徐　炳

今年的第25屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題的第二題是一道考查天體運(yùn)動的試題，題目如下：

圖1

嫦娥1號奔月衛(wèi)星與長征3號火箭分離后，進(jìn)入繞地運(yùn)行的橢圓軌道，近地點(diǎn)離地面高Hn=2.05×102 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面高Hf=5.0930×104 km，周期約為16小時(shí)，稱為16小時(shí)軌道（如圖中曲線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠(yuǎn)，星載發(fā)動機(jī)先在遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星進(jìn)入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點(diǎn)。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)，相繼進(jìn)入24小時(shí)軌道、48小時(shí)軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量m=2.350×103kg，地球半徑R=6.378×103 km，地面重力加速度g=9.81 m/s2，月球半徑r=1.738×103 km。

（1）試計(jì)算16小時(shí)軌道的半長軸a和半短軸b的長度，以及橢圓偏心率e。

（2）在16小時(shí)軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火時(shí)，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點(diǎn)火時(shí)間很短，可以認(rèn)為橢圓軌道長軸方向不變。設(shè)推力大小F=490 N，要把近地點(diǎn)抬高到600 km，問點(diǎn)火時(shí)間應(yīng)持續(xù)多長？

（3）試根據(jù)題中給的數(shù)據(jù)計(jì)算衛(wèi)星在16小時(shí)軌道的實(shí)際運(yùn)行周期。

（4）衛(wèi)星最后進(jìn)入繞月圓形軌道，距月面高度Hm約為200 km，周期Tm=127分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。

本題是一道非常典型的天體運(yùn)動類賽題，涉及圓錐曲線——橢圓的基本數(shù)學(xué)知識（第1問）；涉及橢圓軌道上近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度的計(jì)算（第2問）；涉及對于變軌過程的動力學(xué)理解（題干上幾個(gè)軌道的變化過程和第2問）；涉及橢圓軌道運(yùn)動周期的計(jì)算（第3問）；涉及圓周運(yùn)動環(huán)繞問題的計(jì)算（第4問）；涉及一個(gè)常用的結(jié)論——“黃金代換式（GM=gR2）”的使用?；旧虾w了這類問題的各種情景，非常具有代表性，只是運(yùn)算量較大。以下是本題的參考解答：

（1）橢圓半長軸a等于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)之間距離的一半，亦即近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離）rn與rf的算術(shù)平均值，即有

a=（rn+r）=［（Hn+R）+（Hf+R）］=（Hn+Hf）+R①

代入數(shù)據(jù)得a=3.1946×104 km ②

橢圓半短軸b等于近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長度的幾何平均值，即有b=③

代入數(shù)據(jù)得b=1.942×104 km④

橢圓的偏心率e=⑤

代入數(shù)據(jù)即得e=0.7941 ⑥

（2）當(dāng)衛(wèi)星在16小時(shí)軌道上運(yùn)行時(shí)，以vn和vf分別表示它在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)能量相等，有

mv－=mv－⑦

式中M是地球質(zhì)量，G是萬有引力常量。因衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù)角動量守恒，有

mvnrn=mvfrf⑧

注意到=g⑨

由⑦⑧⑨式可得

vn=R ⑩

vf=vn=R?輥?輯?訛

當(dāng)衛(wèi)星沿16小時(shí)軌道運(yùn)行時(shí)，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有

rn=R+Hn rf =R+Hf

由?輥?輯?訛式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

vf=1.198 km/s?輥?輰?訛

依題意，在遠(yuǎn)地點(diǎn)星載發(fā)動機(jī)點(diǎn)火，對衛(wèi)星作短時(shí)間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結(jié)束時(shí)，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)。所以新軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度H=H=5.0930×104 km，但新軌道近地點(diǎn)高度H=6.00×102 km。由?輥?輯?訛式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速度為

v =1.230 km/s ?輥?輱?訛

衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力F的沖量，設(shè)發(fā)動機(jī)點(diǎn)火時(shí)間為Δt，有

m（v－vf）=FΔt ?輥?輲?訛

由?輥?輰?訛、?輥?輱?訛、?輥?輲?訛式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得Δt=1.5×102s（約2.5分）?輥?輳?訛

這比運(yùn)行周期小得多。

（3）當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，θ表示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小

L=rmvsinθ=2mσ ?輥?輴?訛

其中σ=rvsinθ ?輥?輵?訛

是衛(wèi)星矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度。由于角動量是守恒的，故σ是恒量。利用遠(yuǎn)地點(diǎn)處的角動量，得

σ=rf vf?輥?輶?訛

又因?yàn)樾l(wèi)星運(yùn)行一周掃過的橢圓的面積為

S=πab?輥?輷?訛

所以衛(wèi)星沿軌道運(yùn)動的周期

T=?輦?輮?訛

由?輥?輶?訛?輥?輷?訛?輦?輮?訛式得

T=?輦?輯?訛

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

T=5.67 s×104 s（約15小時(shí)46分） ?輦?輰?訛

（4）在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有

=mrm2?輦?輱?訛

這里rm=r+Hm是衛(wèi)星繞月軌道半徑，Mm是月球質(zhì)量。由?輦?輱?訛式和⑨式，可得

Mm= M?輦?輲?訛

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

=0.0124 ?輦?輳?訛

除了上述參考解答的方法外，本題還有其他的一些解決辦法。解法拓展如下：

第一問在求出半長軸

a=（Hn+Hf）+R后，可以進(jìn)一步利用數(shù)學(xué)關(guān)系求解焦距

c=Hf－a+R=Hf－（Hn+Hf）+R+R=

所以，由e=即可求出偏心率

又b==可求出b。

第三問，可由開普勒第三定律，繞地球運(yùn)行的兩個(gè)衛(wèi)星的周期T與T0之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a0之比的立方，即 2=3。

這樣我們可以選擇一個(gè)繞地球做圓軌道運(yùn)動的衛(wèi)星跟該問的橢圓軌道進(jìn)行比較求解。設(shè)a是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運(yùn)動的軌道半徑，則有=ma02得==。

令a0=R這樣最簡單，從而得 T=代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得?輦?輰?訛式。

下面我們把類似題目（天體運(yùn)動類賽題）的解法做一個(gè)簡單的總結(jié)：

一、必備的理論知識

（1）機(jī)械能守恒定律：運(yùn)動天體的動能Ek=mv2，引力勢能Ep=－（選無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)，M為中心天體的質(zhì)量）。不管運(yùn)動天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動還是橢圓運(yùn)動，運(yùn)動過程中這兩項(xiàng)能量的總和保持不變。

（2）動量守恒定律：常在運(yùn)動天體變軌問題中用到，如沿運(yùn)動方向噴出一定質(zhì)量的氣體，噴氣前后系統(tǒng)動量守恒。

（3）角動量守恒定律：角動量也可稱動量矩，質(zhì)量為m的物體繞某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動時(shí)，在離該點(diǎn)距離r處的角動量大小是L=mvrsinφ，其中φ是速度v與矢徑r的夾角。在天體的運(yùn)動軌道上（一般用于橢圓軌道，因?yàn)閳A周運(yùn)動不必要這樣處理）任選兩個(gè)位置角動量相等。

圖2

（4）開普勒三定律：

第一定律：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動，太陽在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

第二定律：太陽和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。（等同于角動量守恒）

第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。

（5）關(guān)于橢圓的數(shù)學(xué)知識：如偏心率e=，c2=a2－b2，橢圓面積S=πab。

二、天體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，最常用的萬有引力提供向心力的式子

=F＝m=m2r=…

三、天體做橢圓運(yùn)動時(shí)最常用的機(jī)械能守恒和角動量守恒的方程組（最好能熟練求解）

對近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)：

mv－=mv－

mvnrn=mvf rf（或用開普勒第二定律）

對軌道上的任意兩個(gè)點(diǎn)：

mv－=mv－

mv1r1sinφ1=mv2r2sinφ2（或用開普勒第二定律）

例1：地球繞太陽做橢圓運(yùn)動，已知軌道半長軸為A，半短軸為B，試求地球在橢圓軌道各頂點(diǎn)處的速度大小。設(shè)太陽的質(zhì)量為M。

圖3

【分析】 對于頂點(diǎn)1、2有：

mv－=mv－

v1（A－C）=v（A+C）

而對于頂點(diǎn)1、3有：v1（A－C）=v3B

所以：v1=

v= v3=

例2：宇宙飛船在距火星表面H高處做勻速圓周運(yùn)動，火星半徑為R。假設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)火噴氣，獲得一徑向速度，其大小為原來速度的a倍，因?yàn)閍很小，所以飛船不會與火星表面相碰。飛船噴氣的質(zhì)量忽略不計(jì)。求飛船新軌道的近火星點(diǎn)高度h1和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h2。

圖4

【分析】 可先選噴氣點(diǎn)和近地點(diǎn)：

mv－=m［v+（av0）2］－

mvn（h1+R）=mv0（H+R）

解出近地點(diǎn)速度和高度后，再解遠(yuǎn)地點(diǎn)的情況。

四、橢圓軌道周期的兩種常用計(jì)算方法

（1）找一個(gè)勻速圓周運(yùn)動（繞同一中心天體）與之比較，應(yīng)用開普勒第三定律求解（如上述賽題第三問的拓展解法）。

（2）應(yīng)用開普勒第二定律，利用面積速度（可選近地點(diǎn)σ=rnvn或遠(yuǎn)地點(diǎn)σ=rf vf）和橢圓面積公式（S=πab）有：T=（如上述賽題第三問的參考解答）。

五、根據(jù)能量判斷軌道特點(diǎn)的辦法

總機(jī)械能E<0，應(yīng)該是橢圓軌道；總機(jī)械能E>0，應(yīng)該是雙曲線軌道；總機(jī)械能E=0，應(yīng)該是拋物線軌道。

六、軌道極限模型

物體在中心天體的引力作用下做直線運(yùn)動時(shí)，其運(yùn)動是加速度變化的運(yùn)動，可以將它視為繞中心天體的橢圓軌道運(yùn)動，將此橢圓軌道短軸取為無限小，即中心天體為力心的有心力作用下物體的直線運(yùn)動是橢圓運(yùn)動的極限。

例3：火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時(shí)落回離發(fā)射場不遠(yuǎn)處。空氣阻力不計(jì)，試估算火箭飛行的時(shí)間，地球半徑取R0=6 400 km。

圖5

【分析】 火箭向上發(fā)射又落回地面。它在地心力場中的運(yùn)動軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)、最高點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)的橢圓的一部分，如圖5所示。由開普勒第二定律可知，火箭在空中運(yùn)動時(shí)間正比于矢徑掃過的面積，由于落地點(diǎn)離發(fā)射點(diǎn)不遠(yuǎn)，可見軌道橢圓很“扁”，其焦點(diǎn)即力心離軌道近地點(diǎn)很近，則物體上升的最高點(diǎn)與地心成為軌道橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)。這樣，我們只需計(jì)算出這個(gè)橢圓運(yùn)動的周期及圖示陰影部分占整個(gè)橢圓面積的比例即可求出時(shí)間為：

?2π≈4.11×103 s

七、運(yùn)算能力和計(jì)算器的使用

天體運(yùn)動類問題由于思維難度、建模難度普遍不是特別高，但數(shù)據(jù)往往比較復(fù)雜，所以要求數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要較強(qiáng)，并且計(jì)算器的使用要非常熟練。今年的這個(gè)賽題就是運(yùn)算非常復(fù)雜，很多同學(xué)用計(jì)算器計(jì)算了很長時(shí)間還沒有計(jì)算出正確的結(jié)果，造成大量分丟失，而且使得后面的解題時(shí)間很緊張。所以平時(shí)訓(xùn)練時(shí)要注重這方面的練習(xí)。