世界是非線性的，但是，人類對它的認(rèn)識卻是從簡單的線性開始的。早在公元前500年左右，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關(guān)系增加的。到了18世紀(jì)，法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先認(rèn)識到，自然界也許不是一個簡單的線性世界。他曾說，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡單、均勻的規(guī)則發(fā)展，那么，這個世界也未免太簡單、太單調(diào)了。

到了19世紀(jì)，隨著力學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個或幾個非線性的項(xiàng)，正是非線性項(xiàng)的存在，使方程由簡單的線性變成了復(fù)雜的非線性。當(dāng)時，這類方程較多地出現(xiàn)在空氣動力學(xué)方程與流體力學(xué)方程之中。而法國數(shù)學(xué)家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結(jié)論：自然界從廣義上講是由非線性構(gòu)成的，線性只是一個特例。

由于線性在數(shù)學(xué)上處理起來簡單，所以，物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家們在遇到自然界的非線性時，總是設(shè)法還原為簡單的線性以便于處理。甚至進(jìn)一步講，人類的近代數(shù)學(xué)都是建立在“線性”的概念上的。

微積分是研究變量關(guān)系的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，它同樣是將概念建立在“線性”的基礎(chǔ)上?！皹O限”概念是微積分的基石，但是，求極限的過程事實(shí)上是一個線性處理的過程。對這一數(shù)學(xué)方法做出杰出貢獻(xiàn)的是德國大數(shù)學(xué)家韋爾斯特拉斯。韋爾斯特拉斯一生充滿挑戰(zhàn)性，他年輕的時候?qū)W的是文科，專攻法律，曾當(dāng)過一段律師和中學(xué)教員，也許是對這種生活感到乏味，后來進(jìn)入明斯特大學(xué)開始研習(xí)數(shù)學(xué)。1854年，也就是39歲時才獲得哥尼斯堡大學(xué)的數(shù)學(xué)博士學(xué)位。

韋爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家將現(xiàn)代函數(shù)，特別是微積分理論建立在“線性”概念的基礎(chǔ)之上，從實(shí)用主義的角度看，簡單、易懂。但是，在面對自然界廣泛的非線性時，卻仍然沒有簡便的認(rèn)識方法，這一困局一直延續(xù)了半個多世紀(jì)。

公認(rèn)的對現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻(xiàn)的是荷蘭的一位氣象學(xué)家，叫洛倫茲，正是他開啟了人類認(rèn)識非線性世界的大門。1962年前后，洛倫茲作為一位訪問學(xué)者在美國馬里蘭州的美國國家氣象中心做長期預(yù)報(bào)的工作。我們知道描述大氣環(huán)流的方程都是非線性的微分方程，人們解這類方程通常采用數(shù)值解法，編好計(jì)算程序，在巨型計(jì)算機(jī)上計(jì)算。

奇跡的出現(xiàn)就在一個上午。洛倫茲輸入初始條件的數(shù)值后考慮計(jì)算時間比較長，就到外面的走廊上喝了一會兒咖啡，幾分鐘過后，他返回到計(jì)算機(jī)旁邊，將初始條件做了小小的改動，又繼續(xù)計(jì)算，等他再次回到計(jì)算機(jī)旁時，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)據(jù)發(fā)生了巨大變化。他的第一個感覺是，可能電腦出問題了，于是就檢查了電腦，但沒有發(fā)現(xiàn)什么問題，于是又檢查計(jì)算程序，也沒有問題，這使他大為困惑，因?yàn)榘凑胀ǔＮ覀儗€性世界的理解，一個方程的初始條件改變一丁點(diǎn)，結(jié)果是不會出現(xiàn)巨大的差異的，但這次卻完全不同，初始條件只改變了百分之幾，但輸出結(jié)果卻改變了成千上萬倍。

接下來的幾天中，洛倫茲反復(fù)重復(fù)計(jì)算，結(jié)果都一樣。只要初始條件有百分之一，甚至千分之一的改變，非線性方程的輸出計(jì)算結(jié)果，變化成百上千倍，真是不可思議，這在線性世界是決然不可能發(fā)生的。半個月過后，思維敏捷的洛倫茲意識到，他得到了一個重大的發(fā)現(xiàn)，非線性的世界和線性的世界有著天壤之別。在非線性世界中，結(jié)果對初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點(diǎn)微小的變化，隨著時間的推移，結(jié)果會越來越發(fā)生質(zhì)的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱為“混沌效應(yīng)”。

雖然洛倫茲無意之中闖入非線性世界的大門，但是，讓習(xí)慣了線性思維的學(xué)術(shù)界接受這一發(fā)現(xiàn)卻比較困難。所以，他的論文沒有發(fā)表到主流的數(shù)學(xué)期刊上，而是發(fā)表到了一份氣象學(xué)的刊物上，發(fā)表之后，10年間也沒引起什么注意。

人類開始對非線性世界全面、系統(tǒng)的研究開始于20世紀(jì)80年代。那時，計(jì)算機(jī)的速度更快了，同時，人們發(fā)現(xiàn)的非線性方程也越來越多，這樣，一批有志于揭開非線性世界面紗的年輕數(shù)學(xué)家就開始上陣，一時間，“混沌理論”席卷學(xué)術(shù)界。到現(xiàn)在，近30年的時間過去了，“混沌理論”已由當(dāng)初的數(shù)學(xué)學(xué)科擴(kuò)展到物理學(xué)、化學(xué)，甚至是經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會科學(xué)。如人類行為學(xué)的研究就已經(jīng)引入了非線性理論的若干方法。

雖然人類對非線性世界的認(rèn)識已經(jīng)過去了30多年，但是，只是初步揭開了非線性世界的面紗，非線性世界的復(fù)雜性仍然是擺在未來數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，乃至社會學(xué)家面前的一道難題。相信隨著研究的深入，在新的世紀(jì)中，非線性的世界會帶給我們更多的驚奇和發(fā)現(xiàn)。