摘要: 本文運(yùn)用物理學(xué)規(guī)律，以噴泉水流中的小水滴為模型來(lái)分析噴泉噴水速度、噴射最大水平距離和噴射高度之間的呃相互關(guān)系以及影響這些量的因素，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)噴射高度和噴射最大水平距離的適當(dāng)控制，達(dá)到行人能夠看到賞心悅目的景象與被水淋濕之間可以接受的平衡。

關(guān)鍵詞: 空氣阻力系數(shù);直流式噴頭;matlab;曲線(xiàn)擬合

1.問(wèn)題重述

在一個(gè)樓群環(huán)繞的寬闊的露天廣場(chǎng)上，裝飾噴泉把水噴向高空。刮風(fēng)的日子，風(fēng)把水花從噴泉吹向過(guò)路行人。噴泉射出的水流受到一個(gè)與風(fēng)速計(jì)(用于測(cè)量風(fēng)的速度和方向)相連的機(jī)械裝置控制，前者安裝在一幢鄰近樓房的頂上。這個(gè)控制的實(shí)際目標(biāo)，是要為行人在賞心悅目的景象和淋水浸濕之間提供可以接受的平衡:風(fēng)刮得越猛，水量和噴射高度就越低，從而較少的水花落在水池范圍以外。

現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)算法，隨著風(fēng)力條件的變化，運(yùn)用風(fēng)速計(jì)給出的數(shù)據(jù)來(lái)調(diào)整由噴泉射出的水流?？諝庾枇Φ挠?jì)算公式為f=krv (k為空氣阻力系數(shù)，r為水滴半徑，v為水滴的速度，見(jiàn)參考文獻(xiàn)【1】)。

2.問(wèn)題分析

題目的關(guān)鍵就是要求噴出噴頭的水流所能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離與噴出水流的初速度及所測(cè)得的風(fēng)速和風(fēng)向之間的關(guān)系。因此，需要確定水珠為研究對(duì)象，分析水珠的運(yùn)動(dòng)情況。在空氣中運(yùn)動(dòng)的小水珠，假定其形狀為球形，它在空氣中受到重力mg 、空氣阻力和風(fēng)的作用力作用(m為小水珠質(zhì)量，g為重力加速度)，這樣，就可以建立力學(xué)模型來(lái)求解。查詢(xún)資料可知:小水珠所受到的空氣阻力與小水珠半徑及其運(yùn)動(dòng)速度成正比，即:，為空氣阻力系數(shù)，r為小水珠半徑，v為小水珠速度(參考文獻(xiàn)【1】【2】)

3.模型建立與求解

以豎直向上為z軸正方向，考慮一個(gè)噴頭噴出的水流，設(shè)水流在水平面內(nèi)投影為x軸，水平面內(nèi)與x軸垂直的方向定為y軸(x軸、y軸、z軸構(gòu)成右手系)

設(shè)噴頭方向與x軸方向成角為β，則與z軸成角為β，記水流初速度為，則它在x軸β、

z軸分量β (1)

3.1 z軸方向的分析

在z軸方向上，水滴上升時(shí)受到兩個(gè)力的作用:重力和空氣阻力(如右圖)，則:

(為水珠在z軸方向上的瞬時(shí)速度)

從而可以求出:

對(duì)t積分，得到水珠在z軸方向的位移(3)

當(dāng)=0時(shí)，水珠位于最高點(diǎn)，h=H 記此時(shí)時(shí)間為

則帶入上式，可得:

同理可求得:下降時(shí)，

當(dāng)小水珠落地時(shí)，水珠下降過(guò)程位移，從而得到:

水珠從噴射出去到落地所經(jīng)歷時(shí)間滿(mǎn)足:

3.2 在水平方向上的分析(以x軸為例)

在x軸方向，小水珠只受一個(gè)風(fēng)的作用力作用，用微元法分析:

設(shè)風(fēng)速與x軸正方向成角為θ，取時(shí)間微元，空氣密度記為ρ1，記所測(cè)當(dāng)?shù)仫L(fēng)速為，風(fēng)速在x軸方向上的分量=θ，時(shí)間內(nèi)作用在水珠上的空氣柱體積(其截面積為)，其質(zhì)量(6)

假設(shè)空氣與水碰撞后動(dòng)量可忽略不計(jì)，則風(fēng)作用在水珠前后，二者總動(dòng)量守恒定理:

其中是高為h處的風(fēng)作用在水珠上使得水珠速度發(fā)生的變化

由(6)(7)知:

將(2)(4)分別帶入上式，對(duì)兩邊積分有:

t時(shí)刻，水珠速度的x軸方向分量

為水流從噴嘴中噴出時(shí)的速度在x軸方向的分量

對(duì)t積分即得水流沿x軸方向噴射的距離

水流在Y軸方向偏移量也可同理求得，為

，這樣，

水流噴射出去的距離

為了滿(mǎn)足行人得到較好的觀賞效果，要使得H盡可能的大;要使得行人淋到的水較少，需要使得這里淋到水池以外的水較少，這里設(shè)定L不得大于。這樣，只需要求得L的最大值即可，而對(duì)于圓周行的噴泉來(lái)說(shuō)，在與風(fēng)向同向的方向上的水流的L是最大的，即此時(shí)=0，=

這樣，我們就可以建立線(xiàn)性規(guī)劃模型在測(cè)得的風(fēng)速給定的情況下，解出使得H最大同時(shí)使得上述限制條件得到滿(mǎn)足的，然后再用曲線(xiàn)擬合的思想求出隨變化的函數(shù)關(guān)系式，從而達(dá)到控制水流的目標(biāo)。

3.3建立非線(xiàn)性規(guī)劃模型

由以上分析，很容易建立如下的線(xiàn)性規(guī)劃模型:

(目標(biāo)函數(shù))

(關(guān)于水流最遠(yuǎn)距離的約束)

上述為水流由噴出到落地的總時(shí)間，由(5)式給出，即:

其他參數(shù)及常量說(shuō)明:，小水珠質(zhì)量

為小水珠半徑，

為水的密度

為空氣阻力系數(shù)，由文獻(xiàn)【2】知其數(shù)值約為

為水射出時(shí)的初速度，是決策變量β為噴嘴方向與水平方向夾角

為引力常量，R為噴水池半徑，是一個(gè)待定參數(shù)

為測(cè)得的當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)速，是待測(cè)定的量

3.4取定待測(cè)參數(shù)值，求解上述規(guī)劃問(wèn)題

取β R=8.0m查詢(xún)資料(文獻(xiàn)【3】)知:噴泉噴嘴噴出的水流中水珠的直徑與噴嘴形狀有關(guān)，如下表:

這里，設(shè)噴頭形式為直流式，則可取

然后依次取合理的風(fēng)速值(即)，用lingo軟件求解上述規(guī)劃模型，并記下最優(yōu)解時(shí)的值，如下表:

用matlab對(duì)上述所求、的值做多項(xiàng)式擬合即可得到隨變化的近似關(guān)系，如對(duì)這里的數(shù)據(jù)進(jìn)行五次多項(xiàng)式擬合得到:

4.模型評(píng)價(jià)

本文在對(duì)噴水池噴水原理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，利用動(dòng)量定理解決了風(fēng)速與風(fēng)力的轉(zhuǎn)變問(wèn)題，分段考慮水滴上升與下降的不同情況，用積分處理了不同高度不同風(fēng)速的問(wèn)題，從而得到了最終求最大噴射高度為目標(biāo)函數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃模型。模型在內(nèi)容上包含了噴泉噴射過(guò)程中的各個(gè)特點(diǎn)，得到的結(jié)果與實(shí)際露天廣場(chǎng)上裝飾噴泉情況相近;并且因?yàn)槟Ｐ褪墙⒃谝粋€(gè)抽象的噴水池噴水上，因而適用于現(xiàn)實(shí)中的多種抽象問(wèn)題中。

參考文獻(xiàn):

[1]譚金川，下落雨滴的終極速度漫議，物理教師，第25卷第1期:6-8頁(yè)，2004年;

[2]孫大君，雨滴下落問(wèn)題芻議，物理教師，第19卷第3期:22-23頁(yè)，1998年;

[3]作者不詳，水景及游泳池給水系統(tǒng)，http://222.66.109.20/jpke/gny/subject/

images/kjdb.ppt，2008年 8月 25日。