沈　泉

數(shù)學是一門科學、是一門技術(shù)、是一門工具、是一門語言、是一個過程、是一種思想、是一種觀念、是一種精神、是一種文化、是一門需要時間和空間去悟的學科。

一、透視數(shù)學現(xiàn)象,感悟數(shù)學之美

數(shù)學來源于實踐,又經(jīng)過抽象提煉,因此隨著數(shù)學的產(chǎn)生,美感的一般表現(xiàn)形式(自然美、藝術(shù)美)就存在于數(shù)學之中,數(shù)學的魅力就在于透視數(shù)學的現(xiàn)象,展現(xiàn)數(shù)學的美好與神奇。教師通過教學使學生學習數(shù)學知識的同時,透視直線的剛勁平穩(wěn)、曲線的對稱柔和、起伏的正弦曲線等自然現(xiàn)象來感悟數(shù)學美的歡快、體味數(shù)學美的奇妙。學生漫步在數(shù)學美的圖苑中,也在同時欣賞著教師的教學之美。數(shù)學之美乃探究之美、發(fā)現(xiàn)之美、應(yīng)用之美。教師通過對一道數(shù)學題的解決,一個定理的發(fā)現(xiàn),一個猜想的證明讓學生為之激動與陶醉,讓學生于枯燥之中見新奇,于迷茫之中得豁朗,感悟數(shù)學美的真諦、體會數(shù)學美的深邃。隨著時間的推移,也許學生就會用心靈去感受數(shù)學之美,樹立追求數(shù)學美的愿望,體會數(shù)學美的魅力,逐步從喜歡數(shù)學到熱愛數(shù)學。

如著名的斐波那契數(shù)列不僅以其獨特的外形美引人注目,而且前后兩項的比越來越接近于0.618(黃金數(shù))。這樣斐波那契數(shù)列與黃金數(shù)、勾股定理演變出一系列奇妙的性質(zhì),令人神往,成為數(shù)學美學的一段佳話。這些美讓數(shù)學變得光彩奪目,教學中要適當引導(dǎo)學生用一雙雙善于捕捉美的眼睛、一顆顆感受數(shù)學美的心靈、一個個追求美的愿望,去透視數(shù)學現(xiàn)象,感悟數(shù)學之美。

二、探究數(shù)學過程,深悟數(shù)學建模

數(shù)學推理過程既是一種思維形式,又是一個思維過程。若干個推理組成了一個證明,無時不在,無處不有。對于那些經(jīng)過抽象概括獲得的命題, 只有在經(jīng)過演繹推理證明其正確性以后才能稱之為定理。其推理的形式包括歸納推理、類比推理或其他合情推理等。沒有推理就沒有數(shù)學和數(shù)學的發(fā)展,為此,在教學中教師必須給學生一定的時間去探究數(shù)學的推理過程,讓學生去深悟數(shù)學推理的嚴密性、嚴謹性、廣泛性、規(guī)律性,深悟建模能否用于解決問題的多次循環(huán)、不斷深化的過程,如何建模解決實際問題,掌握數(shù)學建模的方式及過程。

另外,數(shù)學還是一個優(yōu)化過程、一個量化過程和應(yīng)用過程,教師要適當?shù)匾肷鐣?jīng)濟問題、生活游戲問題、物理自然問題和科研生產(chǎn)等問題。這些蘊涵且傳遞著數(shù)學信息的實際問題,為學生運用數(shù)學建模提供了廣闊的空間。學生去探究后,就會通過建模加深認識,徹底地了解概念的提出、形成和發(fā)展。教師的“知”轉(zhuǎn)化為學生的“悟”,由淺入深,進而“引爆思維,開拓思維”,使學生構(gòu)建起一個包括數(shù)學思想方法在內(nèi)的完整的認知結(jié)構(gòu)體系。這真正體現(xiàn)教師為主導(dǎo)、學生為主體的教學理念,有益于提高學生學習的主動性及分析問題解決問題的能力。

探究教學的過程,反思認知的結(jié)構(gòu),總結(jié)知識的運用,可使學生經(jīng)歷一個“由厚到薄”的過程,養(yǎng)成用數(shù)學頭腦對周圍事物進行數(shù)學思維的習慣,克服在知識掌握上的孤立與離散的狀態(tài),深悟知識的來龍去脈及它在體系中的地位和作用,以形成相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò),使之系統(tǒng)化、條理化。

三、提煉數(shù)學方法,領(lǐng)悟數(shù)學思想

徐利治先生在《數(shù)學家是怎樣思考和解決問題的》一文中,指出了數(shù)學家們在數(shù)學創(chuàng)新過程中常用的幾種數(shù)學方法:聯(lián)想法、歸納法、類比法及抽象分析法。聯(lián)想法是把不同事物聯(lián)系起來的一種思想方法;類比法就是對兩個或幾個相似的東西進行聯(lián)想,把它們中間某個較熟悉的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到它的相似的對象上去,從而做出相應(yīng)的判斷和推理;歸納法就是從特殊到一般的方法;抽象分析法就是用數(shù)學語言、數(shù)學概念和數(shù)學符號去表達實際問題的數(shù)學思想方法。數(shù)學思想是數(shù)學方法精髓之所在,在數(shù)學學習中對數(shù)學思想的領(lǐng)悟和運用十分重要。數(shù)學思想與具體表層知識相比,更加抽象和概括,而且更具有隱蔽性,這就決定了要領(lǐng)悟和掌握數(shù)學思想,必須在實際解題中對具體方法進行分析、提煉和概括。如果不對它加以提煉和概括,那么它的適用范圍就有局限性,而且不容易產(chǎn)生遷移。反之,對解題過程及方法進行提煉,可以分析出具體方法背后隱藏的數(shù)學思想,并對具體的方法進行加工,從中提煉出應(yīng)用范圍更廣泛的思想方法。這樣長期下去,則有利于數(shù)學思想的領(lǐng)悟和掌握。

四、品味數(shù)學元認知,頓悟數(shù)學規(guī)律

頓悟是指突然覺察到問題的解決方法或規(guī)律,它是格式塔心理學家的主要代表人物苛勒(WolfgangKohler)通過對黑猩猩的學習問題的實驗研究而提出來的?？晾照J為動物解決問題是一個頓悟的過程,他把學習解釋為“知覺重組”或“認知重組”。頓悟理論是格式塔心理學對學習研究的最大貢獻。

蘋果只有落到牛頓的頭上才頓悟了萬有引力定律,只有阿基米德發(fā)現(xiàn)了水從浴缸里溢出才頓悟了阿基米德定律。這些在不經(jīng)意間的豁然開朗,正是在元認知的調(diào)控與指導(dǎo)下的頓悟表現(xiàn)。頓悟產(chǎn)生之前必然要經(jīng)歷一段艱難的、模糊的摸索數(shù)學元認知歷程,沒有持久進行的積極的思維行動,沒有元認知的不斷調(diào)整與修正及不斷的品味,是不可能產(chǎn)生頓悟的。學生的心理和行為向預(yù)期目標的發(fā)展,都需要依賴元認知的反饋調(diào)節(jié),教師應(yīng)及時地、有針對性地調(diào)節(jié)教學,讓學生參與自我評價,改善學習的進程。如何提高元認知能力呢?方法很多,比如積累與運用個人的數(shù)學資料。(1)成功學生的元認知計劃不僅僅是聽課、作筆記和等待教師布置的測試,他們會預(yù)測完成作業(yè)需花多少時間、考試前復(fù)習筆記、針對錯題筆記查找資料作選題訓練、整理個人學習心得筆記等個人數(shù)學資料及使用各種科學有效的方法學習。(2)學會反思,學會合情推理,掌握自我講授法及書寫法。(3) 運用個人數(shù)學資料進行提問或做審題訓練,對元認知進行后調(diào)整與修正。 元認知過程一般分為8個階段,即獲取信息階段,辨認識別、提取信息階段,醞釀及預(yù)測階段,領(lǐng)會監(jiān)控、信息遷移階段,元認知監(jiān)控、調(diào)整、信息重組階段,擬定計劃階段,監(jiān)控計劃、信息組合階段,實施計劃階段。為此,教師在教學中要能留給學生足夠的時間去獨立思考,留出足夠思維的空間讓學生運用元認知去細細體味,給學生創(chuàng)造頓悟的機會。

五、關(guān)注數(shù)學細節(jié),覺悟數(shù)學技巧

在問題解決的教學實踐中,學生領(lǐng)悟了數(shù)學思想方法,但要想將思想方法加以靈活自如的運用,還有待于挖掘隱藏于題目背后的數(shù)學細節(jié),形成一定的數(shù)學技巧,否則一切思想也只能是鏡中觀月,可望而不可及。在問題的表象之后,隱藏著數(shù)學思想的巧妙應(yīng)用,學生對于數(shù)學技巧的形成往往需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰的較長過程。這都要有時間的保障。因此在教學中教師要關(guān)注數(shù)學教學的細節(jié),在多次的應(yīng)用中,讓數(shù)學思想的妙用慢慢地展露出來,讓學生逐漸地覺悟數(shù)學的技巧,從而形成能力。

在教學中要回避“壓路機式的教學”,警惕教學中的“滑過現(xiàn)象”,要突出重點,丟棄以往的講得多練得少、講解不到位練得太分散、講得太辛苦學得很吃力的陳舊落后的“經(jīng)驗教訓”。放下“害怕”的思想包袱,不要牽著學生走,讓學生活動起來。課堂例習題的編制要做到低起點、重基礎(chǔ),要更能符合學生的最近發(fā)展區(qū)。既有探究性又有開放性, 留有時間的余地,讓學生能慢慢地去覺悟, 在輕松而緊張的教學環(huán)境中體驗收獲與成功的喜悅。

“悟”需要時間,“悟”需要過程,“悟”需要關(guān)愛與呵護,“悟”需要持之以恒,讓我們一起行動起來,為學生營造一個寬松和諧的悟性思維空間和時間,促其展開想象的翅膀,自由地翱翔吧。