魏寶君，田 坤，張 旭，劉 坤

（中國石油大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東東營 257061）

用并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式評價偏心對隨鉆電磁波電阻率測井響應(yīng)的影響

魏寶君，田 坤，張 旭，劉 坤

（中國石油大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東東營 257061）

采用圓柱坐標(biāo)系下徑向成層介質(zhì)中磁流源并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式計算電磁波電阻率的測井響應(yīng)，考察井眼內(nèi)儀器偏心對測井響應(yīng)的影響。計算時采用徑向成層圓柱形地層模型并假設(shè)在每一圓柱層內(nèi)地層是均勻各向同性的，這樣每層介質(zhì)內(nèi)的電磁波是對稱的柱面波和各階非對稱波的疊加。計算結(jié)果表明:儀器偏心的影響隨頻率的升高而增加;對于電阻性（電導(dǎo)性）鉆井液，地層電阻率越低（越高）越需要對儀器偏心的影響進行校正。關(guān)鍵詞:電磁波電阻率;隨鉆測井;偏心;并矢Green函數(shù);矢量本征函數(shù)

在石油鉆井領(lǐng)域，隨鉆電磁波電阻率測井技術(shù)作為隨鉆測井技術(shù)的重要組成部分因其在地質(zhì)導(dǎo)向、實時地層對比評價中具有重要應(yīng)用價值而得到廣泛開發(fā)［1］。典型的隨鉆電磁波電阻率測井儀器由一系列纏繞在鉆鋌上的同軸環(huán)形發(fā)射線圈和接收線圈組成，可提供多種頻率、多種探測深度的相位差和幅度比測量［2-7］。由于井眼、鉆井液侵入、圍巖、地層各向異性等多種復(fù)雜因素的存在，在對測量數(shù)據(jù)進行反演解釋時必須進行井眼、侵入等影響因素的校正［8-10］以及儀器偏心校正［11-12］，這樣才能精確確定地層電阻率。由于儀器偏離井眼中心時發(fā)射線圈將產(chǎn)生非對稱電磁波，與將儀器置于井眼中心相比數(shù)值模擬計算難度較大。筆者擬采用圓柱坐標(biāo)系下徑向成層各向同性介質(zhì)中磁流源并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式評價井眼內(nèi)儀器偏心對隨鉆電磁波電阻率測井響應(yīng)的影響。

1 基本理論

考慮到井眼和地層均相對于井軸呈軸對稱分布，故采用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)發(fā)射源隨時間的變化關(guān)系為exp（－iωt），其中ω為角頻率，并假設(shè)場點位置坐標(biāo)為 R（r，φ，z）、源點位置坐標(biāo)為 R'（r'，φ'，z'）。

1.1 均勻介質(zhì)中磁流源并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開

根據(jù)文獻［13］和［14］給出的M類、N類矢量本征函數(shù)的奇函數(shù)和偶函數(shù)的表達式，可得到圓柱坐標(biāo)系下均勻各向同性介質(zhì)中磁流源磁型并矢Green函數(shù)GHM（R，R'）的矢量本征函數(shù)展開式為［14］

式中，μ為均勻介質(zhì)的磁導(dǎo)率;ε為均勻介質(zhì)的復(fù)介電系數(shù);h∈（－∞，+∞）為并矢Green函數(shù)的積分變量;n為階數(shù);上角標(biāo)e表示偶性矢量本征函數(shù)，下角標(biāo)o表示奇性矢量本征函數(shù)。式（1）采用了簡記法（下同），如

根據(jù)M類和N類矢量本征函數(shù)之間的關(guān)系，圓柱坐標(biāo)系下均勻各向同性介質(zhì)中磁流源電型并矢Green函數(shù) GEM（R，R'）的矢量本征函數(shù)展開式為［14］

1.2 徑向成層介質(zhì)中磁流源并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開

1.3 隨鉆電磁波電阻率測井儀器在地層中的響應(yīng)

其中RT（rT，φT，zT）為發(fā)射源位置坐標(biāo)。計算隨鉆電磁波電阻率測井儀器在井眼內(nèi)不同位置的響應(yīng)時，采用徑向成兩層介質(zhì)地層模型（圖1），第1層介質(zhì)為井眼，第2層介質(zhì)為原狀地層，發(fā)射源和接收線圈均在第1層介質(zhì)內(nèi)。由式（3）～（8），當(dāng)儀器位于井眼中心時，地層和發(fā)射線圈均具有軸對稱性，發(fā)射線圈只產(chǎn)生n=0的對稱柱面電磁波。當(dāng)儀器偏離井眼中心時，發(fā)射線圈將產(chǎn)生n≠0的非對稱電磁波，且儀器偏離井眼中心程度越大，n的上限值越大，計算時間越長。

圖1 地層模型簡圖Fig.1 Schematic configuration of formation model

接收線圈的感應(yīng)電動勢為

式中，NR為接收線圈匝數(shù);RR（rR，φR，zR）為接收線圈位置坐標(biāo);Hz為磁場強度的軸向分量。由式（9）經(jīng)計算可得到兩個接收線圈之間的幅度比和相位差，進而計算出幅度比電阻率RA和相位差電阻率RΦ［1，10］。

2 數(shù)值計算及結(jié)果分析

采用上述算法模擬Schlumberger公司ARC675隨鉆電磁波電阻率測井儀器偏心對響應(yīng)的影響規(guī)律。該儀器兩接收線圈之間的距離為15.24 cm，5組發(fā)射線圈到兩接收線圈中點的距離分別為40.64，55.88，71.12，86.36，101.60 cm，采用高頻 2 MHz和低頻400 kHz兩種發(fā)射頻率。計算時取井眼直徑為22.225 cm，地層相對介電系數(shù)εr=10.0。圖2為2 MHz時5組發(fā)射線圈分別在低阻鉆井液（Rm=0.05 Ω·m，Rt=30 Ω·m）和高阻鉆井液（Rm=100 Ω·m，Rt=0.5 Ω·m）情況下幅度比電阻率RA和相位差電阻率RΦ隨儀器偏心距的變化關(guān)系曲線。圖3為400 kHz時5組發(fā)射線圈的響應(yīng)隨儀器偏心距的變化關(guān)系曲線。

圖2 頻率為2 MHz時線圈系的偏心響應(yīng)Fig.2 Coil's eccentric response at 2 MHz

圖3 頻率為400 kHz時線圈系的偏心響應(yīng)Fig.3 Coil's eccentric response at 400 kHz

由圖2和圖3可以看出，無論是在低阻鉆井液還是在高阻鉆井液井眼中，儀器的偏心均對幅度比電阻率和相位差電阻率產(chǎn)生了影響，且偏心距越大影響程度越大。這是由于儀器越偏離井眼中心，模型和電磁場的軸對稱性越差，發(fā)射線圈產(chǎn)生的非對稱電磁波所占的比重越大。在偏心距相同的情況下，高頻2 MHz的響應(yīng)受儀器偏心的影響遠大于低頻400 kHz的響應(yīng)受到的影響。例如，當(dāng)偏心距為5 cm時，在高阻鉆井液井眼中 A40L的測量值為0.485 Ω·m，而A40H的測量值則為0.365 Ω·m，后者與儀器在井眼中心的測量值0.5 Ω·m相差很大。這是由于頻率越低，電磁波在地層中傳播時信號衰減越小，并且受井眼的影響越小，因而受儀器偏心的影響越小。儀器響應(yīng)在低阻鉆井液井眼中受偏心距變化的影響規(guī)律與在高阻鉆井液井眼中受偏心距變化的影響規(guī)律差別很大，在對信號進行偏心校正時需分別對待。無論井眼內(nèi)是低阻鉆井液還是高阻鉆井液，在隨鉆電磁波電阻率測井中，儀器偏心均導(dǎo)致幅度比電阻率和相位差電阻率出現(xiàn)差異，且儀器偏心的影響不能簡單地通過將幅度比電阻率和相位差電阻率進行平均來消除。例如圖3（c）和圖3（d）顯示出由儀器偏心導(dǎo)致的幅度比電阻率和相位差電阻率變化趨勢恰恰相反，將兩個視電阻率進行平均可以在一定程度上消除儀器偏心的影響，但其他情況并不符合這個規(guī)律。

圖4和圖5分別為2 MHz和低頻400 kHz時5組發(fā)射線圈分別在低阻鉆井液（Rm=0.05 Ω·m）和高阻鉆井液（Rm=100 Ω·m）井眼中偏心距為2.54 cm的幅度比電阻率RA1和相位差電阻率RΦ1與儀器居于井眼中心的幅度比電阻率RA0和相位差電阻率RΦ0的比值隨原狀地層電阻率Rt的變化關(guān)系曲線。

圖4 頻率為2 MHz時線圈系偏心響應(yīng)與居中響應(yīng)之比隨地層電阻率的關(guān)系Fig.4 Relation between ratio of coil's eccentric to centric response with formation resistivity at 2 MHz

圖5 頻率為400 kHz時線圈系偏心響應(yīng)與居中響應(yīng)之比隨地層電阻率的關(guān)系Fig.5 Relation between ratio of coil's eccentric to centric response with formation resistivity at 400 kHz

對于低阻鉆井液，地層電阻率越大，儀器偏心的影響越大，越需要對影響進行校正。對于高阻鉆井液，地層電阻率越小，儀器偏心的影響越大，越需要對影響進行校正。在低頻情況下，若鉆井液電阻率和原狀地層電阻率差別不是很大，則無須對儀器偏心影響進行校正，尤其是在高阻鉆井液井眼中。總之，在鉆井液電阻率和原狀地層電阻率差別較大的情況下，對于高頻測量數(shù)據(jù)必須進行儀器偏心校正，這樣才能精確確定地層電阻率。在鉆井過程中，可通過使用定心器或把儀器安放在近鉆頭部位以使儀器居中，從而無須通過偏心校正即可獲得精確的地層電阻率值。

3 結(jié)論

（1）采用圓柱坐標(biāo)系下徑向成層介質(zhì)中磁流源并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式計算井眼內(nèi)儀器偏心對隨鉆電磁波電阻率測井響應(yīng)的影響，既考慮到了每層介質(zhì)內(nèi)對稱的柱面電磁波也考慮到了各階非對稱電磁波，是計算該類問題的有效算法。

（2）無論是在低阻鉆井液還是在高阻鉆井液井眼中，儀器偏心均對幅度比電阻率和相位差電阻率產(chǎn)生了影響，且偏心距越大影響程度越大。儀器偏心的影響隨頻率的升高而增加。對于低阻鉆井液，地層電阻率越大，儀器偏心的影響越大，越需要對影響進行校正。對于高阻鉆井液，地層電阻率越小，儀器偏心的影響越大，越需要對影響進行校正。

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Evaluating influence of eccentricity on response of electromagnetic wave resistivity logging-while-drilling by vector eigenfunction expansion formulae for dyadic Green's functions

WEI Bao-jun，TIAN Kun，ZHANG Xu，LIU Kun

（College of Physics Science and Technology in China University of Petroleum，Dongying257061，China）

The vector eigenfunction expansion formulae of the magnetic-current-source dyadic Green's functions for radial layered medium in cylindrical coordinate system were derived to compute the response of electromagnetic wave resistivity loggingwhile-drilling and to investigate the influence of instrument's eccentricity on the response within the borehole.The radially layered cylindrical formation model is adopted，and it is assumed that the formation within each layer is homogeneous and isotropic.The electromagnetic wave within each layer is the superposition of cylindrically symmetric wave and different orders of asymmetric waves.It has shown from computation that the influence of the instrument's eccentricity increases with the frequency rising.For resistive mud，the influence of the instrument's eccentricity should be corrected when the resistivity of the formation is low.For conductive mud，the influence of the instrument's eccentricity should be corrected when the resistivity of the formation is high.

electromagnetic wave resistivity;logging-while-drilling;eccentricity;dyadic Green's functions;vector eigenfunction

P 631.9

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.05.010

1673-5005（2010）05-0057-06

2010－02－15

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃（NCET-10-0767）;教育部科學(xué)技術(shù)研究重點項目（109101）;山東省自然科學(xué)基金項目（Y2007E06）

魏寶君（1969－），男（漢族），山東臨沂人，教授，博士，研究方向為應(yīng)用地球物理和電磁場理論方法。

（編輯 修榮榮）