摘要:通過開放性問題這一有利載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新欲望，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能、塑造學(xué)生的創(chuàng)新品質(zhì)，來(lái)培養(yǎng)出大量的創(chuàng)新應(yīng)用型人才。

關(guān)鍵詞:開放性問題;創(chuàng)新意識(shí);創(chuàng)新思維;創(chuàng)新實(shí)踐;創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1000-8136(2009)27-0148-02

1數(shù)學(xué)開放性問題的幾個(gè)特點(diǎn)

1.1“自謀結(jié)論”

對(duì)于同一個(gè)問題可以有多個(gè)“開端”。因此，可以從不同的“開端口”入手，通過多角度進(jìn)行思考、聯(lián)想和探索，自謀結(jié)論。如:正面與反面聯(lián)想、普通與極端聯(lián)想、演繹與歸納聯(lián)想等。

例1， 是不是某個(gè)自然數(shù)的完全平方?證明你的結(jié)論。

可引導(dǎo)學(xué)生去尋找、猜想:因?yàn)?489=672，444889=6672，于是便猜測(cè)有結(jié)論:444…488…89=66…672。

1.2“舊瓶新酒”

對(duì)于同一個(gè)問題，應(yīng)該根據(jù)具體情況的變化而變化，要面對(duì)新的問題，善于修改不正確的思路，排除定勢(shì)思維的干擾，防止思路僵化，方法呆板。

例2，問a取哪些正整數(shù)時(shí)，方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一個(gè)整數(shù)根?

解這道題時(shí)，人們往往認(rèn)為這是一道關(guān)于x的二次方程，自然用求根公式來(lái)解，進(jìn)而討論方程至少有一個(gè)整數(shù)根的條件，這樣做是十分煩瑣的。

二次方程雖是我們所熟知的，但問題有變化。“二次方程”這個(gè)“舊瓶”中，添進(jìn)了“新酒”——至少有一個(gè)整數(shù)根，而且還有一個(gè)正整數(shù)a作為參數(shù)。因此，當(dāng)你用二次方程有關(guān)知識(shí)解答受阻時(shí)，可以把a(bǔ)看作未知數(shù)，x為參數(shù)一試，便得出結(jié)論。

1.3“新瓶舊酒”

對(duì)于同一個(gè)問題，應(yīng)該細(xì)心觀察，不要忽視每一個(gè)細(xì)節(jié)，要努力挖掘其潛在的因素，變“陌生”為“熟悉”，以增加成功的機(jī)會(huì)。

例3，復(fù)數(shù)z1、z2、z3的輻角分別為α、β和γ，又|z1|=1，|z2|=k，|z3|=2-k，z1+z2+z3=0，問k為何值時(shí)，cos(β-γ)分別取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。

由條件z1+z2+z3=0可知:用|z1|、|z2|、|z3|為邊構(gòu)造三角形，即△ABC的三邊分別為1、k、2-k，且1所對(duì)應(yīng)的三角形內(nèi)角為π-(γ-β)，透過“z1+z2+z3=0等”進(jìn)而找到了解決辦法——“余弦定理”。

1.4“新瓶新酒”

對(duì)于一些 “從未見過”的新問題，求解過程也往往有新的巧妙的思路，這時(shí)應(yīng)解放思想，敢于“越規(guī)”，既可有定勢(shì)思維的“老傳統(tǒng)”，也可有發(fā)散思維、求異思維的“別出心裁、新事新辦”。

例4，正五邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)，使得這五個(gè)整數(shù)的和為正。若其中三個(gè)相鄰頂點(diǎn)相應(yīng)的整數(shù)依次為X、Y、Z，而中間的Y<0，則要進(jìn)行如下操作:整數(shù)X、Y、Z分別換成X+Y，-Y，Z+Y。只要所得的五個(gè)整數(shù)中至少還有一個(gè)為負(fù)時(shí)，這種操作繼續(xù)進(jìn)行。問:是否這種操作進(jìn)行有限次后必定終止?設(shè)對(duì)應(yīng)五邊形頂點(diǎn)上的整數(shù)依次為X、Y、Z、U、V，我們打破常規(guī)，巧妙構(gòu)思，設(shè)計(jì)出一個(gè)顯示性函數(shù)F(X，Y，Z，U，V)=(X-Z)2+(Y-U)2+(Z-V)2+(U-X)2+(V-Y)2，若Y<0，與一次操作相對(duì)應(yīng)的有F(X+Y，-Y，Y+Z，U，V)=(X-Z)2+(Y+U)2+[(Z-V)+Y]2+[(U-X)-Y]2+(V+Y)2，相減得:

F(X+Y，-Y，Y+Z，U，V)-F(X，Y，Z，U，V)=2Y(X+Y+Z+U+Z)<0

這表明，每經(jīng)過一次操作，F(xiàn)的值至少下降2，但F的值只能取非負(fù)整數(shù)值。因此，這種操作過程只能進(jìn)行有限次，五個(gè)整數(shù)中再無(wú)負(fù)數(shù)出現(xiàn)。這一解法顯得新奇、巧妙。

2數(shù)學(xué)開放性問題與創(chuàng)新性培養(yǎng)

在解答開放性問題的過程中，或可能引出新的問題，或可能引申推廣出更一般的問題，這些往往是預(yù)料之外的事情，因此，開放性問題有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

2.1通過開放性問題的教學(xué)，能夠挖掘?qū)W生的創(chuàng)新潛能

創(chuàng)新教育，首要的問題就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新意識(shí)的教育。在教學(xué)過程中，讓學(xué)生展開思考探究，使學(xué)生主動(dòng)發(fā)表不同的意見，暴露思維過程，成為解題過程的探索者，才能在強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)的驅(qū)動(dòng)下，轉(zhuǎn)化為創(chuàng)新的自覺行動(dòng)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的主動(dòng)性。有了強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)，才能開展創(chuàng)新實(shí)踐，進(jìn)一步培養(yǎng)創(chuàng)新能力。通過開放性問題的教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

例如，當(dāng)學(xué)過導(dǎo)數(shù)知識(shí)后，有學(xué)生提出“作為導(dǎo)數(shù)f sup1;(a)與(導(dǎo))函數(shù)fsup1;(x)，僅僅是函數(shù)值與函數(shù)之間的關(guān)系嗎?”等問題時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地去思考它。學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)如果函數(shù)f(x)滿足:①在a點(diǎn)連續(xù);②在U(a，δ)內(nèi)可導(dǎo);③ f sup1;(x)存在，則f(x)在a點(diǎn)可導(dǎo)，且fsup1;(a)= f sup1;(x)。

這一發(fā)現(xiàn)使學(xué)生獲得了一種巨大的成功感和自豪感。

2.2通過開放性問題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新

開放性問題是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，這就要求學(xué)生善于選擇題目所提供的信息，及時(shí)調(diào)整思維角度、改變?cè)瓉?lái)的思維過程，并善于由題目的已知條件提出新的設(shè)想和解決問題的方案。在教師的指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的方法，抓住問題的特征、差異、隱含關(guān)系等具體分析、合理聯(lián)想，充分調(diào)動(dòng)大腦中存儲(chǔ)的知識(shí)信息，多角度、多方位的去揭示知識(shí)之間的聯(lián)系，運(yùn)用不同的思想方法去解決問題。

例如，每個(gè)三角形有三邊三角共6個(gè)元素，若兩個(gè)三角形各有5個(gè)元素分別相等，問這兩個(gè)三角形一定全等嗎?為什么?

分析:本題若從正面考慮，很可能得出三角形全等的錯(cuò)誤結(jié)論。若從反面聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)反例，確有其獨(dú)特的功能，設(shè)△ABC的三邊為a=8，b=12，c=18，△A′B′C′的三邊為a′=12，

b′=18，c′=27，則 = = = ，∴△ABC∽△A′B′C′，∴

∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又b=a′，c=b′，這兩個(gè)三角形各有5個(gè)元素分別相等，但顯然這兩個(gè)三角形并不全等。

2.3通過開放性問題的教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐教育

當(dāng)認(rèn)識(shí)主體面對(duì)有待解決的問題或接受一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法，去探求解決問題的策略，有了創(chuàng)新意識(shí)，才能通過創(chuàng)新實(shí)踐，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。通過開放性問題的教學(xué)，能夠加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐。通過開放式的教學(xué)，還可以得到許多證明方法。在探索證明方法的進(jìn)程中，學(xué)生的思維能力得到提高。使得學(xué)生更好地構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合思考、探索研究的能力，學(xué)到更多、更好、更深的知識(shí)。[4]

3數(shù)學(xué)開放性問題的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)開放性問題是極富有教育價(jià)值的一種數(shù)學(xué)問題的題型，其價(jià)值不僅體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的良好思想品質(zhì)方面有著重要作用，而且還體現(xiàn)在:①數(shù)學(xué)開放性問題具有挑戰(zhàn)性，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心、自信心，有利于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。②數(shù)學(xué)開放性問題有利于使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)際生活，并能有機(jī)地結(jié)合其他學(xué)科知識(shí)，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。③數(shù)學(xué)開放性問題具有靈活性、多向性，有利于擴(kuò)大學(xué)生的思維空間，使學(xué)生把機(jī)械模仿轉(zhuǎn)化為探索創(chuàng)造，擴(kuò)展學(xué)生的思路，開發(fā)學(xué)生的潛能，使學(xué)生領(lǐng)悟到再生知識(shí)的方法與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的途徑，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力。

參考文獻(xiàn)

1 劉玉璉、傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(上)[M].北京:高等教育出版社，1992

2 梁俊奇. Lagrange定理的干擾性證明[J].商丘師院學(xué)報(bào)，2002(2)

3 謝效訓(xùn).關(guān)于拉格朗日中值定理的證明[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001(3)

4 張立卓等.分段函數(shù)在分界點(diǎn)求導(dǎo)的一個(gè)方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001(3)

5 周春荔等.數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)與智力開發(fā)[M].北京:首都師范大學(xué)出版社，2000.12

The Open Question of Mathematics and Innovation Education

Zhang Xiuling

Abstract: Through this favorable carrier of open question， train students’ innovation ability， help to encourage students' innovation Desire， develop students’ innovative latent energy， innovative quality of moulding students， to train a large number of applied talents of innovation.

Key words: Open question; Innovative consciousness; Innovative thinking ; Innovative practice; Innovation ability