高 茜,楊 凡,葛榮會(huì)

(成都理工大學(xué)信息管理學(xué)院,四川成都 610059)

0 引 言

從同態(tài)映射與同構(gòu)映射是一種包含關(guān)系可知,同態(tài)映射的原像集與像集有很多性質(zhì)并不像同構(gòu)映射那樣完全等價(jià)[1].而群在集合上的作用本質(zhì)上僅是一個(gè)同態(tài)映射,而并不一定是同構(gòu)映射.交換群是一類(lèi)特殊群,群在集合上的作用是否能使得其原像集與像集是交換群的這一性質(zhì)相互等價(jià),是我們?cè)诒疚闹袑⒂懻摰膯?wèn)題.進(jìn)一步考慮群在集合上的作用與其逆作用既有區(qū)別又有聯(lián)系,故群在集合上的作用的像集是否為交換群,與群在集合上的該作用是否是其逆作用之間應(yīng)存在某種聯(lián)系,本文對(duì)此也進(jìn)行了討論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)α:G→H是群同態(tài)映射,則,

稱(chēng)為同態(tài)α的像集.

定義2[3]Hamilton四元數(shù)的單位,±1、±i、± j、±k,在乘法下組成一個(gè)8階群,稱(chēng)為四元數(shù)群,記為Q8,且 Q8中元素的乘法滿足,

定義3[4]一個(gè)群,假如它的結(jié)合法還滿足交換律,

該群就稱(chēng)為交換群或Abel(阿貝爾)群,否則稱(chēng)為非交換群.

定義4[2]設(shè)Ω ={α,β,γ…}是一個(gè)非空集合,其元素稱(chēng)為點(diǎn).SΩ表示Ω上的對(duì)稱(chēng)群.所謂群 G在Ω上的一個(gè)作用φ,是指 G到SΩ內(nèi)的一個(gè)同態(tài).即對(duì)每個(gè)元素x∈G,對(duì)應(yīng)Ω上的一個(gè)變換φ(x):α |→αx,并且滿足,

或者,

定義5[5]設(shè)Ω ={α,β,γ…}是一個(gè)非空集合,其元素稱(chēng)為點(diǎn).SΩ表示Ω上的對(duì)稱(chēng)群.所謂群 G在Ω上的一個(gè)逆作用φ,是指G到SΩ內(nèi)的一個(gè)逆同態(tài)[6].即對(duì)每個(gè)元素 x∈G,對(duì)應(yīng)Ω上的一個(gè)變換φ(x):α|→αx,并且滿足,

或者,

2 主要結(jié)論

下述命題均是在φ是群G在集合Ω上的一個(gè)作用的前提下進(jìn)行討論的.

命題1 如果群 G是交換群,則群 Gφ是交換群.

證明 ?φ(x),φ(y)∈Gφ,有x,y∈G.由群G是交換群,有 xy=yx,則,φ(xy)=φ(yx).又由φ是群G在集合Ω上的一個(gè)作用可知,

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注意到φ(x),φ(y)的任意性,故Gφ是交換群.

命題2 如果群Gφ是交換群,則群G不一定是交換群.

對(duì)此命題可舉反例進(jìn)行說(shuō)明.

群 Gφ是交換群,群 G可能出現(xiàn)以下兩種情況:第一種,群 G是非交換群(見(jiàn)例1);第二種,群 G是交換群(見(jiàn)例2).

例1 取群G=Q8,集合Ω={1,2,3}.規(guī)定群Q8在 S3上的作用φ滿足,

顯然,群Gφ={(1),(12)}.這里,群Gφ={(1), (12)}是交換群,但群 Q8卻是非交換群.

例2 取群G={±1,±i},集合Ω={1,2,3}.規(guī)定群 G={±1,±i}在S3上的作用φ滿足,

命題3 若Gφ群是交換群,則群在集合上的作用φ即為其逆作用.

證明 φ是群G在集合Ω上的作用,即對(duì)每個(gè)元素x∈G,對(duì)應(yīng)Ω上的一個(gè)變換φ(x):α|→αx,并且滿足,

又 Gφ是交換群,有φ(x)φ(y)=φ(y)φ(x), φ(y),φ(x)∈Gφ,則,

故對(duì)每個(gè)元素 x∈G,對(duì)應(yīng)Ω上的一個(gè)變換φ(x):α|→αx,并且滿足,

即,φ是群G在集合Ω上的一個(gè)逆作用.

命題4 若群Gφ是非交換群,則群在集合上的作用φ必不是其逆作用.

證明 采用反證法.設(shè)結(jié)論不真,則群在集合上的作用φ是其逆作用,此時(shí)有,

故群 Gφ是交換群,與題設(shè)矛盾.

結(jié)合命題3和命題4,可得出群 Gφ是交換群與群在集合上的作用φ即為其逆作用之間是充要條件.顯然,當(dāng)群Gφ是非交換群時(shí),群在集合上的作用φ也不是其逆作用,在這種情況下,情況將變得復(fù)雜.如何利用已知的群在集合上的作用去找到它的逆作用,以及群 G除了是交換群外,還有哪些情況可以共同構(gòu)成使得群Gφ是交換群的必要條件,是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題.

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