數(shù)學思想方法是從數(shù)學內容中提煉出來的數(shù)學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁.解決函數(shù)探索題問題經常用到各種基本數(shù)學思想，掌握這些數(shù)學思想有利于提高分析問題和解決問題的能力.下面介紹數(shù)學思想在解函數(shù)探索題問題中的應用，供大家參考.

一、方程與不等式思想

就是分析問題中的變量之間的關系，建立方程或不等式（組），通過解方程或不等式（組），以及運用方程或不等式的性質去分析、轉化問題，使問題得到解決.

例1 是否存在實數(shù)a、b、c，使函數(shù)fx＝ax2+bx+c的圖象過點M（－1，0），且滿足條件：對一切x∈R，都有x≤fx≤12x2+1，并證明你的結論.

分析 由條件函數(shù)fx＝ax2+bx+c的圖象過點M（－1，0），可得方程a－b＋c＝0；又由條件對一切x∈R，都有x≤fx≤12x2+1，可得關于a、b、c的不等式組.這樣就把問題轉化為方程和不等式問題，解方程和不等式就可得到結果.

解 將M點的坐標代入函數(shù)式得a－b＋c＝0①又x≤fx≤12x2+1對一切x∈R都成立.令x＝0得，0≤c≤12②.令x＝1得，1≤a＋b＋c≤1，即a＋b＋c＝1③.由①和③得b＝12，c＝12－a④.由于對一切x∈R，都有x≤fx≤12x2+1，所以不等式組fx≥x，fx≤12x2+1.即2ax2－x+1－2a≥0，1－2ax2－x+2a≥0.⑤的解集為R.當a＝0或a＝12時，該不等式組不能對一切x∈R都成立，故a≠0，a≠12.當a≠0，a≠12時，不等式組解集為R，a必須滿足條件Δ1=1－8a1－2a≤0，Δ2=1－8a1－2a≤0.⑥即16a2－8a＋1≤0，4a－12≤0.所以a＝14.由④得c＝14.

由此可知，存在實數(shù)a＝14，b＝12，c＝14，使函數(shù)fx滿足題設條件.

評注 從不等式組⑤到不等式組⑥，如果漏掉等號，就得到相反的結論.

二、數(shù)形結合思想

在解函數(shù)探索題時，可以根據“式”的結構特征，構造相應的幾何圖形，并通過圖形的性質解決函數(shù)問題.

例2 已知函數(shù)fx＝log2 x+1x－1＋log2 x－1＋log2 p－x.

（1）是否存在實數(shù)p使函數(shù)fx有意義；

（2）fx是否存在最大值或最小值，如果存在，把它求出來，若不存在，說明理由.

分析（1）根據條件列出不等式組求解.

（2）因為函數(shù)fx＝log2 －x－p－122+p+124（p＞1，1＜x＜p），設φx＝－x－p－122＋p+124（p＞1，1＜x＜p），利用二次函數(shù)圖象的性質求解.

解（1）要使fx有意義，x、p要滿足x+1x－1>0，x－1>0，p－x>0.即x>0或x<－1，x>1，x

（2）fx＝log2 －x－p－122+p+124（p＞1，1＜x＜p），設φx＝－x－p－122＋p+124（p＞1，1＜x＜p），則φx是定義在（1，p）上的二次函數(shù)，根據二次函數(shù)圖象的性質可知，只有當1＜p－12＜p，即p＞3時，φx有最大值φmaxx＝φp－12＝p+124，但是，無最小值.當p－12≤1或p－12≥p，即1＜p≤3時，φx既無最大值，也無最小值.

因此，當p＞3時，fx有最大值，且最大值為fmaxx＝fp－12＝log2 p+124＝2［log2 p+1－1］，此時函數(shù)無最小值.當1＜p≤3時，fx既無最大值，也無最小值.

評注 如果能把函數(shù)問題以“圖形”的形式描述，揭示出命題的幾何特征，就能變抽象為直觀，使抽象思維和形象思維在解題過程中相互轉化，使初看很難或很繁的問題變得容易和簡單.

三、函數(shù)思想

就是分析、利用問題中數(shù)量之間的關系，建立函數(shù)關系，運用函數(shù)的圖象和性質求解，從而使問題獲得解決.

例3 （1）試判斷命題“一次函數(shù)fx＝kx＋h（k≠0），若m＜n，fm＞0，fn＞0，則對任意x∈（m，n）都有fx＞0”是真命題還是假命題？并說明理由.

（2）利用（1）的結論判斷命題“若a、b、c均為實數(shù)，且|a|＜1、|b|＜1、|c|＜1，則ab＋bc＋ca＞－1”是真命題還是假命題？并說明理由.

分析 （1）一次函數(shù)的圖象是直線，而fx＝kx＋h［x∈［m，n］］的圖象是線段，一條線段的兩個端點在x軸上方，則這條線段在x軸上方.

（2）由ab＋bc＋ca＞－1，得（b＋c）a＋bc＋1＞0，令fx＝（b＋c）x＋bc＋1，利用一次函數(shù)求解.

解 （1）當k＞0時，fx是增函數(shù).因為fm＞0，所以，當x∈（m，n）時，fx＞fm＞0總成立.

（2）當k＜0時，fx是增函數(shù).因為fn＞0，所以，當x∈（m，n）時，fx＞fn＞0總成立.

綜上所述，對任意x∈（m，n）都有fx＞0是真命題.

（2）令fx＝（b＋c）x＋bc＋1（|b|＜1、|c|＜1），又因為a∈（－1，1），且fa＝（b＋c）a＋bc＋1＝ab＋bc＋ca＋1.

當b＋c＝0時，fa＝－c2＋1＞0，所以ab＋bc＋ca＋1＞0，即ab＋bc＋ca＞－1.

當b＋c≠0時，因為|b|＜1、|c|＜1，所以f1＝（b＋c）＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0；f－1＝－（b＋c）＋bc＋1＝（1－b）（1－c）＞0.

根據（1）題結論，當a∈（－1，1）時，fx＞0成立.因為a|＜1，所以fa＝ab＋bc＋ca＋1＞0即ab＋bc＋ca＞－1.

所以，此命題是真命題.

評注 把要解決的問題轉化為函數(shù)問題，結合具體的函數(shù)性質求解，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡，是一個重要的解題策略.如果函數(shù)解析式中含有參數(shù)，一般要根據定義域和參數(shù)的特點分類討論.

四、分類討論思想

它是根據問題的特征，確定劃分標準，進行分類，然后對每一類分別進行求解，最后綜合給出答案.

例4 設P（x＋a，y1）、Q（x，y2）、R（2＋a，y3）是函數(shù)fx＝log2 x－a圖象上不同的三點，若使y1＋y3＝2y2成立的實數(shù)x有且僅有一個，試問實數(shù)a需滿足什么條件？

分析：有P、Q、R在fx的圖象上和y1＋y3＝2y2的條件，列出含x方程.因為方程中含有參數(shù)a，因此求解時，要對a進行分類討論.

解：由P、Q、R是fx的圖象上不同的三點，所以，y1＝log2 x，y2＝log2 x－a，y3＝1.因為y1＋y3＝2y2，所以1＋log2 x＝2log2 x－a①，且方程①有且僅有一個實數(shù)根，由此得x>0，x－a>0，2x=x－a2.即x>0，x>a，x2－2a+1x+a2=0.②其中方程②亦有且僅有一個實數(shù)根.

（1）當方程①中Δ＝0，即Δ＝4a+12－4a2＝0，也就是a＝－12時，方程②有兩個等根為x＝12，且滿足x>0，x>a=－12.所以，當a＝－12時能使結論成立.

（2）當方程①中Δ＞0，即Δ＝4a+12－4a2＞0，也就是a＞－12時，方程②有兩個不等實數(shù)根為x＝1＋a±2a+1.而根據題意方程②有且僅有一個實數(shù)根，又因為1＋a＋2a+1＞a，且a＞－12時，1＋a＋2a+1＞0，所以必須1＋a－2a+1≤a且1＋a－2a+1≤0，即2a+1≥1且1＋a≤2a+1，所以a≥0.

由（1）（2）知，要使結論成立，a滿足的條件是a≥0或a＝－12.

評注 此題是因為參數(shù)引起的分類討論，而解題過程把它轉化為一元二次方程的解的個數(shù)進行分類討論，使解題過程更有層次性.

五、轉化與化歸思想

轉化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法.它的原則就是將不熟悉和難解的問題轉化為熟悉的易解的或已經解決的問題；將復雜問題轉化為簡單問題.

例5 關于x的函數(shù)fx＝logax－3－logax+2－logax－1的圖象與函數(shù)y＝1的圖象是否有公共點，試給予判斷，并說明理由.

分析 函數(shù)fx的圖象與函數(shù)y＝1的圖象是否有公共點，可以轉化為方程logax－3－logax+2－logax－1＝1是否有實數(shù)根的問題.它又可以轉化為討論方程1ax－3＝x+2x－1是否存在大于3的實數(shù)根.進一步把問題轉化為討論拋物線y＝x+2x－1－1ax－3是否在x＝3的右側與x軸有交點的問題，于是有如下解法.

解 令k＝1a，因為a＞0，a≠1，所以k＞0，k≠1.根據題意，所求解的問題轉化為一元二次方程kx－3＝x+2x－1是否存在大于3的實數(shù)根的問題，即為x2＋（1－k）x＋3k－2＝0是否有大于3的實數(shù)根.

令φx＝x2＋（1－k）x＋3k－2，則上述問題可轉化為討論拋物線φx是否在x＝3的右側與x軸有交點的問題.而此拋物線開口向上，且對稱軸方程為x＝k－12，又φ3＝9＋3（1－k）＋3k－2＝10＞0，所以若拋物線φx在x＝3的右側與x軸有交點，其圖象只能如圖3所示，根據圖象，k必須滿足不等式組Δ=1－k2－43k－2≥0，x=－1－k2>3.解得k≥7+210或07.所以k≥7＋210時，此時拋物線在x＝3的右側與x軸有交點，又0＜a＝1k≤17+210＝7－2109，所以，當0＜a≤7－2109時，函數(shù)fx的圖象與函數(shù)y＝1的圖象有公共點.

評注 數(shù)學大師波利亞強調：“不斷地變換你的問題”.解題過程就是合理地“轉化”問題的過程.

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，因此，加強數(shù)學思想的學習，對培養(yǎng)自己的數(shù)學能力和優(yōu)化數(shù)學素養(yǎng)都有幫助.