馬飛,朱小龍,趙建堂

(1.咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西咸陽(yáng) 712000; 2.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏固原 756000)

三角代數(shù)上的廣義Jordan導(dǎo)子

馬飛1,朱小龍2,趙建堂1

(1.咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西咸陽(yáng) 712000; 2.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏固原 756000)

主要研究了三角代數(shù)上的廣義Jordan導(dǎo)子.利用三角代數(shù)上廣義Jordan導(dǎo)子和廣義內(nèi)導(dǎo)子的聯(lián)系,證明了作用在一個(gè)含單位元的可交換環(huán)上的三角代數(shù)到其自身上的環(huán)線性廣義Jordan導(dǎo)子是一個(gè)廣義導(dǎo)子.

廣義Jordan導(dǎo)子;廣義內(nèi)導(dǎo)子;廣義導(dǎo)子;三角代數(shù)

1 引言

在本文中,我們用R表示含單位元I的可交換環(huán),A是作用在環(huán)R上的代數(shù),M是A-雙模.如果R是一個(gè)含單位元的可交換環(huán),A是作用在R上的一個(gè)代數(shù),我們稱一個(gè)映射?從代數(shù)A到其雙模M是環(huán)線性的(R-線性),如果對(duì)于任意的a,b∈A和任意的r∈R,都有?(a+b)= ?(a)+?(b)和?(ra)=r?(a)(見文[1]).若對(duì)于任意的a∈A,當(dāng)2a=0時(shí)有a=0,則稱A是2-非撓的.在本文中假設(shè)R,A,M都是2-非撓的.設(shè)?是一個(gè)從A到其雙模M的R-線性映射.如果對(duì)于任意的a,b∈A,都有

則稱?是一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子;特別地,如果?(I)=0,則稱?是一個(gè)Jordan導(dǎo)子.若對(duì)任意的a,b∈A,都有

則稱?為廣義導(dǎo)子;特別地,若?(I)=0,則稱?為導(dǎo)子.若對(duì)于任意的a∈A,存在s,t∈M使得?(a)=as+ta,則稱?是代數(shù)A到其雙模M上的一個(gè)廣義內(nèi)導(dǎo)子;特別地,如果s=?t,則稱?為內(nèi)導(dǎo)子.

由上述定義可知,(廣義)內(nèi)導(dǎo)子一定是(廣義)導(dǎo)子,(廣義)導(dǎo)子一定是(廣義)Jordan導(dǎo)子,但反之一般不成立[24].那在哪些代數(shù)上成立呢?許多學(xué)者都已經(jīng)研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題,比如Herstein[5]證明了每一個(gè)2-非撓的素環(huán)到其自身上的Jordan導(dǎo)子都是一個(gè)導(dǎo)子,并且在素環(huán)上不存在反導(dǎo)子.Breˇsar[6]證明了每個(gè)從2-非撓的半素環(huán)到其自身的Jordan導(dǎo)子是一個(gè)導(dǎo)子.張建華[7]證明了套代數(shù)上的每個(gè)Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子,因此是內(nèi)導(dǎo)子.朱軍[8]證明了2-非撓的半素環(huán)到其自身上的廣義Jordan導(dǎo)子是一個(gè)廣義導(dǎo)子.還有其他的一些類似結(jié)果在文[9-15]中也可以找到.

本文主要就是研究了含單位元的三角代數(shù)

其中M是(A,B)-雙模,即是A的一一左模,B的一一右模,到其自身的廣義Jordan導(dǎo)子.文[3]證明了每個(gè)上三角矩陣到其代數(shù)雙模上的廣義Jordan導(dǎo)子是一個(gè)廣義導(dǎo)子與反導(dǎo)子的和,特別是到其自身的廣義反導(dǎo)子是平凡的,張建華等[16]證明了每個(gè)三角代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子是一個(gè)導(dǎo)子.本文就是基于上面的研究結(jié)果,得出了一些結(jié)論.

2 三角代數(shù)上的廣義Jordan導(dǎo)子

在下面,我們還是假設(shè)A,B是作用在含單位元的環(huán)R上的代數(shù),M是作用在R上的,且既是A-左模又是B-右模.按照習(xí)慣,我們還是把M看作是按照rξ=ξr=(rI)ξ=ξ(rI),?r∈R,?ξ∈M作用在R上的雙模,其中I是代數(shù)A,B的單位元.

命題1設(shè)?是一個(gè)從A到其雙模M的環(huán)線性映射,則下面各命題等價(jià):

證明在文[3]中,作者已經(jīng)證明了(1),(2),(3)是等價(jià)的,因此,在這里我們只需證明(1),(2),(3) 與(4)也是等價(jià)的即可.

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Generalized Jordan derivations of triangular algebras

MA Fei1,ZHU Xiao-long2,ZHAO Jian-tang1
(1.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang 712000,China; 2.College of Mathematics and Computer Science,Ningxia Normal University,Guyuan 756000,China)

In this paper,generalized Jordan derivations of triangular algebra are discussed.By the relation of generalized Jordan derivation and generalized inner derivation of triangular algebra,we show that every R-linear generalized Jordan derivation of triangular algebras over a commutative ring with identity is a generalized derivation.

generalized Jordan derivation,generalized inner derivation,generalized derivation,triangular algebra

O175.26

A

1008-5513(2009)03-0595-08

2008-04-11.

咸陽(yáng)師范學(xué)院科研項(xiàng)目(07XSYK262).

馬飛(1981-),碩士,研究方向：算子代數(shù)與算子理論.

2000MSC:47L35,47B47