何金如

(浙江廣播電視大學 義烏學院，浙江 義烏 322000)

0 引 言

目前，宿主體內的群體動力學研究主要集中在持續(xù)性病毒感染[1-7].為了定量分析體內病毒感染的過程，針對未感染目標細胞、被感染細胞和游離病毒三者的相互作用生態(tài)關系，廣泛采用如下微分方程組進行描述：

(1)

病毒動力學模型，特別是考慮免疫反應的病毒動力學模型,是目前國內外學者研究的熱點.高維模型的全局性態(tài)較為復雜，很可能出現(xiàn)分支或混沌[3-8].文獻[3]首次在模型(1)的基礎上引入抗體免疫反應的系統(tǒng)，研究了如下模型的局部性態(tài):

(2)

模型(2)中：A表示針對病毒宿主體內免疫系統(tǒng)產生的抗體細胞數;假設宿主體內病毒以速率gAV刺激病毒特異性抗體的產生;g是描述免疫過程的常數率，相當于抗體細胞與游離病毒的接觸率；而病毒被病毒特異性抗體以速率qAV中和，并且假設抗體的死亡率為dA.

文獻[3]已建立病毒入侵和消除的閾值，證明正平衡點一旦存在就是局部穩(wěn)定的，但對模型的全局性態(tài)分析較少，故筆者主要討論模型的全局性態(tài).

1 平衡點及其穩(wěn)定性

定義一個免疫再生數

下面研究這3個平衡點的全局性態(tài).首先分析無病平衡點E0.

定理1若基本再生數R0≤1，則無病平衡點E0全局穩(wěn)定.

證明 定義一個全局Lyapunov函數

并對L1求導，可得

(3)

(4)

由算術平均數大于或等于幾何平均數的性質，有

由式(4)得L′1≤0.L′1≤0當且僅當A=0，V=0且T=T0.{(T,I,V,A)∈R4+:L′1=0}的最大緊不變集即為{E0}，由Lasalle不變原理[9]可得E0的全局穩(wěn)定性.

注1定理1的生物學意義為：若一個病毒在其存活周期內繁殖的病毒數不多于1，則病毒不能成功入侵宿主并且很快會被清除.

下面分析無免疫平衡點E1.

定理2當R0>1且R1≤1時，無免疫平衡點E1全局穩(wěn)定.

證明 定義一個全局Lyapunov函數

并對L2求導，得到

(5)

(6)

注意到

注2定理2的生物學意義為：當基本再生數R0>1時，病毒能成功入侵宿主.但由于免疫再生數小于等于1，即由病毒刺激產生的一個抗體在其存活周期內繁殖的抗體細胞數不多于1，抗體免疫反應不能在宿主體內建立.

最后，分析正平衡點E*.

定理3若R1>1，則正平衡點E*全局穩(wěn)定.

證明 定義全局Lyapunov函數

并對L3求導，可得

(7)

L′3=dTT*+dII*-dTT-(dTT*+dII*)

(8)

(9)

由式(9)得L′3≤0.同定理1的證明過程，也可證得E*的全局穩(wěn)定性.

注3定理3的生物學意義為：若一個病毒在抗體存活周期內能夠刺激產生多于1個的抗體細胞，則宿主體內能夠建立抗體免疫反應.健康細胞、感染細胞、病毒和抗體細胞以一個全局穩(wěn)定的正平衡點的形式在宿主體內共存.

2 結 論

Kajiwara等[3]在基礎病毒動力學模型的基礎上引入了抗體免疫反應,得到了模型(2),并研究了模型(2)的局部性態(tài).本文則在證明中采用了構造Lyapunov函數的方法，對模型(2)的全局性態(tài)給出了一個較好的結果.證明了當基本再生數R0≤1時，病毒在體內清除，當R0>1時，病毒在體內持續(xù)生存.并且模型的正解當抗體免疫再生數R1≤1時趨于無免疫平衡點，當R1>1時趨于正平衡點.

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