韓冬冬，謝新宇，竇巖嵩

（1.河南省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院土建室，鄭州 450007；2.浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027 3.浙江理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州 310018；4.中國(guó)建筑股份有限公司建筑事業(yè)部，北京 100037）

考慮土體重度的條形基礎(chǔ)極限承載力半經(jīng)驗(yàn)理論解

韓冬冬1，2，謝新宇2，3，竇巖嵩4

（1.河南省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院土建室，鄭州 450007；2.浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027 3.浙江理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州 310018；4.中國(guó)建筑股份有限公司建筑事業(yè)部，北京 100037）

假定土體重度對(duì)滑移線場(chǎng)沒有影響，利用滑移線方法推導(dǎo)了考慮土體重度的條形基礎(chǔ)極限承載力公式，公式中地基承載力系數(shù)Nq，Nc和Nγ互不影響且Nq，Nc與已有結(jié)果相同。利用上限定理構(gòu)造了滑移線場(chǎng)對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)，求得了該速度場(chǎng)的上限解。結(jié)果表明滑移線解與上限解相同，這就證明了滑移線解是上限解答。將地基承載力系數(shù)Nγ同已有的其它成果進(jìn)行了對(duì)比，并分析了此方法的誤差來源，同時(shí)給出了修正公式。

滑移線；上限；條形基礎(chǔ)；承載力

1 概 述

條形基礎(chǔ)極限承載力的求解是一個(gè)古老的課題，目前求解極限承載力的方法有3種：極限平衡法、滑移線法和極限分析法。極限平衡法首先假定極限狀態(tài)下土體的破裂面形狀，然后根據(jù)力和力矩的平衡來求解極限承載力，Terzaghi［1］和Meyerhof［2］的方法均屬于此類方法，該解答只是一種近似解；滑移線方法［3］對(duì)無重土的解已被證明為精確解，但對(duì)于有重土的解答其精確性還有待證明；極限分析法［4］以變分原理為基礎(chǔ)，其理論嚴(yán)密，但對(duì)有重土極限承載力的解答僅能給出一定范圍，且限于數(shù)值解答。

盡管近年來對(duì)有重土極限承載力的研究取得了一系列進(jìn)展，但條形基礎(chǔ)極限承載力的解答都還處于半經(jīng)驗(yàn)階段。對(duì)地基承載力系數(shù)Nc和Nq，各學(xué)者的認(rèn)識(shí)比較統(tǒng)一，但各學(xué)者對(duì)地基承載力系數(shù)的解答則差別較大。因此，有重土極限承載力的解答有待進(jìn)一步研究。

本文主要利用滑移線方法求解有重土的極限承載力，鑒于考慮土體重度后，極限承載力公式不能認(rèn)為是土的粘聚力c、地面超載q和土體重度γ這3種因素的簡(jiǎn)單疊加，這一點(diǎn)已被多次證實(shí)［4～7］。但目前還沒有學(xué)者給出土體重度對(duì)極限承載力影響的定量研究，因此，要考慮土體重度對(duì)滑移線的影響是困難的。為了求解的方便，本文假定土體重度對(duì)滑移線形狀沒有影響，在該前提下推導(dǎo)極限承載力的解析表達(dá)式。

2 極限承載力的滑移線解

2.1 土體內(nèi)部任一點(diǎn)的滑移線方程

極限狀態(tài)時(shí)土體內(nèi)部任一點(diǎn)的兩族滑移線如圖1所示，若選取圖1所示的坐標(biāo)系，則根據(jù)塑性力學(xué)滑移線理論，滿足Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的土體內(nèi)部任意一點(diǎn)的第Ⅰ族滑移線方程如下：

2.2 各區(qū)域的應(yīng)力方程及邊界條件

極限狀態(tài)時(shí)滑移線網(wǎng)如圖2所示，圖中ABCD和MNPQ均屬于第Ⅰ族滑移線，與其相交的為第Ⅱ族滑移線。兩族滑移線將滑動(dòng)面ABCD以上的土體分為3個(gè)區(qū)域：主動(dòng)區(qū)OAB、剪切過渡區(qū)（對(duì)數(shù)螺旋線區(qū)）OBC和被動(dòng)區(qū)OCD，這3個(gè)區(qū)域的第Ⅰ族滑移線均滿足方程組（1），但3個(gè)區(qū)域的應(yīng)力特征和邊界條件有所不同，接下來對(duì)各區(qū)域滿足的應(yīng)力方程和邊界條件進(jìn)行分析。

圖1 土中任一點(diǎn)主應(yīng)力與滑移線關(guān)系圖Fig.1 The relationship of principal stresses and slip lines of arbitrary point in soil

圖2 條形基礎(chǔ)極限狀態(tài)下的滑移線場(chǎng)Fig.2 The slip-line field of strip footing in limit equilibrium

假定土體重度對(duì)滑移線形狀沒有影響，則滑移線場(chǎng)同無重土的滑移線場(chǎng)相同，此時(shí)主動(dòng)區(qū)OAB為均勻場(chǎng)，η＝π／2，代入公式（1）中的第二式，并積分可得到

式中C1為積分常數(shù)。

過渡區(qū)OBC中，第Ⅰ族滑移線為對(duì)數(shù)螺旋線，其坐標(biāo)滿足

寫成直角坐標(biāo)形式為

對(duì)上式微分，代入公式（1），并積分可得到

式中：C2為積分常數(shù)

2

被動(dòng)區(qū)OCD也為均勻場(chǎng)，η＝0，其應(yīng)力公式為

式中C3為積分常數(shù)。

對(duì)于Mohr-Coulomb材料，圖2坐標(biāo)下的特征應(yīng)力σ與y方向應(yīng)力σy滿足下式：

邊界OD上，σy＝q，η＝0，此時(shí)

2.3 極限承載力的求解

設(shè)OM長(zhǎng)度為a，對(duì)于任一條第Ⅰ族滑移線MNPQ，M點(diǎn)同時(shí)滿足公式（2）和（8），N點(diǎn)同時(shí)滿足公式（2）和（5），P點(diǎn)同時(shí)滿足公式（5）和（6），Q點(diǎn)同時(shí)滿足公式（6）和（9），將M、N、P和Q點(diǎn)分別代入上述公式，并結(jié)合它們的坐標(biāo)可以解得地基極限承載力公式的表達(dá)式如下：

式中：

其中，

公式（10）至（13）是基礎(chǔ)底部每一點(diǎn)的極限承載力公式，從中我們可以看出：若假定地基土重度對(duì)滑移線的形狀沒有影響，則地基承載力系數(shù)Nq，Nc和Nγ是相互獨(dú)立的3個(gè)參數(shù)，且極限承載力沿基礎(chǔ)底面呈線性分布，因此可以用基礎(chǔ)中心處的承載力代表極限承載力的平均值，即將公式（14）中a換成B／2即可。這樣極限承載力公式的解答就是土的黏聚力c、地面超載q和土體重度γ這3種因素的疊加。

上述極限承載力公式與Terzaghi［1］得到的解答形式相同，且承載力系數(shù)Nq，Nc與Prandtl-Reissner課題的解答相同。Chen［4］、Soubra［7］和陳祖煜［5］等學(xué)者指出，考慮土體重度后，極限承載力的解答要比3種因素疊加的結(jié)果大，將極限承載力公式寫成3種因素疊加的形式會(huì)引起一定的誤差，但這個(gè)誤差一般在10%以內(nèi)，因此是可以接受的。

Chen［4］指出，基礎(chǔ)承載力的滑移線解不一定是真實(shí)解，也不知道是否是上限解或下限解。如果上述滑移線場(chǎng)對(duì)應(yīng)速度場(chǎng)的上限解與滑移線解相同，則說明公式（13）是上限解。

3 對(duì)應(yīng)速度場(chǎng)的上限解

圖2對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)如圖3所示，圖3對(duì)應(yīng)的上限定理公式可以表示為

式中：W為速度場(chǎng)內(nèi)的能量耗散，包括AB（OB）上的能量耗散、變形楔體ABC＇（OBC）內(nèi)部和邊界BC＇（BC）上的能量耗散以及C＇D＇（CD）上的能量耗散；Wg，Wq和Wpu分別為土體重力的功率、地面超載的功率q及極限荷載Pu的功率。它們的表達(dá)式分別如下：

圖3 圖2滑移線場(chǎng)對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)Fig.3 Velocity field realated to the slip-line field of Fig.2

將公式（14）至（18）聯(lián)立，解得極限承載力的上限

式中：

公式（19）至（22）與公式（10）至（13）的表達(dá)式完全相同，這說明本文的滑移線解是上限解。

4 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

4.1 極限承載力系數(shù)Nγ的結(jié)果對(duì)比

極限承載力系數(shù)Nq和Nc可用公式（11）和（12）求解，這一點(diǎn)各學(xué)者的認(rèn)識(shí)較為一致，但對(duì)于Nγ，不同學(xué)者給出的建議值差別較大。取土的內(nèi)摩擦角φ分別等于0°，2°，…，30°，本文方法及其他學(xué)者的建議值如表1所示。

表1 地基承載力系數(shù)Nγ與已有成果的對(duì)比Table 1 Comparison of bearing capacity factor NγValues with those obtained by othermethods

表1中韓冬冬等［8］是根據(jù)滑移線的數(shù)值解得到的結(jié)果，采用滑移線理論計(jì)算時(shí)假定基礎(chǔ)底面是光滑的；Terzaghi＆Peck［9］是根據(jù)極限平衡法得到的光滑基礎(chǔ)的結(jié)果；Taylor［10］計(jì)算地基承載力時(shí)將土體重度等效為換算黏聚力，根據(jù)換算黏聚力得到了地基承載力系數(shù)Nγ；Meyerhof考慮了地基埋深以上土的抗剪強(qiáng)度影響，表1中Meyerhof［2］是根據(jù)Meyerhof建議的半經(jīng)驗(yàn)公式得到的Nγ；Vesic［11］是在基礎(chǔ)光滑的假定下得到的Nγ解；Chen［4］是利用上限解得到的半經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果；Bolton＆Lau［12］是對(duì)粗糙基礎(chǔ)提出的半經(jīng)驗(yàn)公式。

從表中看以看出，本文方法的解與Taylor［10］的計(jì)算結(jié)果接近，但是比多數(shù)學(xué)者的建議值大，甚至比有些結(jié)果大很多。這是2個(gè)因素造成的：

（1）多數(shù)學(xué)者給出的Nγ的半經(jīng)驗(yàn)公式都偏于安全，比他們計(jì)算分析得到的Nγ要小。如Meyerhof的半經(jīng)驗(yàn)公式與無埋深基礎(chǔ)的Nγ結(jié)果接近；當(dāng)φ＝30°時(shí)，由Bolton＆Lau建議的半經(jīng)驗(yàn)公式得到的Nγ值為17.40，而其原始的計(jì)算結(jié)果為23.6。各學(xué)者計(jì)算Nγ時(shí)都給出了相對(duì)保守的計(jì)算公式，這是本文Nγ解比一些學(xué)者的建議公式計(jì)算結(jié)果大很多的原因。

（2）假定地基土重度對(duì)滑移線沒有影響所帶來的誤差。Terzaghi在1943年的土力學(xué)專著中指出了土體重度對(duì)剪切滑動(dòng)面的影響，韓冬冬等根據(jù)滑移線數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)這一問題進(jìn)行了研究，并得出結(jié)論：有重土的滑移線區(qū)域比無重土的滑移線區(qū)域要小［8］。因此，若不考慮土體重度對(duì)滑移線形狀和區(qū)域的影響，則假定的滑移線區(qū)域比實(shí)際的滑移線區(qū)域要大，那么計(jì)算結(jié)果自然也是偏大的。

另需說明的一點(diǎn)是：雖然Meyerhof等一些學(xué)者認(rèn)為基底粗糙度對(duì)極限承載力的結(jié)果影響很大，完全光滑基礎(chǔ)的承載力可能只有完全粗糙基礎(chǔ)的一半，但一些大型光滑基礎(chǔ)的試驗(yàn)結(jié)果表明：完全光滑基礎(chǔ)和完全粗糙基礎(chǔ)的承載力結(jié)果相差不大，控制地基破壞的因素是整體剪切破壞，對(duì)于有剛度基礎(chǔ)，Hill破壞模式是不可能出現(xiàn)的［13］。鑒于基礎(chǔ)粗糙度對(duì)極限承載力的結(jié)果影響有限，作者認(rèn)為本文的計(jì)算公式適用于條形基礎(chǔ)整體剪切破壞的情況，基底粗糙度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響可以忽略。

4.2 極限承載力系數(shù)Nγ的結(jié)果對(duì)比

公式（13）計(jì)算地基極限承載力時(shí)假定土體重度對(duì)極限承載力沒有影響，這是本文計(jì)算結(jié)果的一個(gè)誤差來源，為了減小這個(gè)誤差，引入關(guān)于φ的函數(shù)對(duì)公式（13）進(jìn)行修正，作者的建議公式為

式中：Nγm為修正后的地基承載力系數(shù)；Nγ為利用公式（13）計(jì)算得到的結(jié)果。

公式（23）的計(jì)算結(jié)果也列在了表1中，從修正的計(jì)算結(jié)果可以看出，修正結(jié)果與韓冬冬［8］及Chen［4］的計(jì)算結(jié)果接近。需要指出的是，公式（23）的修正系數(shù)是作者分析了其它計(jì)算結(jié)果后做的對(duì)比修正，修正時(shí)主要考慮了地基土重度對(duì)滑移線沒有影響這一假定所帶來的誤差。土的內(nèi)摩擦角較小時(shí)該誤差較小，隨著土的內(nèi)摩擦角增大，這一假定所帶來的誤差也越來越顯著，因此作者增加了cosφ這一修正項(xiàng)，這樣修正系數(shù)比較簡(jiǎn)單，而且與滑移線方法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合的比較好。

盡管如此，公式（23）仍是一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式，公式中的修正系數(shù)還可以取成別的形式，對(duì)公式（13）如何進(jìn)行修正還值得進(jìn)一步研究。

5 結(jié) 論

（1）若假定土體重度對(duì)滑移線形狀沒有影響，則可根據(jù)滑移線理論和邊界條件計(jì)算得到有重土極限承載力的解析公式。該表達(dá)式中地基承載力系數(shù)Nq，Nc和Nγ是相互獨(dú)立的3個(gè)參數(shù)，且Nq和Nc與Prandtl-Reissner課題的解答一致。

（2）本文滑移線場(chǎng)對(duì)應(yīng)速度場(chǎng)的上限解與滑移線方法得到的解答完全相同，這證明本文的滑移線解是上限解。

（3）將滑移線解答得到的極限承載力系數(shù)與其他學(xué)者的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，本文的結(jié)果比其它解偏大，其原因一方面在于各學(xué)者對(duì)Nγ計(jì)算時(shí)采取了偏于安全的簡(jiǎn)化公式，另一方面是因?yàn)榧俣ㄍ馏w重度對(duì)滑移線沒有影響會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，而且是偏大的誤差。

（4）對(duì)地基承載力系數(shù)進(jìn)行了修正，給出了Nγ的半經(jīng)驗(yàn)公式，修正后的Nγ值與韓冬冬［8］及Chen［4］的計(jì)算結(jié)果接近。

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（編輯：曾小漢）

Sem i-em pirical Solution on Bearing Capacity of Strip Footing Considering Unit Weight of Soil

HAN Dong-dong1，2，XIE Xin-yu2，3，DOU Yan-song4
（1.Department of Civil-Engineering，Henan Electric Power Survey＆Design Institute，Zhengzhou 450007，China；2.MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；3.College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China 4.Building Construction Operations，China State Construction Engr.Corp.Ltd，Beijing 100037，China）

Assuming the unitweight of soil has no influence on the slip-line field，the formula of bearing capacity of strip footing is got by slip-line method，in which the three bearing capacity factors Nq，Ncand Nγdon’t effect each other and Nq，Ncare the same as the published results.The upper-bound solution to bearing capacity of strip footing is deduced in the corresponding velocity field of strip footing to the slip-line field，which is the same aswhat is gotusing slip-linemethod.The slip-line result is accordingly proved to be the upper-bound solution.The bearing capacity factor Nγis compared to those by other methods.The reasons that lead to the error by presentmethod are analyzed and amodified formula is proposed.

slip line；upper-bound；strip footing；bearing capacity

TV471.12

A

1001-5485（2009）08-0054-05

2008-11-03；

2008-12-23

韓冬冬（1983-），男，河南沈丘人，工學(xué)碩士，從事土力學(xué)研究及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作，（電話）0371-67163572（電子信箱）hdd-5217＠163.com。