傅臘生　曾菊寶

一題多解及多變是學(xué)好高中物理的一種切實(shí)有效的方法。一題多解就是從不同角度用所學(xué)知識挖掘問題中所涉及到的基礎(chǔ)知識以及各知識點(diǎn)間的聯(lián)系，運(yùn)用不同的方法來解決同一問題的方法；而一題多變則是將某一問題變換條件或改變某一關(guān)鍵詞而使得題目發(fā)生變化，在高考命題中的陳題翻新就屬這類問題，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，有利于完善我們的物理知識體系，避免陷入題海，能收到舉一反三，觸類旁通之功效。

下面舉例說明：

【例1】 能發(fā)射周期為80 min的人造地球衛(wèi)星嗎？

在人造衛(wèi)星的發(fā)射中，要想發(fā)射一顆80 min繞地球一周的衛(wèi)星，為什么是不可能的？試說明理由。

一、從衛(wèi)星的周期入手討論

設(shè)人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T，軌道半徑為r，地球的質(zhì)量為M，萬有引力常數(shù)為G，根據(jù)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力就是地球?qū)λ囊?，有：mr＝G

可得：T＝2π，由周期公式可以看出，衛(wèi)星軌道半徑r越小，周期也越小，當(dāng)衛(wèi)星在地球表面附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，即r＝R＝6.4×106 m，周期最小，此時(shí)：

T＝s＝5.1×103 s＝85 min

可見，T大于80 min，所以想發(fā)射一顆周期為80 min的衛(wèi)星是不可能的。

二、從衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑入手討論

假設(shè)衛(wèi)星的周期為80 min，則軌道半徑

r3＝＝m3≈2.3×1020m3，所以r≈6.2×106 m＜R

顯然，不可能發(fā)射一顆這樣的衛(wèi)星。

三、從地球提供的向心力入手討論

地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星所提供的向心力為：F＝G，T＝80 min時(shí)衛(wèi)星所需的向心力為： f＝

當(dāng)r＝R＝6.4×106 m時(shí)，F(xiàn)＝≈9.8 m

f＝＝≈10.96 m

當(dāng)r＝R時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星所能提供的向心力最大，而衛(wèi)星所需的向心力最小，又由上分析可知F＜f，因此，要發(fā)射一顆周期為80 min的衛(wèi)星是不可能的。

四、從衛(wèi)星的環(huán)繞速度入手討論

設(shè)衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的環(huán)繞速度為v，則有G＝m，得出：v＝

由公式可知：r越小，環(huán)繞速度越大，當(dāng)r＝R＝6.4×106 m時(shí)，衛(wèi)星環(huán)繞地球的速度最大

v＝＝m/s≈7.9×103 m/s

若地球衛(wèi)星的周期為80 min，則其繞地球的線速度為：

v＝=m/s≈8.4×103 m/s

由此可見：v＞v，顯然，不可能發(fā)射一顆周期為80 min的地球衛(wèi)星。

像這樣多角度分析問題，既能激發(fā)思維、開闊視野，又能將所學(xué)知識靈活運(yùn)用，更能使學(xué)習(xí)變得輕松有趣。

【例2】 同步通訊衛(wèi)星是進(jìn)行現(xiàn)代通訊的重要工具，我國在同步衛(wèi)星發(fā)射方面已取得了令世人矚目的輝煌成就，進(jìn)入了世界航天大國的行列。

如圖1所示為發(fā)射同步衛(wèi)星過程示意圖，發(fā)射時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1；然后點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行；最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)。

（1）當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，試比較衛(wèi)星在軌道3上的速率與在軌道1上的速率的大小，以及衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度與它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度大小。

（2）有人認(rèn)為在同步軌道上均勻分布三顆同步通訊衛(wèi)星，就可實(shí)現(xiàn)全球衛(wèi)星通訊，請你分析討論這一觀點(diǎn)正確與否。

【分析】 同步衛(wèi)星與一般的衛(wèi)星有共同點(diǎn)，也有不同點(diǎn)，共同點(diǎn)是：它們都是在地球?qū)ζ淙f有引力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)；不同點(diǎn)是：一般衛(wèi)星的軌道無特殊要求，只要軌道平面過地球的球心即可，而同步衛(wèi)星的軌道要求較嚴(yán)，它的軌道平面不僅要通過地球的球心，而且要與赤道平面重合，如果不與地球的赤道平面重合，就不可能實(shí)現(xiàn)與地球的自轉(zhuǎn)同步。

（1）當(dāng)衛(wèi)星分別在1、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，都是在地球?qū)ζ淙f有引力的作用下的圓周運(yùn)動(dòng)，即有

G=m，則得衛(wèi)星的速率為v=

由上式可得，衛(wèi)星在軌道3上的速率小于在軌道1上的速率。

又因?yàn)橥活w同步衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)與它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)所受的地球的引力是相等的，由牛頓第二定律顯見，這兩個(gè)加速度是相等的。

（2）同步衛(wèi)星的軌道平面不僅要與地球的赤道平面重合，而且其軌道的高度也有嚴(yán)格的要求，該高度可由萬有引力提供向心力求得，即

G=m（R+h）

式中，M為地球的質(zhì)量，R為地球的半徑，T為同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期，即等于地球的自轉(zhuǎn)周期（可取24 h）。

整理代入有關(guān)數(shù)據(jù)得h＝3.587×104 km。

在同步軌道上互成120°均勻分布三顆同步通訊衛(wèi)星，能否實(shí)現(xiàn)全球衛(wèi)星通訊？這要看三顆同步衛(wèi)星能否覆蓋到地球的每一個(gè)角落。為此，我們不妨從衛(wèi)星處作與地球相切的兩條直線，如圖2，根據(jù)上述計(jì)算，同步衛(wèi)星的高度不是無限大，所以這兩根切線不可能通過地球的南北極點(diǎn)M、N。由此可見，不管在同步軌道上發(fā)射多少顆衛(wèi)星，都不可能完全覆蓋全球。

【變題】 如果為實(shí)現(xiàn)全球觀測而發(fā)射非同步衛(wèi)星，至少需要多少顆衛(wèi)星？

現(xiàn)有一顆偵察衛(wèi)星在通過地球兩極的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來。衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。

【錯(cuò)解】 如圖3所示 ，則有cosθ=

所以θ＝arccos，又因?yàn)?

故L＝2Rarccos

【錯(cuò)因分析】 該弧長是拍攝的最大弧長，而實(shí)際拍攝的弧長是小于該弧長的任意值。

【正確解析】 如果周期是12小時(shí)，每天能對同一緯度地區(qū)進(jìn)行兩次觀測。如果周期是6小時(shí)，每天能對同一緯度地區(qū)進(jìn)行四次觀測。如果周期是小時(shí)，每天能對同一緯度地區(qū)進(jìn)行n次觀測。

設(shè)衛(wèi)星運(yùn)行周期為T1，則有G=m

物體處在地面上時(shí)有=mg

解得：T1=，在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，即在日照條件下有次經(jīng)過赤道上空，所以每次攝像機(jī)拍攝的赤道弧長為L==T1，將T1結(jié)果代入得

L=。

【小結(jié)】 某天體繞另一個(gè)中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)用萬有引力定律解天體問題實(shí)際上就是運(yùn)用牛頓第二定律解圓周運(yùn)動(dòng)，歸屬于圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，只不過這里由萬有引力來提供向心力。應(yīng)用萬有引力定律來解決天體（包括自然天體和人造天體）的有關(guān)問題， 主要基于兩個(gè)等量關(guān)系：

①對中心天體表面物體G=mg （式中R為中心天體半徑，g為表面重力加速度，題中不涉及表面重力加速度時(shí)，則不涉及此式）。

②對繞行天體 G=m=mω2r=m（式中r為繞行天體到中心天體的球心間距）。

【例3】 1968年2月20日，發(fā)射升空的“和平號”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋。“和平號”風(fēng)風(fēng)雨雨15年鑄就的輝煌業(yè)績，已成為航天史上的永恒篇章?！昂推教枴笨臻g站總質(zhì)量137 t，工作容積超過400 m3，是迄今為止人類探索太空規(guī)模最大的航天器，有“人造天宮”之稱。在太空運(yùn)行的這一“龐然大物”按照地面指令準(zhǔn)確墜落在預(yù)定海域，這在人類歷史上還是第一次。“和平號”空間站正常行動(dòng)時(shí)，距離地面的平均高度大約為350 km。為了保證空間站最終安全墜毀，俄羅斯航天局地面控制中心對空間站的運(yùn)行做了精心安排和控制。在墜毀前空間站已經(jīng)順利進(jìn)入指定的低空軌道，此時(shí)“和平號”距離地面的高度大約為240 km。在“和平號”沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，其軌道高度平均每晝夜降低2.7 km。

設(shè)“和平號”空間站正常運(yùn)行時(shí)沿高度為350 km圓形軌道運(yùn)行，墜落前在高度240 km的指定圓形低空軌道運(yùn)行。而且沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周空間站高度變化很小，因此，計(jì)算時(shí)對空間站的每一周的運(yùn)動(dòng)都可以作為勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理。

（1）空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值多大？計(jì)算結(jié)果保留2位有效數(shù)字。

（2）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過程中空間站高度平均變化多大？計(jì)算中取地球半徑R=6.4×103 km，計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字。

【分析】 （1）不管空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定低空軌道運(yùn)行，都是萬有引力恰好提供空間站運(yùn)行時(shí)所需要的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有G=ma，

所以空間站運(yùn)行時(shí)向心加速度是a=G，空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值是==2=0.9842=0.97

（2）萬有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，有

G=mr

不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G=mg，有GM=R2g

則空間站在指定的低空軌道運(yùn)行的周期T=

2πr=2πr==

≈5.3×103 s。設(shè)一晝夜的時(shí)間為t，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為n===17，空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過程中空間站高度平均減小Δh=km=km=0.2 km。

【跟蹤訓(xùn)練】

1. 2005年最壯觀的天文現(xiàn)象莫過于金星凌日，金星是太陽系里唯一逆向自轉(zhuǎn)的行星，金星上太陽西升東落，人們稱金星為太陽的“逆子”就是這個(gè)原因。如圖4，金星和地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)可以近似看作同一平面內(nèi)的逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知金星和地球公轉(zhuǎn)的半徑分別為1.1×108 km、1.5×108 km。從如圖4所示的金星與地球相距最近的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，估算金星再次與地球相距最近需多少地球年？（地球公轉(zhuǎn)周期為1年）

2. 已知地球上物體的逃逸速度（第二宇宙速度）為v2=，其中G、m、R分別是萬有引力常量、地球的質(zhì)量和半徑。已知G＝6.67×10－11 N?m2/kg2，c=2.9979×108 m/s。

（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量m＝1.98×1030 kg，求它的可能最大半徑。

（2）在目前天文觀測范圍內(nèi)，物質(zhì)的平均密度為10－27kg/m3，如果認(rèn)為我們的宇宙是這樣一個(gè)均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？