摘要：運(yùn)用Mallat算法和Daubechies小波分解技術(shù)，把時間序列分解為比原始時間序列更單一的細(xì)節(jié)部分和概貌部分，然后把分解后的細(xì)節(jié)部分和概貌部分重構(gòu)回原尺度，對重構(gòu)后的各個時間序列用傳統(tǒng)時間序列模型進(jìn)行預(yù)測，由此建立高階AR模型，最后累加各個時間序列預(yù)測結(jié)果得到原始時間序列的預(yù)測結(jié)果。通過對某地區(qū)工業(yè)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)的分析和驗(yàn)證，表明AR-wavelets模型與傳統(tǒng)單一模型相比可大大提高精度。

關(guān)鍵詞：多分辨率分析；Mallat算法；Daubechies小波；ARMA(P，Q)模型；時間序列分析

0 引言

傳統(tǒng)的預(yù)測方法如自回歸模型(AR)，滑動平均模型(MA)，自回歸滑動平均模型(ARMA)是在時間序列平穩(wěn)的假設(shè)下，建立線性模型，然后采用模型外推的方法預(yù)測未來值。因此，這些方法只適用于平穩(wěn)時間序列的預(yù)測。但現(xiàn)實(shí)生活中的時間序列數(shù)據(jù)往往是高度非平穩(wěn)的，傳統(tǒng)的時間序列預(yù)測方法無法取得高精度的預(yù)測結(jié)果。

小波分解與重構(gòu)實(shí)質(zhì)上是通過不同的帶通濾波器將含有綜合信息的一組原始信號V(k)分解成了N＋I(xiàn)組特征不同的時間序列信號。其中一組近似信號反映了該時間序列內(nèi)在的變換趨勢，而N組細(xì)節(jié)信號反映的是隨機(jī)擾動帶來的影響，二者的規(guī)律是不同的，對特征不同的信號選擇不同的參數(shù)進(jìn)行預(yù)測，這樣分別預(yù)測的結(jié)果再合成，效果會比整體做預(yù)測的精度高。

1 預(yù)測原理

1.1 小波分解與重構(gòu)預(yù)測原理簡介

小波分解與重構(gòu)原理及預(yù)測過程可用圖1描述。

若V₀代表原始信號的集合，把第i組截止到采樣周期為止得到的原始時間序列信號記為V^o_i(K)，上標(biāo)表示分解尺度。這里把原始信號視為。尺度上的信號，顯然有V^o_i(k)∈V_o。對V^o_i(k)進(jìn)行分解，利用小波分解公式N尺度分解，得到一組基本時間序列信號V^N_i(k)和N組干擾信號ω^j_i(k)，(j＝1，2，…，N)。對分解得到的N＋1組時間序列信號分別單獨(dú)用Mallat算法重構(gòu)到原尺度上，得到N＋I(xiàn)組在原始尺度上的經(jīng)過分解重構(gòu)處理的時間序列序號V^N_i(k)和ω^j_i(k)，j＝1，2，…，N)。然后再分別對每一組時間序列信號用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測，得到N＋1個預(yù)測值V^N_i(k)和ω^j_i(k)，(j＝1，2，…，N)。最后依據(jù)式(1)就得到預(yù)測結(jié)果。

1.2 對分解后的時間序列信號進(jìn)行ARMA模型預(yù)測

小波分析工具可以使時間序列數(shù)據(jù)信號變得平滑，但這并不意味著分解后的概貌信號和細(xì)節(jié)信號變得平穩(wěn)，因此還需要對分解后的信號進(jìn)行分析。為此，首先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步的整理和必要的檢驗(yàn)，這些工作稱之為預(yù)處理。

(1)測量數(shù)據(jù)的均值、方差和概率直方圖分析

測量數(shù)據(jù)的均值、方差和概率直方圖分析可以直接調(diào)用MATLAB函數(shù)：mean.m、vaLm、histfit.m。

(2)提取趨勢項(xiàng)

在Matlab中提供了提取趨勢項(xiàng)的函數(shù)detrend.m和dtrend.m。使用它們可以方便地提取趨勢項(xiàng)。

(3)分解后時間序列平穩(wěn)化方法

一般來說，時間序列的不平穩(wěn)表現(xiàn)在以下幾個方面：均值不平穩(wěn)、方差不平穩(wěn)、或均值、方差都不平穩(wěn)?？梢圆扇∫韵麓胧┦箷r間序列平穩(wěn)化。

A．方差平穩(wěn)化

一般的，為了使方差平穩(wěn)化可以用指數(shù)變換。見(2)式。式中，s(λ)稱為殘差平方和，μ是相對應(yīng)的樣本均值。在指數(shù)變換中的λ可以作為模型參數(shù)由觀測序列去估計。使殘差平方和最小的λ相對應(yīng)的變換即所需要的變換。見表1。

B.均值平穩(wěn)化

非平穩(wěn)時間序列可以通過對原始序列取適當(dāng)階數(shù)差分而化為平穩(wěn)序列。一般的時間序列差分兩次就可以轉(zhuǎn)化成平穩(wěn)時間序列。考慮到原始時間序列差分后可能產(chǎn)生負(fù)數(shù)，方差平穩(wěn)化操作必須在均值平穩(wěn)化操作之前。

(4)模型類型和階次辨識

Matlab中提供了自相關(guān)函數(shù)autocoorr()和偏相關(guān)函數(shù)parcorr()。自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)用于時間序列的模型識別，其準(zhǔn)則是：如果時間序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，那么這個時間序列符合AR(P)模型；如果時間序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，而偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，那么這個時間序列符合MA(Q)模型；如果自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，那么這個時間序列符合ARMA(P，Q)模型。關(guān)于階次，本文中是利用樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)來推斷的。

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 基本資料

分析序列采用某地區(qū)1998-2007年生產(chǎn)總產(chǎn)值(單位：萬元)的月度資料，共有120個數(shù)據(jù)，圖2是這120個數(shù)據(jù)的折線圖。我們對1998-2006年數(shù)據(jù)建模，2007年的數(shù)據(jù)留做檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

從圖2可以看出時間序列具有明顯的增長趨勢，并且含有周期為12個月的季節(jié)波動，即序列是非平穩(wěn)的。

2.2 原始時間序列的分解與重構(gòu)

本文對1998-2006年數(shù)據(jù)利用Daubechies小波系N＝3，即db3作為尺度函數(shù)進(jìn)行多尺度分析。為了便于比較，將分解得到的各個尺度上的概貌信號、細(xì)節(jié)信號分別重構(gòu)回原尺度。圖3是分解后各尺度上的近似信號的重構(gòu)結(jié)果。

2.2.1 概貌信號的特征分析

從前期工作的成果中已經(jīng)知道原始信號具有年度周期特征。即具有12個月的周期特征。概貌信號，去除了干擾信號，繼承了原始信號的主要特征和趨勢，那么理論上概貌信號應(yīng)該和原始信號有同樣的周期特征。

從圖3中看出重構(gòu)后的概貌信號是不平穩(wěn)的。根據(jù)前面介紹，對序列進(jìn)行方差變換和零均值變換，并進(jìn)行T_a3＝II或T_a3＝12的季節(jié)差分。然后再看平穩(wěn)化的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)。如圖4、圖5所示。

在進(jìn)行季節(jié)差分時，根據(jù)T_a3＝II時和T_a3＝12時的自相關(guān)函數(shù)圖像和偏相關(guān)函數(shù)圖像判斷，T_a3＝12時能很好地反映時間序列的信息。圖4和圖5就是T_a3＝12時的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)圖像。由此可以確定平穩(wěn)化后的概貌信號符合ARMA模型。有限階的ARMA(P，Q)序列可以轉(zhuǎn)化為無限階的AR(P)序列。因此可以用高階AR(P)模型代替ARMA(P，Q)。

2.2.2 細(xì)節(jié)信號的特征分析

細(xì)節(jié)信號可以被看作干擾信號，但是低頻干擾信號也有可能會受到與原始信號同樣的周期性因素影響。對于第三層細(xì)節(jié)分量d3，是所有細(xì)節(jié)分量中頻率最低的，也是各細(xì)節(jié)分量中噪聲成分最少的，它最可能和概貌信號有同樣的時序特征。為了判斷細(xì)節(jié)信號的時序特征，本文首先計算將細(xì)節(jié)分量在原尺度上重構(gòu)后的原序列的自相關(guān)系數(shù)，零均值化后的細(xì)節(jié)信號d3的自相關(guān)函數(shù)如圖6所示。

由圖6可以看出，未考慮周期性而使用原分量重構(gòu)序列計算的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)明顯的周期性，周期T_a3和T_a3相等，即T_a3＝12。我們把該序列按照時段化分為12個子時間序列，考察不同年同月的子時間序列的自相關(guān)系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)緩慢下降趨勢。這個特征表明該子序列屬于不穩(wěn)定序列，且屬高階AR，階數(shù)p≥2模型，可以使用高階AR模型進(jìn)行預(yù)測。

同理，可對第二層細(xì)節(jié)信號d2和第一層細(xì)節(jié)信號d1進(jìn)行如上分析，建立高階AR模型。

2.2.3 子時間序列AR模型曲建立

各分量均使用高階AR模型逼近，因此首先要確定模型階數(shù)，不同的分量子序列分別用不同階數(shù)的AR模型。高階AR模型的關(guān)鍵問題是參數(shù)的確定(未知參數(shù)個數(shù)的控制就顯得很重要)。本文利用遞推最小二乘方法確定模型的參數(shù)，且使用常用的AIC(Akaike Information Criterion)方法確定模型的階數(shù)。AIC的準(zhǔn)則的一般形式見(4)式：(4)式中，，N為樣本大小，L為預(yù)先給定的模型最高階數(shù)。當(dāng)準(zhǔn)則函數(shù)取最小值時的模型為適用模型。

2.3 序列預(yù)測

適用AIC確定概貌信號和細(xì)節(jié)信號的最佳回歸階數(shù)的時間序列，可以利用已有的ARMA方法或All、MA方法進(jìn)行建模和預(yù)測，最后再將各序列的預(yù)測結(jié)果合成為對原始信號的預(yù)測結(jié)果。這一建模預(yù)測過程是先重構(gòu)后預(yù)測的方法。

與確定分解尺度相似，將V^N_k和W^j_k(j＝1，2，…，N)N＋1個序列單獨(dú)重構(gòu)到原尺度上，得到N＋1個在原始尺度上的時間序列V^N_k和W^j_k(j＝1，2，…，N)，這N＋1個時間序列具有相同的樣本數(shù)。它們的代數(shù)和等于原信號，見(5)式。即可以在原尺度上對N＋1個重構(gòu)后的時間序列分別進(jìn)行建模，得到模型(6)、(7)：

3 結(jié)束語

利用上述(6)，(7)模型進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果累加，就得到了原信號的預(yù)測結(jié)果。表2即預(yù)測的結(jié)果。我們可以看到誤差均在5％內(nèi)，可以說預(yù)測的效果比較好。