李 曉，趙 宏

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.中國空間技術(shù)研究院，北京100094）

衛(wèi)星轉(zhuǎn)動條件下APS星敏感器星像目標(biāo)中心提取精度分析

李 曉1，趙 宏2

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.中國空間技術(shù)研究院，北京100094）

目前對星敏感器星像定位的研究多限于靜態(tài)情況，而衛(wèi)星轉(zhuǎn)動過程中，在曝光期間星像在像平面不斷移動，從而影響星像定位的精度，重點(diǎn)分析動態(tài)情況下APS星敏感器星像目標(biāo)中心的提取精度.首先分析采用質(zhì)心法計(jì)算星像目標(biāo)中心的誤差源，提出動態(tài)精度的估計(jì)方法，并推導(dǎo)相應(yīng)的計(jì)算公式；進(jìn)而以給定的APS星敏感器參數(shù)為基礎(chǔ)，研究了計(jì)算窗口、曝光時間等精度影響因素的選擇方法；最后通過仿真進(jìn)行了驗(yàn)證.

動態(tài)精度；星像目標(biāo)中心；APS星敏感器；質(zhì)心法

星敏感器是當(dāng)今航天器廣泛采用的一種高精度高可靠性的姿態(tài)測量器件，它通過探測天球上不同方位的恒星來確定航天器相對于慣性坐標(biāo)系的三軸姿態(tài).

星敏感器星像位置的定位精度不僅關(guān)系到姿態(tài)計(jì)算的精度，還影響到星圖匹配的準(zhǔn)確率.為提高星像定位精度，星敏感器采用離焦的光學(xué)系統(tǒng)將星像覆蓋幾個像元，然后通過質(zhì)心法、曲面擬和法等內(nèi)插細(xì)分算法確定星像中心位置，使星像定位精度達(dá)到亞像元或更高的精度.文獻(xiàn)［1-3］研究了靜態(tài)情況星像中心的提取算法和相應(yīng)的精度.

在動態(tài)情況下，由于角速度的影響，曝光期間星像在像平面不斷移動，從而影響星像定位的精度，但目前關(guān)于這方面的研究較少.本文根據(jù)APS像元輸出模型，研究了角速度小于2（°）／s時采用質(zhì)心法提取星像目標(biāo)中心的精度，并在此基礎(chǔ)上分析了計(jì)算窗口和曝光時間對星像目標(biāo)中心提取精度的影響.

1 APS像元輸出模型

APS星敏感器像元噪聲有多種，為簡化分析過程，只考慮暗電流噪聲、光子散粒噪聲、讀出噪聲、背景噪聲和量化噪聲，而將其他噪聲一并歸入讀出噪聲進(jìn)行分析.

像元產(chǎn)生的電荷數(shù)可用如下的隨機(jī)變量來表示［4］：

式中，Ns表示有效信號產(chǎn)生的電荷數(shù)，近似看作高斯分布的隨機(jī)變量，其均值為 μs，標(biāo)準(zhǔn)差為代表光子散粒噪聲對信號的影響；Ndark表示暗電流產(chǎn)生的電荷數(shù)，近似看作高斯分布，均值為 μdark，標(biāo)準(zhǔn)差，是暗電流噪聲在輸出中的體現(xiàn)；B為背景產(chǎn)生的電荷數(shù)，相當(dāng)于10等星產(chǎn)生的電荷數(shù)［5］，分析方法同 Ns；Nron為讀出噪聲，同樣采用高斯分布近似，其均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差σron由星敏感器廠家提供.因此像元產(chǎn)生的電荷數(shù)可以看作均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布

設(shè)像元輸出灰度I與像元產(chǎn)生的電荷數(shù)N滿足如下正比關(guān)系：

式中，m為比例系數(shù)，n為量化位數(shù)，Nsatu為飽和光電子數(shù).量化過程中會產(chǎn)生服從0～1均勻分布的量化誤差，其方差為1／12.因此像元輸出灰度 I的均值E（I）和標(biāo)準(zhǔn)差為

設(shè)σquan為量化誤差的等效電荷數(shù)

則像元輸出灰度I的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為

2 星像目標(biāo)中心提取誤差分析

在靜態(tài)情況下，星像能量滿足正態(tài)分布，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以用二維高斯函數(shù)來表示

式中，（xc，yc）表示星像中心的實(shí)際位置，σPSF為高斯半徑，表示點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的能量集中度.

角速度不為零時，由于在曝光時間段內(nèi)星像中心一直在移動，星像能量分布可以用如下函數(shù)表示：

式中，Te為曝光時間，（xc（t），yc（t））為時刻 t（0≤t≤Te）的星像中心位置坐標(biāo).對其采用質(zhì)心法得

其中A為積分區(qū)域，理論上其范圍應(yīng)該是像平面所處的整個平面.

定義星像中心在 Te／2時刻所處的位置為星像目標(biāo)中心.考慮到角速度一般在2（°）／s以內(nèi)，曝光時間小于0.5 s，星像中心軌跡很短且近似為直線，xc（t），yc（t）可以認(rèn)為是線性函數(shù)，因此·（Te／2）yc（Te／2）.所以采用質(zhì)心法提取星像目標(biāo)中心是可行的.

采用質(zhì)心算法提取星像目標(biāo)中心的誤差可分為兩類：一類是質(zhì)心算法自身的誤差，稱其為系統(tǒng)誤差；另一類是由APS像元噪聲引起的誤差，稱其為隨機(jī)誤差.

2.1 星像目標(biāo)中心提取系統(tǒng)誤差分析

采用質(zhì)心算法計(jì)算星像目標(biāo)中心位置坐標(biāo)的系統(tǒng)誤差有以下3個方面：

1）由于 xc（t）、yc（t）的非線性而帶來的誤差.

2）由于圖像是離散的，用求和替代積分，會引入離散誤差.式（9）近似為

式中，xk，yk為第 k像元的幾何中心坐標(biāo)；Ik為第 k像元的灰度值，與能量分布函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域的積分成正比.產(chǎn)生離散誤差的原因是采用像元的幾何中心代替能量分布函數(shù)的平衡點(diǎn)［2］.

實(shí)際計(jì)算中不可能采用無限大像平面，而是采用一定的窗口區(qū)域As進(jìn)行計(jì)算.即

其中n為窗口區(qū)域內(nèi)像元總數(shù)，用有限區(qū)域代替無限區(qū)域，會引入誤差.在靜態(tài)情況下，計(jì)算窗口一般采用5×5或3×3像元；因此在動態(tài)情況下，計(jì)算窗口As選擇為5×5或3×3像元隨星像中心移動而形成的區(qū)域，分別記為 As5和As3.

第二項(xiàng)系統(tǒng)誤差可以認(rèn)為是采用式（11）代替式（9）產(chǎn)生的誤差，式（11）為采用質(zhì)心法提取星像目標(biāo)中心的最終表達(dá)式.

3）由于APS像元暗電流以及天空背景的影響，Ik自身測量帶有系統(tǒng)誤差，從而給計(jì)算結(jié)果帶來系統(tǒng)誤差.

由式（6）可知，未含有有效信號的 APS像元服從均值 In＝m（μdark＋μB）的正態(tài)分布，In近似等于圖像的灰度均值E.采用式（11）計(jì)算星像目標(biāo)中心時，為抑制第三項(xiàng)系統(tǒng)誤差，計(jì)算窗口內(nèi)的像元灰度應(yīng)減去E.因此忽略第三項(xiàng)系統(tǒng)誤差，并認(rèn)為用于計(jì)算星像目標(biāo)中心的像元灰度I的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為

2.2 星像目標(biāo)中心提取隨機(jī)誤差分析

采用式（11）計(jì)算星像目標(biāo)中心的隨機(jī)誤差由APS像元噪聲引起.由于分析ˉx與ˉy是等效的，下面僅以ˉx為例分析該隨機(jī)誤差.設(shè)μ0為曝光期間產(chǎn)生的總信號電荷數(shù)，μsk為第 k像元的信號電荷數(shù)，Ik為第k像元的灰度期望值，Ik＝mμsk，σk為第k像元的灰度值標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)

則根據(jù)式（8）能量分布函數(shù)積分可得

其中 Ask、As為積分區(qū)域，Ask為像元 k所處區(qū)域，As為計(jì)算窗口所處區(qū)域.

假定各像元的隨機(jī)誤差是不相關(guān)的，根據(jù)隨機(jī)誤差的傳遞公式可得ˉx的方差

令

則

由式（14）可得

可以看出，αx、βx反映了 As區(qū)域的形狀、大小、信號電荷分布對隨機(jī)誤差的影響，而與 μ0、μdark、μB、σron、σquan無關(guān).

恒星在曝光期間產(chǎn)生的總信號電荷數(shù)μ0為

式中，E0＝2.96×10－14W／mm2為零等星輻照度，Mv為星等，D為鏡頭口徑，Eph為單個光子能量，Te為曝光時間，τ0為光學(xué)系統(tǒng)透過率，QE為量子效率，Kfill為填充系數(shù).當(dāng)計(jì)算窗口為As5時，窗口區(qū)域集中了99%以上的有效信號電荷，因此認(rèn)為μs＝μ0；當(dāng)計(jì)算窗口為 As3時，窗口區(qū)域集中了約94%的有效信號電荷，因此認(rèn)為 μs＝0.94μ0.

暗電流μdark可以按如下公式計(jì)算：

式中，Jdark為暗電流密度，S為像元面積，q為一個電荷所帶電量；背景噪聲μB相當(dāng)于10等星產(chǎn)生的電荷數(shù)；讀數(shù)噪聲 σron和量化噪聲σquan為常數(shù)，可根據(jù)APS星敏感器的參數(shù)獲得.

3 星像目標(biāo)中心提取精度估計(jì)

考慮到星體角速度和曝光時間的范圍，星像中心軌跡很短且近似為直線，因此忽略第一項(xiàng)系統(tǒng)誤差，認(rèn)為 xc（t），yc（t）是線性函數(shù).設(shè)星像中心軌跡為線段L，其參數(shù)方程為

式中，u為星像中心移動速率，θ為軌跡與x軸夾角.

設(shè) l為軌跡 L的長度，l＝uTe.將式（21）帶入式（8），并令積分變量t＝τ／u得出信號電荷的分布函數(shù)

由式（22）可以看出，信號電荷的分布函數(shù)只與初始位置（x0，y0）、軌跡L的長度 l和軌跡與 x軸的夾角θ有關(guān).

若軌跡 L的初始位置（x0，y0）、長度 l和與 x軸的夾角θ已知，可以確定計(jì)算窗口As；由式（22）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可以得到信號電荷在As區(qū)域各像元的分布；根據(jù)式（11）可以計(jì)算ˉx、ˉy，與xc（Te／2）、yc（Te／2）比較可獲得第二項(xiàng)系統(tǒng)誤差；同時可以由式（16）和（18）計(jì)算 αx、βx，確定隨機(jī)誤差.

但實(shí)際情況中軌跡的參數(shù)是隨機(jī)的，因此星像目標(biāo)中心的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差也是不確定的.對于系統(tǒng)誤差，其在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，性質(zhì)上屬于未定系統(tǒng)誤差，因此采用標(biāo)準(zhǔn)差ex、ey來表征系統(tǒng)誤差取值的分散程度；對于隨機(jī)誤差σˉx、σˉy，應(yīng)計(jì)算其可能出現(xiàn)的最大值σˉxm、σˉym.最終得到反映星像目標(biāo)中心提取精度的量

由于 x方向與 y方向等效，則 σy＝σx.

表1給定了APS星敏感器參數(shù)［1］，下面以此為基礎(chǔ)計(jì)算星像目標(biāo)中心x方向的提取精度.

當(dāng)計(jì)算窗口為A s5時，隨機(jī)給定 L的參數(shù)并計(jì)算系統(tǒng)誤差230次，圖1為x方向的系統(tǒng)誤差.根據(jù)這230個誤差數(shù)據(jù)，計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差ex＝0.001像元.

表1 給定APS星敏感器的參數(shù)

圖1 計(jì)算窗口為A s5時星像目標(biāo)中心x方向的系統(tǒng)誤差

同理，當(dāng)計(jì)算窗口為 As3時，隨機(jī)給定L的參數(shù)并計(jì)算系統(tǒng)誤差230次，結(jié)果見圖2，計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差ex＝0.025像元.

圖2 計(jì)算窗口為A s3時星像目標(biāo)中心x方向的系統(tǒng)誤差

在角速度的模ω和曝光時間Te一定的情況下，當(dāng)角速度方向與測量坐標(biāo)系的y軸平行時，星像軌跡平行于x軸，αx、βx取得最大值αxm、βxm，從而σˉx取得最大值σˉxm.因此計(jì)算σˉxm時，應(yīng)假定角速度方向平行于y軸.此時θ＝0，軌跡長度l可根據(jù)角速度的模和曝光時間估計(jì)

式中，l的單位是像元，θFOV表示視場角，Npixel為像平面每行或每列的像元數(shù).由于初始位置（x0，y0）對αx，βx影響不大，因此 αxm，βxm與軌跡長度 l的函數(shù)關(guān)系可通過多項(xiàng)式擬和獲得.對于給定的APS星敏感器，計(jì)算窗口為A s5時，αxm，βxm值與軌跡長度 l的函數(shù)關(guān)系為

計(jì)算窗口為As3時，αxm，βxm值與軌跡長度l的函數(shù)關(guān)系為

因此，給定曝光時間 Te，星等 Mv，角速度ω，由式（17）、（24）、（25）可以計(jì)算A s5窗口下 x方向的隨機(jī)誤差上限σˉxm，由式（17）、（24）和（26）可以計(jì)算A s3窗口下x方向的隨機(jī)誤差上限σˉxm.最終由式（23）得到星像目標(biāo)中心 x方向提取精度 σx.圖3和圖4分別給出了3等星和5等星在兩種計(jì)算窗口情況下σx的計(jì)算結(jié)果.通過比較可以看出：選用 As3窗口效果較好.

圖3 3等星的星像目標(biāo)中心提取精度

4 最優(yōu)曝光時間

在靜態(tài)情況下，曝光時間越長，信噪比越高，質(zhì)心提取精度越高.在動態(tài)情況下，隨著曝光時間的增加，信號電荷μs增加，但信噪比卻沒有增加，星像目標(biāo)中心提取精度不一定提高.從圖3和圖4也可以看出，σx隨曝光時間的增加是先減后增的變化趨勢，因此存在最優(yōu)的曝光時間使得星像目標(biāo)中心提取精度最高.

圖4 5等星的星像目標(biāo)中心提取精度

給定星等Mv，角速度ω，由第四節(jié)的分析可知σx是Te的函數(shù)，可以通過求導(dǎo)的方式得到最優(yōu)的曝光時間，也可通過數(shù)值計(jì)算求出最優(yōu)曝光時間.圖5給出了給定的星敏感器采用A s3窗口時，2～6等星的最優(yōu)曝光時間隨角速度ω的變化而變化.

可以看出，星等對最優(yōu)曝光時間的影響不明顯.經(jīng)過計(jì)算比較，從2等星到6等星，最優(yōu)曝光時間的變化范圍不超過20%.而對于一定的星等，曝光時間在最優(yōu)曝光時間附近20%范圍的變化對星像目標(biāo)中心提取誤差的影響不超過1%.因此選擇2～6等星最優(yōu)曝光時間的平均值作為星敏感器的最優(yōu)曝光時間.考慮到曝光時間不宜超過0.5 s，因此最優(yōu)曝光時間的上限為0.5 s.

圖5 2～6等星的最優(yōu)曝光時間

圖6 給出了不同的星等在最優(yōu)曝光時間下的星像目標(biāo)中心提取精度.可以看出，角速度小于2（°）／s，星等小于5時，通過調(diào)整曝光時間可以使星像目標(biāo)中心提取精度保持在0.4個像元以內(nèi).

圖6 最優(yōu)曝光時間下的星像目標(biāo)提取精度

5 數(shù)學(xué)仿真

仿真以表1的 APS星敏感器參數(shù)為基礎(chǔ)，給定測量坐標(biāo)系y軸方向的角速度，在星等、曝光時間確定的情況下，隨機(jī)產(chǎn)生星矢量1000次，計(jì)算星像目標(biāo)中心x方向的提取誤差的均方根.圖7和圖8分別顯示了3等星和5等星在不同的計(jì)算窗口和不同曝光時間下星像目標(biāo)中心x方向誤差的均方根.

圖7 3等星的星像目標(biāo)中心x方向誤差的均方根

從仿真結(jié)果可以看出采用A s3窗口星像目標(biāo)中心提取誤差較小；與圖3和圖4相比較，可以看出誤差大小及其隨曝光時間的變化趨勢與理論計(jì)算值基本相符.

圖8 5等星的星像目標(biāo)中心x方向誤差的均方根

6 結(jié) 論

本文分析了采用質(zhì)心法計(jì)算星像目標(biāo)中心的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，提出了動態(tài)情況下星像目標(biāo)中心提取精度的估計(jì)方法，并推導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算公式.進(jìn)而采用此精度估計(jì)方法對給定的APS星敏感器進(jìn)行分析，并經(jīng)過仿真驗(yàn)證得出如下結(jié)論：

（1）采用A s3計(jì)算窗口精度較高；

（2）不同角速度存在不同的最優(yōu)曝光時間，使得星像目標(biāo)中心提取精度最高，可由精度計(jì)算公式對曝光時間求導(dǎo)得出；

（3）當(dāng)角速度小于 2（°）／s，星等小于 5時，通過調(diào)整曝光時間可以使星像目標(biāo)中心提取精度保持在0.4個像元以內(nèi).

［1］董瑛，邢飛，尤政.基于CMOSAPS的星敏感器光學(xué)參數(shù)確定［J］.宇航學(xué)報(bào)，2004，25（6）：663-668

［2］李玉峰，郝志航.星點(diǎn)圖像超精度亞像元細(xì)分定位算法的研究［J］.光學(xué)技術(shù)，2004，31（5）：666-671

［3］李春艷，謝華，李懷鋒，孫才紅.高精度星敏感器星點(diǎn)光斑質(zhì)心算法［J］.光電工程，2006，33（2）：41-44

［4］Pasetti A，Habine S，Creasey R.Dynamical binning for high angular rate star tracking［C］.The 4thESA International Conference on Spacecraft Guidance，Navigation and Control Systems，Netherlands，Oct 1999

［5］劉金國，李杰，郝志航.APS星敏感器探測靈敏度研究［J］.光學(xué)精密工程，2006，14（4）：553-557

Analysis of Star Image Centroid Accuracy of an APS Star Sensor in Rotation

LI Xiao1，ZHAO Hong2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

Most studies of star image location of star sensors are limited in static state conditions at present.However，the star spot is moving during exposure as a result of satellite rotation，thus influencing the location accuracy of the star image center.In this paper，the accuracy of star image center location in dynamic state is analyzed for active pixel sensor（APS）based star sensors.First of all，sources of the location errors produced by the centroid algorithm are analyzed，a dynamic accuracy estimation method is proposed，and corresponding formulas are deduced.Then choice of the calculation window and the exposure time influencing the dynamic accuracy is analyzed based on given APS star sensor parameters.Finally，corresponding simulations are made to validate the conclusions.

dynamic accuracy；star image center；APS-based star senor；centroid algorithm

V448.22

A

1674-1579（2009）04-0011-06

2008-09-12

李曉（1984—），男，河北人，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)測量 （e-mail：lixiao789＠hotmail.com）.