摘要：該文對Lorenz混沌系統(tǒng)的同步問題進行了理論分析，并進行線性反饋控制設計，基于Lyapunov函數(shù)提出了反饋控制同步規(guī)則，仿真結(jié)果證實了規(guī)則的可行性及有效性。

關鍵詞： Lorenz混沌系統(tǒng)；線性反饋；同步

中圖分類號：O415文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2009)04-0950-04

A Feedback Approach to the Control and Synchronization of Lorenz System

ZHAO Dan-qing

(Center of Computing and Experimenting， SCUFN， Wuhan 430074， China)

Abstract: In this paper the synchronization problem of Lorenz chaotic system is studied.Two Linear feedback control rules are derived based on Lyapunov functions. Simulation results show the effectiveness of these rules.

Key words: lorenz chaotic system; linear feedback; synchronization

1 引言

混沌現(xiàn)象是當前非線性科學及其交叉領域的一個重要課程和熱點。由于混沌信號具有復雜的、不可預測及對初始條件及其系統(tǒng)參數(shù)變化的高度敏感性的行為特性，而且有實現(xiàn)同步的可能性，因此在通信領域中具有廣闊的應用前景。混沌同步是實現(xiàn)混沌通信的關鍵。近年來，混沌同步控制方法不斷涌現(xiàn)，出現(xiàn)了各種實現(xiàn)混沌信號同步控制的機理和方法[1-4]。

Lorenz系統(tǒng)是一種典型的混沌系統(tǒng)，具有混沌系統(tǒng)的很多特征，它主要由三個非線性微分方程組成。

■ （1）

在（1）式中，x，y，z是狀態(tài)變量，σ>0，ρ>0，β>0是參數(shù)。當σ=10，ρ=28，β=8/3時呈現(xiàn)混沌態(tài)（其混沌行為如圖1所示）。

本文以Lorenz系統(tǒng)為例，針對混沌同步問題進行分析，利用反饋控制的思想，提出了兩種同步控制規(guī)則，并進行了仿真驗證。

2 混沌同步的定義及反饋控制思想

2.1 混沌同步的定義

考慮如下兩個非線性動力系統(tǒng)：

■

其中x，y∈Rn分別為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，F(xiàn)，F(xiàn)'：[R+×Rn]->Rn為非線性映射，U：[R+×Rn×Rn]->Rn為同步控制量，R+為非負實數(shù)集。

如果存在：■成立，則系統(tǒng)（1b）和系統(tǒng)（1a）同步，稱系統(tǒng)（1a）為驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng)（1b）為響應系統(tǒng)，D(t0)為同步區(qū)域。

2.2 反饋控制思想

考慮非線性自治系統(tǒng)■=f(x)，式中■ 選取Lyapunov函數(shù)V≥0，如果存在反饋控制μ=g(x)，使■≤0，等號當且僅當xi=0時成立，那么原非自治系統(tǒng)零解漸近穩(wěn)定。本文利用這一思想提出和證明了Lorenz系統(tǒng)線性反饋實現(xiàn)同步的兩種控制規(guī)則。

3 線性反饋實現(xiàn)同步

3.1 反饋控制規(guī)則Ⅰ

設Lorenz系統(tǒng)（1）為驅(qū)動系統(tǒng)，響應系統(tǒng)為：

■ （2）

則由式（1），式（2）得受控誤差系統(tǒng)為：

■ （3）

設受控響應系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)間的狀態(tài)誤差為ex=■-x，ey=■-y，ez=■-z則受控誤差系統(tǒng)可寫為：

■（4）

顯然，若誤差系統(tǒng)（4）的零解漸近穩(wěn)定，則（1），（2）系統(tǒng)同步。

選取正定Lyapunov函數(shù)為■

則■ ，將（4）式代入得：

■（5）

為分析問題的簡單化，希望在計算過程中不出現(xiàn)eyez項，則可設控制規(guī)則為：

■ （6）

其中σk1， σk2， σk3，k4，k5，k6，k7均為反饋系數(shù)，將（6）代入到（5）中得：

■

其中，e=[exeyez]T，

■

要使（4）式零解漸近穩(wěn)定，要求■負定，即要求P正定，則要求下面三個不等式成立：

■ （7）

由于z，y皆為狀態(tài)變量，其變化規(guī)律具有不確定性，因此參數(shù)k2，k5，k3，k7也具有不確定性，此處不防令k2+k5=1+ρ，k3=k7=0，則控制規(guī)則（6）簡化為：

■ （8）

且不等式組（7）簡化為：

■ （9）

由于混沌軌跡相平面的有界性，設Mly>|y|， Mlz>|z|，常數(shù)Mly和Mlz總是存在的。故不等式組（9）成立的充分條件為：

■ （10）

為了便于討論，設定k6=-β+1，則不等式組(10)又可簡化為：

■ （11）

由1+k1>0，■，可知，1+k4>0，由σ>0，Mlz>0，故1+σ+Mlz>0

令 ■（12）

令 ■（13）

綜上，可得到一組線性反饋控制規(guī)則：

■（14）

3.2 反饋控制規(guī)則Ⅱ

設Mly>|y|， Mlz>|z|，則采用線性反饋控制：■可以實現(xiàn)系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）的同步，其中：■。

證明：將控制規(guī)則代入誤差系統(tǒng)（4），得到：

■（15）

選取正定Lyapunov函數(shù)■

則 ■，將（3）式代入得：

■

其中，e=[exeyez]T，

■ 。

要使式（15）零解漸近穩(wěn)定，則要求下面3個不等式成立：

■ （16）

由于Mly>|y|， Mlz>|z|，且根據(jù)混沌軌跡相平面的有界性，常數(shù)Mly和Mlz總是存在的。故不等式組（16）成立的充分條件為：

■（17）

聯(lián)立得到：■ 時，P正定，式（15）零解漸近穩(wěn)定，Lorenz系統(tǒng)（1）和（2）達到同步，定理得證。

4 仿真驗證

4.1 對于反饋控制規(guī)則Ⅰ的仿真

對于控制規(guī)則Ⅰ，選取σ=10，ρ=28，β=8/3，驅(qū)動系統(tǒng)初值取(0.2，0.4，-0.3)，響應系統(tǒng)初值取(-0.1，0.2，0.1)。利用四階龍格——庫塔算法在MATLAB上進行仿真，得到兩同步系統(tǒng)之間的誤差變化曲線如圖2。

4.2 對于反饋控制規(guī)則Ⅱ的仿真

對于控制規(guī)則Ⅱ，選取σ=10，ρ=28，β=8/3，驅(qū)動系統(tǒng)初值取(0.5，10，10)，響應系統(tǒng)初值取(10.5，20，38)。利用四階龍格——庫塔算法在MATLAB上進行仿真，得到兩同步系統(tǒng)之間的誤差變化曲線如圖3。

■

圖2圖3

5 結(jié)語

本文基于反饋控制思想，利用Lyapunov函數(shù)推導出Lorenz混沌系統(tǒng)的兩種控制規(guī)則，實現(xiàn)了兩個Lorenz混沌系統(tǒng)的同步，并使用Matlab軟件做數(shù)值仿真，驗證了規(guī)則的正確性。

參考文獻：

[1] 陶朝海，陸君安，呂金虎.統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的反饋同步[J].物理學報，2002，51(7):1497-1501.

[2] 陶朝海，陸君安，陳士華.Lorenz混沌系統(tǒng)的錯位自適應控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2004，26(1):81-82.

[3] 王燕舞，關治洪，王華.自適應控制實現(xiàn)混沌同步[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2004，26(2):219-221.

[4] 王燕舞，關治洪，王華.基于單變量耦合控制的混沌同步研究[J].信息與控制，2003，32(2):185-188.