摘要：把天津市恩格爾系數(shù)的變化過程看成是一個(gè)馬爾可夫鏈，并針對恩格爾系數(shù)的特點(diǎn)引入恩格爾系數(shù)增減率，建立天津市恩格爾系數(shù)變化對馬爾可夫鏈模型，并進(jìn)行預(yù)測分析，以供有關(guān)方面參考。

關(guān)鍵詞：馬爾柯夫鏈 天津市 恩格爾系數(shù)

中圖分類號:F224

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

1 分析背景

恩格爾系數(shù)是從一個(gè)方面反映一個(gè)國家或地區(qū)消費(fèi)結(jié)構(gòu)狀況， 衡量居民生活水平高低，且被世界各國廣泛采用的消費(fèi)結(jié)構(gòu)指標(biāo)。聯(lián)合國糧農(nóng)組織(FAO)根據(jù)各國的消費(fèi)習(xí)慣，利用恩格爾系數(shù)對一個(gè)國家或地區(qū)的居民生活質(zhì)量提出了一個(gè)相對標(biāo)準(zhǔn)，即60%以上為絕對貧困，50%-60%為勉強(qiáng)度日，40%-50%為小康，30%-40%為富裕，30%以下為最富裕。聯(lián)合國糧農(nóng)組織的這一舉措，使恩格爾系數(shù)成為評價(jià)國家或地區(qū)生活水平高低的重要標(biāo)準(zhǔn)之一，恩格爾系數(shù)和恩格爾定律得到了廣泛的認(rèn)同。

中國從改革開放以來，隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，居民收入差距擴(kuò)大，消費(fèi)檔次逐步拉開，引起人們對恩格爾系數(shù)普遍關(guān)注。另外，中國宣布“總體達(dá)到小康”，其衡量標(biāo)準(zhǔn)之一就是恩格爾系數(shù)。我國勞動(dòng)和社會保障部確定最低工資標(biāo)準(zhǔn)的方法之一就是恩格爾系數(shù)法。因此研究恩格爾系數(shù)具有和重要的現(xiàn)實(shí)意義。

2 馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈的數(shù)學(xué)定義為：設(shè)隨機(jī)過程 的狀態(tài)空間S為R中的可列集。如果對T中任意n個(gè)參數(shù)t1＜t2＜…tn，以及使

成立的S中任意狀態(tài)i1，…in-1與in均有 則稱 為馬爾可夫鏈。設(shè)I為離散的馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間。稱條件概率

，為的h步轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移概率表示已知過程在m的馬爾可夫鏈稱為齊次馬爾可夫鏈。此時(shí)，k步轉(zhuǎn)移概率可以記為p(k)。當(dāng)時(shí)k=1，稱為一步轉(zhuǎn)移概率，簡記為p；并且p(k)=pk，k≥1。概率轉(zhuǎn)移矩陣中的元素具有非負(fù)性以及行和為1兩個(gè)性質(zhì)。

應(yīng)用馬爾可夫鏈的方法預(yù)測的基本思路是:如果某種事物或某種現(xiàn)象的各狀態(tài)的時(shí)間序列為馬爾可夫鏈，則根據(jù)T(u-1)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)或預(yù)報(bào)T(u)時(shí)刻的狀態(tài)。對于一個(gè)符合馬爾可夫過程的時(shí)間序列，先根據(jù)具體情況，將其劃分成若干離散的狀態(tài)，再計(jì)算一階轉(zhuǎn)移概率矩陣。由T(u-1)時(shí)刻的S(u-1)某狀態(tài)，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到T(u)時(shí)刻的S(u)某狀態(tài)的概率，稱為一步轉(zhuǎn)移概率。一步轉(zhuǎn)移概率為：，其中ωu為狀態(tài)S(u)出現(xiàn)的次數(shù)，ωuk為從狀態(tài)S(u)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S(k)的次數(shù)，puk為由狀態(tài)S(u)經(jīng)過一階轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S(k)的轉(zhuǎn)移概率。

習(xí)慣上把尚未發(fā)生轉(zhuǎn)移變化的初狀態(tài)概率稱為0步，記作ro。由問題需要，0步可確定在任意時(shí)刻，它是預(yù)測模型的初始條件。設(shè)rk=（r1k，r2k，…，rnk）表示T（k）時(shí)的狀態(tài)概率，根據(jù)條件概率公式，有T(k+1)時(shí)狀態(tài)：rk+1=（r1k+1，r2k+1，…rnk+1）=（r1k，r2k，…，rnk）xp=rkxp，由此可以得出：rk+1=rkxp=rk-1xp2=…=roxpk+1，該式即為馬爾可夫鏈預(yù)測模型，只要初始狀態(tài)向量ro已知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣給定，以后每步的狀態(tài)向量就都可以計(jì)算，進(jìn)而可以計(jì)算出恩格爾系數(shù)的變化趨勢。

3 天津恩格爾系數(shù)的實(shí)證分析

利用天津市1985年至2006年城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)作為數(shù)據(jù)，見表1。由于恩格爾系數(shù)呈一種波動(dòng)的降低趨勢，若直接將恩格爾系數(shù)進(jìn)行狀態(tài)劃分，則狀態(tài)顯得比較集中，計(jì)算不便。為避免這種弊端，引入增減率，用恩格爾系數(shù)的增減率描述在一定程度上弱化了長期趨勢，使波動(dòng)特征更加明顯，符合人們生活水平的動(dòng)態(tài)特征。按增減率的大小將恩格爾系數(shù)分為減少、持平、增加3種狀態(tài)組成馬爾柯夫鏈.表1中22年來的恩格爾系數(shù)在總體上呈現(xiàn)下降趨勢，此即說明人們的生活水平呈提高趨勢，因此，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，將恩格爾系數(shù)的增減率劃分為3個(gè)狀態(tài)，即減少、持平、增加，分別以1，2，3來表示，相對應(yīng)的增減率范圍分別為：[-4.5914，-1.5305]，[-1.5305，2.1700]，和[2.1700，6.5099]。

令r(n)表示恩格爾系數(shù)在第n年的增減率，顯然 是一個(gè)離散參數(shù)隨機(jī)過程。這里只考慮其3個(gè)狀態(tài)，則pij(i，j=1，2，3)表示狀態(tài)由i轉(zhuǎn)向j的概率，如p12表示恩格爾系數(shù)相對于前一年由減少變?yōu)槌制降母怕省?/p>

由表1計(jì)算一步轉(zhuǎn)移概率，如狀態(tài)“2”共出現(xiàn)12次，其中，轉(zhuǎn)移為“1”的有5次，轉(zhuǎn)移為“2”的有7次，轉(zhuǎn)移為“3”的有0次。從而構(gòu)成一步概率轉(zhuǎn)移矩陣的第二行，其它以此類推.只是狀態(tài)“1”應(yīng)去掉最后一年份，出現(xiàn)次數(shù)為7次。以2006年為基準(zhǔn)，由表1知天津市2006年城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)的增減率處于狀態(tài)1，即初始狀態(tài)概率向量p（0）=（100），由預(yù)測模型，利用MATLAB計(jì)算得到2007-2011年的轉(zhuǎn)移狀態(tài)如下表所示：

從上表可以看出，恩格爾系數(shù)上升的概率很小。更多是保持平衡和上升。另外，轉(zhuǎn)移概率矩陣，在第7步之后成為穩(wěn)定的，其狀態(tài)概率的分布恒為。

4 結(jié)語

本文的實(shí)例說明，運(yùn)用隨機(jī)理論來刻畫恩格爾系數(shù)的隨機(jī)變化是可行的。馬爾柯夫隨機(jī)預(yù)報(bào)模型有較高的可靠性，適于實(shí)際應(yīng)用。建立預(yù)報(bào)模型的關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的概率轉(zhuǎn)移矩陣。長期預(yù)報(bào)應(yīng)及時(shí)利用最新監(jiān)測數(shù)據(jù)對概率轉(zhuǎn)移矩陣作出調(diào)整，以保障預(yù)報(bào)模型的可靠性。

參考文獻(xiàn)：

[1]王銀銀.馬爾柯夫鏈在預(yù)測江蘇省恩格爾系數(shù)中的應(yīng)用.淮海工學(xué)院學(xué)報(bào).2007.第16卷第2期.

[2]梁盛泉.甘肅省各地市人均GDP的馬爾可夫預(yù)測及變動(dòng)分析.中國農(nóng)業(yè)資源與區(qū)劃.2007.第28卷第2期.

[3]林元烈.應(yīng)用隨機(jī)過程.北京：清華大學(xué)出版社.2002年.