1.一組課本習(xí)題的集中展示
(1)畫出函數(shù)f(x)=x2+2x-1,x∈0,+∞-x2+2x-1,x∈(-∞,0)的圖像,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出函數(shù)的最大值或最小值;(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué) 必修1 蘇教版 第43頁)
(2)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-1,試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并畫出函數(shù)的圖像;(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué) 必修1 蘇教版 第43頁)
(3)畫出函數(shù)y=x2-x的圖像.(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué) 必修1 蘇教版 第93頁)
這幾個問題散落在課本的習(xí)題及復(fù)習(xí)參考題中,將它們放在一起來共同研究,會發(fā)現(xiàn)它們至少有如下兩個共同點:
①都是由中學(xué)階段一類最常見、最重要的函數(shù)——二次函數(shù)演變而來的;
②都強(qiáng)調(diào)要求畫出函數(shù)的圖像.方法主要有以下兩個:將(2)、(3)兩個函數(shù)的形式寫成如(1)中的分段函數(shù)形式,比如(2)中的函數(shù)解析式寫成f(x)=x2-2x-1,x≥0x2+2x-1,x<0,
(3)中的函數(shù)解析式寫成f(x)=x2-x,x≤0或x≥1-x2+x,0 這幾個問題的解決體現(xiàn)了將抽象的問題具體化、陌生的問題熟悉化、復(fù)雜的問題簡單化的原則.它們起點不高,但意味深遠(yuǎn),為將來進(jìn)一步利用這些函數(shù)深入的研究其他問題埋下伏筆! 2.變式題:課本習(xí)題的一種外延 例1 (1)求函數(shù)f(x)=x2-2x-1-1的最小值及對應(yīng)的x值. 【解析】因為f(x)=x2-2x+1,x≥1x2+2x-3,x<1, 當(dāng)x≥1時,ymin=f(1)=0; 當(dāng)x<1時,ymin=f(-1)=-4. 綜上所述,ymin=f(-1)=-4. (2)求函數(shù)f(x)=x2-2ax-1-1,(a∈R)的最小值及對應(yīng)的x值. 【解析】因為f(x)=x2-2ax+2a-1,x≥1x2+2ax-2a-1,x<1, 當(dāng)a≥1時,函數(shù)f(x)的圖像如下圖所示, 當(dāng)x∈1,+∞時,ymin=f(a)=-a2+2a-1; 當(dāng)x∈-∞,0時,ymin=f(-a)=-a2-2a-1. 又f(-a) 同理可得, 當(dāng)-1 當(dāng)a≤-1時,ymin=f(1)=0. 綜上所述,當(dāng)a≥-1時,ymin=f(-a)=-a2-2a-1; 當(dāng)a<-1時,ymin=f(1)=0. 3.高考題:課本習(xí)題的一個歸屬 例2 (2008 浙江 15)已知t為常數(shù),函數(shù)y=x2-2x-t在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則t= . 【解析】因為函數(shù)y=x2-2x-t的圖像可由函數(shù)y=x2-2x-t的圖像保留其在x軸上方的部分而將其在x軸下方的部分(如果有的話)沿x軸翻著到x軸上方得到(圖略,有興趣的讀者可自行研究). 故,函數(shù)y=x2-2x-t在區(qū)間[0,3]上的最大值在x=1或x=3時取. 當(dāng)x=1時,ymax=t+1=2,解得t=1或t=-3.經(jīng)檢驗,t=-3不符合題意; 當(dāng)x=3時,ymax=3-t=2,解得t=1或t=5.經(jīng)檢驗,t=5不符合題意. 綜上所述,t=1. 例3 (2009 江蘇 20)設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范圍; (2)求f(x)的最小值; (3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集. 【解析】(1)若f(0)≥1,則-a|a|≥1a<0a2≥1a≤-1 (2)由已知得,f(x)=3x2-2ax+a2,x≥ax2+2ax-a2,x 當(dāng)x≥a時,f(x)=3x2-2ax+a2,f(x)min=f(a),a≥0f(a3),a<0=2a2,a≥02a23,a<0; 當(dāng)x≤a時,f(x)=x2+2ax-a2,f(x)min=f(-a),a≥0f(a),a<0=-2a2,a≥02a2,a<0. 綜上f(x)min=-2a2,a≥02a23,a<0. (3)x∈(a,+∞)時,h(x)≥1得3x2-2ax+a2-1≥0,Δ=4a2-12(a2-1)=12-8a2 當(dāng)a≤-62或a≥62時,Δ≤0,x∈(a,+∞); 當(dāng)-620,得(x-a-3-2a23)(x-a+3-2a23)≥0x>a 1)a∈(22,62)時,x∈(a,+∞) 2)a∈[-22,22]時,x∈[a+3-2a23,+∞) 3)a∈(-62,-22]時,x∈(a,a-3-2a23]∪[a+3-2a23,+∞) 這些課本習(xí)題就像很多好萊塢的影視劇一樣,給讀者留下想象的空間,給導(dǎo)演留下將來再拍寫續(xù)集的可能!我們平時不妨多研究這些問題,讓自己先行當(dāng)回導(dǎo)演,來拍拍續(xù)集!