張曉文，王大軼，黃翔宇

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

深空探測轉(zhuǎn)移軌道自主中途修正方法研究*

張曉文1，2，王大軼1，2，黃翔宇1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

針對深空轉(zhuǎn)移軌道，提出以B平面參數(shù)為終端參數(shù)，采用脈沖控制和線性制導(dǎo)的自主中途修正方法.由自主導(dǎo)航系統(tǒng)定期確定探測器的當(dāng)前位置和速度，之后利用精確動力學(xué)積分遞推狀態(tài)至B平面，得到打靶誤差，若誤差超出目標(biāo)精度范圍又在自主修正系統(tǒng)修正能力范圍內(nèi)，則立即利用以B平面參數(shù)為終端參數(shù)的線性制導(dǎo)公式并結(jié)合牛頓迭代計(jì)算出修正軌道的速度增量.利用中心差分公式計(jì)算終端參數(shù)對控制參數(shù)的敏感矩陣.蒙特卡羅仿真表明，在小偏差前提下該方法能夠達(dá)到制導(dǎo)目標(biāo).

中途修正；B平面；轉(zhuǎn)移軌道；深空探測

自主中途軌道修正是深空探測器實(shí)現(xiàn)自主控制的關(guān)鍵技術(shù)之一.深空探測器進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道后，由于存在入軌誤差、導(dǎo)航誤差和機(jī)動執(zhí)行誤差等因素影響不可避免偏離設(shè)計(jì)軌道，因此需要對其進(jìn)行中途修正.自主中途軌道修正是指深空探測器在無地面干預(yù)情況下利用導(dǎo)航信息自行計(jì)算修正軌道所需控制量，然后由推進(jìn)系統(tǒng)執(zhí)行的過程.

目前對于中途軌道修正的研究和應(yīng)用大多基于地面測控方式［1-4］，而對自主執(zhí)行方式極少涉及.基于地面測控的中途修正事先經(jīng)過大量的數(shù)學(xué)計(jì)算和仿真分析，精心設(shè)計(jì)修正方案后上傳至探測器執(zhí)行相應(yīng)機(jī)動.由于星上存儲和計(jì)算資源有限，顯然不能將基于地面測控的中途修正方式直接移植用于自主中途修正，因此有必要研究專門的簡化算法.1998年發(fā)射升空的“深空一號”探測器首次嘗試了基于小推力連續(xù)式的自主中途修正技術(shù)［5］，為這一領(lǐng)域的研究提供了有益參考.

本文深入研究了轉(zhuǎn)移軌道段的自主軌道修正問題，提出了以B平面參數(shù)為終端參數(shù)基于速度脈沖控制的自主中途修正方法.

1 中途修正問題

深空探測中途修正并不是把軌道修正為標(biāo)稱軌道，因?yàn)閺娜剂舷慕嵌瓤紤]這樣做不合算.中途修正是在有誤差的位置上施加一個(gè)合適的速度增量，使探測器沿著一條新的轉(zhuǎn)移軌道飛行來滿足對最終狀態(tài)的要求［5］.

中途修正時(shí)刻探測器的初始參數(shù)記為P，一般為位置和速度.探測器最終飛抵目標(biāo)區(qū)域的終端參數(shù)記為Q.則深空轉(zhuǎn)移軌道終端狀態(tài)與初始狀態(tài)的關(guān)系可表示為函數(shù)

中途修正問題就是利用一定的制導(dǎo)方法使探測器到達(dá)目標(biāo)區(qū)域的實(shí)際狀態(tài)Q與期望狀態(tài)Qnom之間的誤差ΔQ小于設(shè)定閾值

深空飛行軌道的終端參數(shù)常見形式是目標(biāo)軌道的傾角和近心距，或是B平面參數(shù).

2 B平面參數(shù)

Kizner［6］發(fā)現(xiàn)建立在目標(biāo)天體B平面上的參數(shù)與探測器飛行軌道狀態(tài)參數(shù)之間存在很好的線性關(guān)系.大量的理論分析和工程實(shí)踐表明，深空探測器的飛行軌道可以用B平面參數(shù)來描述目標(biāo)散布，并且用迭代方法修正B平面參數(shù)的誤差具有很好的收斂性，較之軌道傾角和近心距等直觀目標(biāo)參數(shù)更容易計(jì)算得到速度增量［7］.

B平面一般定義為過目標(biāo)天體中心并垂直于接近目標(biāo)天體的雙曲線漸近線的平面.記進(jìn)入軌道的漸近線方向的單位矢量為.若目標(biāo)天體引力影響可以忽略，漸近線方向矢量可以取為探測器的相對速度方向.

B矢量定義為由B平面原點(diǎn)指向軌道與B平面交點(diǎn)的矢量，記為.B平面參數(shù)定義為在軸的分量 BT和在軸的分量 BR，則 BT和 BR為

此外，探測器沿飛行軌道到B平面的距離通常用等價(jià)的到達(dá)時(shí)間tTOF來描述.

3 中途修正的線性制導(dǎo)方法

將實(shí)際軌道在標(biāo)稱軌道附近泰勒展開保留線性項(xiàng)，得到如下線性控制方程：

式中：K為終端狀態(tài)對控制參數(shù)的敏感矩陣，有K＝?Q／?P T；ΔP為控制量.

解控制方程（5）的方法取決于控制量的維數(shù)m和終端參數(shù)的維數(shù)n.采用不同方法求解得到如下3種結(jié)果［5］.

（1）n＝m

此時(shí)方程組中方程的數(shù)量與控制參數(shù)的數(shù)量相同，最容易求解.只需對敏感矩陣K簡單的求逆便可得到控制方程的唯一解ΔP，即

（2）n＞m

此時(shí)控制參數(shù)的數(shù)量少于方程組中方程的數(shù)量，利用最小二乘方法求解控制量ΔP.使下面性能指標(biāo)取得最小值的ΔP便是所求解：

使J最小的控制方程的最小二乘解為

此最小二乘收斂解只能保證性能指標(biāo)J和殘余誤差ΔQ最小，不能保證ΔQ一定小于閾值et.

（3）n＜m

此時(shí)控制參數(shù)的數(shù)量多于終端狀態(tài)維數(shù).在ΔQ＝KΔP的約束下，選幅值最小的修正量ΔP為控制方程的解.性能指標(biāo)如下：

式中，λ是拉格朗日乘子.利用變分法求得此方程的解為

4 基于B平面參數(shù)的中途修正方法

B平面參數(shù)的誤差定義如下：

以B平面參數(shù)作為終端參數(shù)，只考慮BR和BT的誤差ΔB R和ΔB T時(shí)，殘余誤差為

所需速度增量計(jì)算公式如下：

用這個(gè)修正量來修正初始狀態(tài)，然后再重新計(jì)算殘余誤差、敏感矩陣和速度增量.這樣反復(fù)迭代到末端狀態(tài)滿足一定的精度.用迭代后狀態(tài)減去迭代前狀態(tài)就是實(shí)際要執(zhí)行的速度增量.此過程屬于牛頓迭代算法.

若限定到達(dá)時(shí)間tTOF，則殘余誤差為

所需速度增量計(jì)算公式如下：

實(shí)際要執(zhí)行的速度增量同樣通過迭代求解.式（18）中敏感矩陣的表達(dá)式如下：

計(jì)算敏感矩陣K主要有利用數(shù)值差分的方法和利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法.首先介紹數(shù)值差分方法，以計(jì)算敏感矩陣第1個(gè)元素為例，給出中心差分公式如下［5］：

式中，ε是小幅值攝動量，即速度增量，也是差分運(yùn)算的步長.攝動量ε的取值是利用數(shù)值差分方法計(jì)算敏感矩陣的關(guān)鍵.

下面介紹利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算敏感矩陣的方法.設(shè)狀態(tài)變量為X＝[r ]vT，其中r和v是探測器的位置和速度，式（5）可以化為

即

式中：X i是探測器在初始時(shí)刻的狀態(tài)；X f是探測器在終端時(shí)刻的狀態(tài)；Φf為終端軌道狀態(tài)相對初始狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.在式（22）中除Φf外，其余兩個(gè)偏導(dǎo)矩陣具有確定的表達(dá)式.而Φf則需要通過對矩陣微分方程和軌道動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值積分才能計(jì)算出來.

首先分析不限定到達(dá)時(shí)間tTOF的情況.B平面參數(shù)Q＝[ BRBT]T與轉(zhuǎn)移軌道終端狀態(tài) Xf的解析表達(dá)式如下：

則

修正時(shí)刻狀態(tài)對控制變量的導(dǎo)數(shù)為

其次分析限定到達(dá)時(shí)間tTOF的情況.由式（14）可知

到達(dá)時(shí)間誤差ΔtTOF是在標(biāo)稱值附近的小偏差量，因此可以利用二體問題的公式近似表示.中心天體取為在交會時(shí)刻對探測器作用力最大的天體.已知t時(shí)刻探測器的位置和速度，則由活力公式求出半長軸a為

式中：μ是中心天體的引力常數(shù)；r＝‖r‖；v＝‖v‖.偏心率e和t時(shí)刻的偏近點(diǎn)角E的計(jì)算公式如下：

由開普勒方程可得

式中，τ是過近心點(diǎn)時(shí)刻.已知軌道上兩點(diǎn)的狀態(tài)（r0，v0）和（r1，v1）就可由上述公式求出轉(zhuǎn)移時(shí)間

由式（27）～（32）可以建立終端狀態(tài)和到達(dá)時(shí)間的解析關(guān)系，繼而求得到達(dá)時(shí)間對終端狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)

最后，B平面參數(shù)Q＝[ BRBTtTOF]T與轉(zhuǎn)移軌道終端狀態(tài)Xf的解析表達(dá)式如下：

5 自主中途修正方法

在前面研究的基礎(chǔ)上，提出以B平面參數(shù)為終端參數(shù)的深空轉(zhuǎn)移軌道自主中途修正方法，其步驟如下.

1）計(jì)算B平面誤差.深空探測器進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道后，利用自主導(dǎo)航系統(tǒng)的周期性確定當(dāng)前位置和速度，并傳遞給自主制導(dǎo)系統(tǒng)，利用龍格-庫塔算法對動力學(xué)模型精確積分來獲得最終狀態(tài)，計(jì)算出交會時(shí)B平面誤差ΔQ.

2）判斷是否執(zhí)行修正.若B平面誤差小于下限閾值，即在當(dāng)前制導(dǎo)精度下軌道偏差在可接受范圍內(nèi)，則不啟動本次修正；若B平面誤差大于上限閾值，即軌道偏差已經(jīng)超出自主制導(dǎo)系統(tǒng)修正范圍，則立即向地面控制中心下傳求助信號；若B平面誤差處于上下限閾值之間，則執(zhí)行下一步.

3）計(jì)算修正量.首先由式（20）所示的中心差分公式計(jì)算終端狀態(tài)變量對控制參數(shù)的敏感矩陣K，之后利用式（16）或式（18）計(jì)算修正量，用龍格-庫塔算法和精確的動力學(xué)模型對修正后的軌道進(jìn)行數(shù)值積分，再次求出ΔQ和K.這樣反復(fù)迭代到末端狀態(tài)滿足一定的精度.用迭代后狀態(tài)減去迭代前狀態(tài)就是實(shí)際要執(zhí)行的速度增量Δv.

4）執(zhí)行修正機(jī)動.姿態(tài)控制系統(tǒng)調(diào)整探測器姿態(tài)使發(fā)動機(jī)指向需要方向，接著發(fā)動機(jī)點(diǎn)火產(chǎn)生指定大小的速度增量，最后探測器恢復(fù)正常姿態(tài)運(yùn)行其他任務(wù)，等待下一個(gè)軌道修正周期的到來.

6 數(shù)學(xué)仿真

以“鳳凰號”火星探測器轉(zhuǎn)移軌道為例進(jìn)行中途軌道修正的蒙特卡羅仿真.相關(guān)軌道數(shù)據(jù)從NASA網(wǎng)站獲得.動力學(xué)模型以太陽為中心天體，攝動項(xiàng)考慮8大行星引力及太陽光壓.數(shù)值積分采用4階／5階龍格-庫塔算法.軌道起止時(shí)間為2007年9月1日～2008年4月26日.

6.1 敏感矩陣分析

1）用數(shù)值差分方法計(jì)算敏感矩陣.首先分析敏感矩陣中偏導(dǎo)與攝動量的關(guān)系，結(jié)果見圖1.攝動量的變化范圍為 10－6～102m／s.

圖1給出了B平面參數(shù)對初始速度的偏導(dǎo)數(shù)隨著攝動增大的變化曲線，從中可以看出曲線大致可分為3個(gè)區(qū)域：噪聲區(qū)、穩(wěn)定區(qū)和變化區(qū).以BR對初始速度的偏導(dǎo)數(shù)為例，當(dāng)攝動量小于10－5m／s時(shí)，曲線形似噪聲，故稱此區(qū)間為噪聲區(qū)；當(dāng)攝動量大于100m／s時(shí)，偏導(dǎo)隨著攝動量增加而大幅變化，故稱此區(qū)間為變化區(qū)；當(dāng)攝動量大于10－5m／s小于100m／s時(shí)，曲線幅值非常穩(wěn)定，故稱此區(qū)間為穩(wěn)定區(qū).實(shí)際計(jì)算敏感矩陣中的偏導(dǎo)時(shí)顯然ε應(yīng)該取在穩(wěn)定區(qū)的中間位置.

圖1 B平面參數(shù)對初始速度的偏導(dǎo)與攝動的關(guān)系

其次分析敏感矩陣中各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)隨著制導(dǎo)時(shí)間接近終端時(shí)刻的變化情況，結(jié)果見圖2.

圖2 B平面參數(shù)對初始速度的偏導(dǎo)與制導(dǎo)時(shí)間的關(guān)系（數(shù)值差分方法）

圖2 給出了隨著制導(dǎo)時(shí)間接近終端時(shí)刻B平面參數(shù)對初始速度的偏導(dǎo)數(shù)的變化曲線.從圖中可以看出曲線的幅值隨著修正時(shí)刻逐漸接近終端時(shí)刻而減小并趨于0.這與直觀分析結(jié)果一致，因?yàn)樘綔y器已經(jīng)與B平面相交，所以無論在交點(diǎn)處速度如何變化都不可能改變3個(gè)目標(biāo)參數(shù)的數(shù)值.

2）用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法計(jì)算敏感矩陣.分析敏感矩陣中偏導(dǎo)與制導(dǎo)時(shí)間的關(guān)系，結(jié)果見圖3.

圖3給出了隨著制導(dǎo)時(shí)間接近終端時(shí)刻B平面參數(shù)對初始速度的偏導(dǎo)數(shù)的變化曲線.從圖中可以看出曲線總體而言幅值隨著修正時(shí)刻逐漸接近終端時(shí)刻而減小，但是tTOF對初始速度的偏導(dǎo)數(shù)沒有收斂于0.這與直觀分析結(jié)果不一致，也就是說此時(shí)敏感矩陣有較大誤差.

經(jīng)過比較，利用數(shù)值差分方法和利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算得到敏感矩陣在數(shù)值上存在一定差異.

圖3 B平面參數(shù)對初始速度的偏導(dǎo)與制導(dǎo)時(shí)間的關(guān)系（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法）

6.2 中途修正分析

1）無制導(dǎo)時(shí)的 B平面打靶誤差.表1給出了在3種情況下的B平面打靶誤差.初始時(shí)刻位置各分量隨機(jī)誤差為289 km（1σ），速度各分量隨機(jī)誤差為 0.577 m／s（1σ），仿真中隨機(jī)抽樣 400次.從表1中可以看出引起打靶誤差的主要因素是初始速度誤差.

2）單脈沖中途修正.設(shè)初始時(shí)刻位置各分量隨機(jī)誤差為 289 km（1σ），速度各分量隨機(jī)誤差為0.577 m／s（1σ）；制導(dǎo)目標(biāo)取為 B平面靶點(diǎn)距離誤差小于10 km，到達(dá)時(shí)間誤差小于60 s；軌道修正執(zhí)行時(shí)間為交會前238 d.制導(dǎo)方法采用以下3種：①利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法計(jì)算敏感矩陣且不限到達(dá)時(shí)間；②利用數(shù)值差分方法計(jì)算敏感矩陣且不限到達(dá)時(shí)間；③利用數(shù)值差分方法計(jì)算敏感矩陣且限定到達(dá)時(shí)間.表2給出了隨機(jī)抽樣100次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中 ΔBR、ΔBT和 ΔtTOF給出的是 1σ值，Δv和迭代次數(shù)給出的是平均值.

表1 無制導(dǎo)時(shí)B平面的打靶誤差

表2 單脈沖中途修正的仿真結(jié)果

從表2中可以看出，這3種制導(dǎo)方法均有效，能滿足制導(dǎo)目標(biāo)，且第3種制導(dǎo)方法的修正效果最好，迭代次數(shù)最少，但代價(jià)是所需的速度增量比其他兩種方法大.總體來看，利用數(shù)值差分方法計(jì)算敏感矩陣的制導(dǎo)方法，無論制導(dǎo)效果、所需速度增量大小和迭代次數(shù)都優(yōu)于利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法計(jì)算敏感矩陣的制導(dǎo)方法.

在本算例中，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法計(jì)算得到敏感矩陣的精度較低，可能的原因有以下3種：①由于動力學(xué)模型的非線性導(dǎo)致狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣存在較大線性化誤差；②敏感矩陣對應(yīng)的攝動量不同，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法計(jì)算得到的是無窮小速度增量對應(yīng)的敏感矩陣，而數(shù)值差分方法計(jì)算得到的是接近實(shí)際值的速度增量對應(yīng)的敏感矩陣；③tTOF的近似表達(dá)式存在誤差.

3）考慮執(zhí)行誤差的中途修正.實(shí)際中推進(jìn)系統(tǒng)不可避免存在執(zhí)行誤差，下面對這種情況進(jìn)行仿真.推進(jìn)執(zhí)行誤差先后取為3%和5%；自主中途修正周期取為7 d；制導(dǎo)目標(biāo)同前；利用數(shù)值差分計(jì)算敏感矩陣且限定到達(dá)時(shí)間；初始誤差為x軸方向500 km的位置誤差和1 m／s的速度誤差.表3給出了仿真結(jié)果.

從表3中可知，兩種執(zhí)行誤差情況下，修正次數(shù)都為3次.后面修正的脈沖都小于其前次修正至少一個(gè)數(shù)量級.執(zhí)行誤差越大所需總的速度增量也越大.3%執(zhí)行誤差引起的速度增量增幅為6.5%；5%執(zhí)行誤差引起的速度增量增幅為11.1%.

表3 有執(zhí)行誤差時(shí)的中途修正結(jié)果

4）考慮導(dǎo)航誤差的中途修正.實(shí)際中導(dǎo)航系統(tǒng)給出的探測器位置和速度信息與真實(shí)值存在差異，下面對這種情況進(jìn)行仿真.導(dǎo)航誤差取為x軸方向0.3 m／s；自主中途修正周期取為7 d；制導(dǎo)目標(biāo)同前；初始誤差為 x軸方向500 km的位置誤差和1 m／s的速度誤差.圖4和表4給出了仿真結(jié)果.

圖4 有導(dǎo)航誤差時(shí)中途修正所需的速度增量

表4 有導(dǎo)航誤差時(shí)中途修正結(jié)果

由圖4可知，有0.3 m／s的導(dǎo)航誤差時(shí)，每個(gè)周期都需要進(jìn)行修正.其中，第1個(gè)脈沖主要用于消除入軌誤差，量級最大，達(dá)到1.4 m／s.后續(xù)的速度增量用于消除導(dǎo)航誤差，不過數(shù)量級很小，絕大多數(shù)小于0.2 m／s，在臨近交會時(shí)幅值有所上升.總的速度增量相比無導(dǎo)航誤差情況增大了145%.最終的B平面誤差沒有達(dá)到制導(dǎo)目標(biāo).

將最后一次修正時(shí)刻的導(dǎo)航誤差減小為0.01 m／s，其余時(shí)刻的導(dǎo)航誤差仍然為 0.3 m／s，再進(jìn)行上述仿真，結(jié)果殘余誤差達(dá)到了制導(dǎo)目標(biāo)，見表4.這個(gè)仿真結(jié)果的啟示是：在轉(zhuǎn)移軌道階段當(dāng)導(dǎo)航誤差較大時(shí)，目標(biāo)參數(shù)誤差閾值不必取得太小，否則需要頻繁施加速度增量進(jìn)行修正，造成大量燃料浪費(fèi)；在交會階段隨著相對測量信息的獲得，導(dǎo)航精度有了顯著提高，此時(shí)再減小目標(biāo)參數(shù)誤差閾值能實(shí)現(xiàn)高精度制導(dǎo).

7 結(jié) 論

本文研究了深空探測轉(zhuǎn)移軌道段的自主中途修正問題，提出了以B平面參數(shù)為終端參數(shù)采用脈沖控制并結(jié)合線性制導(dǎo)的自主中途修正方法，其算法相對簡單能夠在星上實(shí)現(xiàn).蒙特卡羅仿真結(jié)果表明，在實(shí)際飛行軌道與標(biāo)稱軌道存在小偏差的前提下，不考慮執(zhí)行誤差和導(dǎo)航誤差時(shí)，利用該方法只需進(jìn)行一次修正即可使探測器的終端狀態(tài)達(dá)到制導(dǎo)目標(biāo)；考慮執(zhí)行誤差和導(dǎo)航誤差后，利用該方法仍然能夠達(dá)到制導(dǎo)目標(biāo)，只是修正次數(shù)和總速度增量明顯增加，尤其是導(dǎo)航誤差對制導(dǎo)性能影響顯著；在每個(gè)修正時(shí)刻，制導(dǎo)目標(biāo)閾值應(yīng)根據(jù)執(zhí)行誤差和導(dǎo)航誤差來設(shè)定，如果閾值設(shè)定太低，則既無法達(dá)到制導(dǎo)目標(biāo)又需要頻繁施加修正脈沖造成的大量燃料浪費(fèi).

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Study on the Autonomous Midcourse Correction during Cruise Phase of Interplanetary Exploration

ZHANG Xiaowen1，2，WANG Dayi1，2，HUANG Xiangyu1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Laboratory of Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

Autonomous midcourse correction is a key technique to facilitate autonomy of an interplanetary spacecraft.Using B-plane parameters as target parameters and impulse control method combined with linear guidance，an autonomous orbit correction method used during cruise phase of interplanetary orbit is proposed.First，the navigation system periodically determines positions and velocities of the spacecraft.The states are then mapped onto the B-plane by integrating the dynamics model accurately.If deviation from the desired encounter condition is large enough and is not out of the capability of autonomous midcourse correction system，the velocity increment for correction maneuver is computed by using linear guidance formula combined with Newton iteration method.The sensitivity matrix of target parameters relative to control parameters is numerically computed using finite central difference formula.Monte Carlo Simulation shows that this method is capable of guiding the spacecraft to a successful encounter.

midcourse correction；B-plane；transfer orbit；deep space exploration

V448.2

A

1674-1579（2009）04-0027-07

*國家863計(jì)劃（2008AA12A203）和國防基礎(chǔ)科研（A0320080019）資助項(xiàng)目.

2009-03-22

張曉文（1982—），男，內(nèi)蒙古人，碩士研究生，研究方向?yàn)樯羁仗綔y自主導(dǎo)航與軌道控制（e-mail：sendup119＠yahoo.com.cn）.