦。它揭示了成礦規(guī)律與預(yù)測的一致性,并具有示性特征,反映了成礦的分類特點(diǎn),是傳統(tǒng)方法的改進(jìn)(傳統(tǒng)的方法基本上是統(tǒng)計的結(jié)果)。

(2)在理論上,利用李雅普諾夫指數(shù)對礦產(chǎn)資源進(jìn)行評價,是一種資源評價的可行途徑。在實(shí)際應(yīng)用中,還有許多問題需要繼續(xù)探討。

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