摘要：模糊粗糙集理論模型的建立和發(fā)展是Pawlak粗糙集模型推廣的一個主要方向，該文在普通等價關(guān)系下的模糊粗糙集的基礎(chǔ)上，給出了模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集的表示方法，并提出了模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的下、上近似的表示方法及其性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：模糊相似關(guān)系；模糊粗糙集；截集

中圖分類號：TP311文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044(2009)04-0947-03

Fuzzy Similar Relational Fuzzy Rough Set and Level Set

XIAN Yan-xia

(College of Science， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430065， China)

Abstract: On the base of the ordinary equivalence relation of fuzzy rough set， has given the fuzzy rough set expression based on the fuzzy similar relation. This paper mainly proposes the level set of fuzzy rough set the lower and upper approximation based on the fuzzy similar relation. Moreover， the basic properties are also investigated.

Key words: the fuzzy similar relation; the fuzzy rough set; level set

1 引言

Z.Pawlak 于1982年提出了粗糙集（Rough Set）理論[1-2]，粗糙集在處理不確定性和不精確問題方面推廣了經(jīng)典集合論，它是通過對象對于集合的隸屬程度來近似描述的。在粗糙集模型中，等價關(guān)系起著至關(guān)重要的作用，但是，對等價關(guān)系的要求也限制了粗糙集理論的應(yīng)用，因此許多學(xué)者從各方面對粗糙集理論進行了推廣。Dubois和Prade[3]以及Nakamura[4]最先指出為了近似由隸屬函數(shù)定義的模糊集[5]，可以推廣以上、下近似的形式給出的粗糙集的思想，提出了模糊粗糙集。還有一些學(xué)者提出了模糊信息系統(tǒng)[2-5]，并提出了普通等價關(guān)系下的模糊粗糙集[6]。

在模糊集理論[7]中，模糊集的α截集是一個基本的概念，它建立了模糊集和清晰集之間的關(guān)系。

該文主要是基于模糊集和粗糙集的結(jié)合，給出了模糊相似關(guān)系下[8]的模糊粗糙集，并在此基礎(chǔ)上提出了模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的下、上近似的表示及其一些性質(zhì)。

2 模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集

設(shè)U為論域，U上的全體模糊集記為F(U)，R為U上的一個等價關(guān)系，模糊集F∈F(U)關(guān)于等價關(guān)系R的下，上近似為U上的模糊集，其隸屬函數(shù)[9]為：

其中[x]R表示x所在的等價類，稱(RF，RF)為模糊粗糙集。

定義2.1設(shè)R是論域U上的二元模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為R(x，y)，若R滿足

1) 對于任意的x∈U，有R(x，y)=1，即R具有模糊自反性；

2) 對于任意的x∈U，有R(x，y)= R(y，x)，即R具有模糊對稱性；

則稱R為模糊相似關(guān)系。

根據(jù)Dubois和Prade定義的模糊粗糙集[10-12]，若用模糊相似關(guān)系代替上述模糊粗糙集中的等價關(guān)系，可以得到一個推廣的模糊粗糙集。

定義2.2設(shè)U為論域， R是論域U上的模糊相似關(guān)系，模糊集F∈F(U)關(guān)于R的下、上近似是U上的一對模糊集，其隸屬函數(shù)為：

其中表示y對x關(guān)于 的相似程度，[x]R表示x所在的模糊相似類。稱(RF，RF)為U上模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集。若RF，RF，則稱F為模糊相似可定義集。

容易驗證，若R為U上的普通等價關(guān)系，(RF，RF)就退化為上述的等價關(guān)系下的模糊粗糙集。也可進一步驗證，當(dāng)R是U上的普通等價關(guān)系，F(xiàn)為U上的經(jīng)典集合時，F(xiàn)= (RF，RF)就退化為Pawlak意義下的粗糙集。

定理2.1設(shè)A為論域U上模糊相似關(guān)系R下的模糊粗糙集，則A的下近似RA和上近似RA具有以下性質(zhì)

證明：直接由定義可以得證。

由于R是論域U上的模糊相似關(guān)系，不滿足傳遞性，所以普通等價關(guān)系下的模糊粗糙集中的式子R(RA)=R(RA)=RA，R(RA)=R(RA)=RA不成立。

3 模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的下、上近似

設(shè)U為論域，U上的全體模糊集記為F(U)，對任意模糊集F∈F(U)以及λ∈[0，1]，F(xiàn)的λ-截集和強λ-截集的定義分別為：

有關(guān)模糊集的概念和性質(zhì)可參考[7]。

現(xiàn)設(shè)R是論域U上的一個等價關(guān)系，F(xiàn)∈F(U)，λ∈[0，1]，按照[9]，F(xiàn)λ及FλS的下，上近似分別為：

其中[x]R表示x所在的等價類。

若用模糊相似關(guān)系代替等價關(guān)系，則Fλ及FλS的下，上近似分別定義為：

其中[x]R表示x所在的模糊相似類。

容易證明，若R是論域U上的一個等價關(guān)系，則Fλ及FλS的下，上近似（a）（b）（c）（d）就退化為普通等價關(guān)系下的Fλ及FλS的下，上近似。

定理3.1設(shè)U為論域， R是論域U上的模糊相似關(guān)系，A，B∈F(U)，λ∈[0，1]，則下面的式子成立

證明：只證(1)(2)(5)的前一個式子，其它的同理可證。

1)

又因Aλ，Bλ?哿P(U)，易知R(Aλ∪Bλ)?勐RAλ∪RBλ，故R(A∪B) λ?勐RAλ∪RBλ。

2)

又因Aλ，Bλ?哿P(U)，易知R(Aλ∪Bλ)=R(Aλ∪Bλ)=RAλ∪RBλ，故R(A∪B) λ=RAλ∪RBλ。

由于(~A)λ=~A1-λS，從而有R(~A)λ=R(~A1-λS)=~RA1-λS.

注：P(U)表示論域U上的全體經(jīng)典集。

定理3.2設(shè)U為論域，R為模糊相似關(guān)系，對任意A∈F(U)，有

證明：(1)對?坌x∈U，

從而有。

另一方面，

從而有。

對?坌x∈U，

從而有。

另一方面，

從而有。

由定理3.2可以立即得到下面的推論。

推論設(shè)U為論域，R為模糊相似關(guān)系，對A∈F(U)，H:[0，1]→P(U)為一個映射，并且對任意的λ∈[0，1]，恒有，則有

證明：因為對任意的λ∈[0，1]，恒有AλS?奐H(λ)?奐Aλ，從而有

所以有。

另一方面，

所以有。

3 結(jié)束語

綜上，該文主要提出了模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的表示方法以及一些性質(zhì)。另外，如果考慮基于模糊集和模糊關(guān)系，在兩個論域上對粗糙集進行推廣，可以得到模糊粗糙集的表達(dá)形式，它們的截集具有什么性質(zhì)呢？這些問題有待進一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] Pawlak Z.Rough sets.Theortical Aspects of Reasoning about Data[M].Boston Dordrecht London:Kluwer Academica Publisherd，1991.

[2] 張文修，吳偉志，梁吉業(yè)，等.粗糙集理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社，2001.

[3] Dubois D， Prade H.Putting rough sets and fuzzy sets together[M]//Slowinski R.Int-elligent Decision Support.Handbook of Application and Advances of the Rough Sets.Boston Dordrecht London:Kluw-er Academic Publishers，1992.

[4] Nakamura A.Application of fuzzy-rough classification to logics[M]//Slowinski R.

Intelligent Decision Support. Handbook of Application and Advances of the Rough Sets.Boston Dotdrecht London:Kluwer Academic Publishers，1992.

[5] 張梅，李懷祖，張文修.Fuzzy系統(tǒng)的Rough集理論[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16(3):44-49.

[6] 郭海剛，張振良，高井貴.相似關(guān)系下的模糊粗糙集[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報:理工版，2004，29(61):153-155.

[7] 胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2004.

[8] Komorowski J， Pawlak Z， Polkowski L，et al.Rough sets: a tutorial[M]//Pal S K，Skowron A.Rough-Fuzzy Hybridization: A New Method for Decision Making.Singapore:Springer-verlag，1999:3-98.

[9] Pawlak， Z..Rough sets [J]. Internation Journal of Computer and Information Sciences， 1982，(11): 341-356.

[10] Radzikowska A M，Kerre E E.A comparative study of fuzzy rough sets[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，126:137-135.

[11] Wu Weizhi，Mi Jusheng，Zhong Wen-xiu.Generalized fuzzy rough sets[J].Information Sciences，2003(151):263-282.

[12] Dubois D，Prade H.Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J].International Journal of General Systems，1990(17):191-209.

咸艷霞（1979-），女，河南周口人，助教，武漢科技大學(xué)理學(xué)院信息與計算科學(xué)系，研究方向：智能計算與不確定性信息處理。