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        解讀特殊背景中三角函數(shù)的求法

        2015-09-10 18:55:50張家譜
        初中生世界·九年級(jí) 2015年4期
        關(guān)鍵詞:構(gòu)造方法小試圓周角

        張家譜

        三角函數(shù)揭示的是直角三角形中邊與角之間的關(guān)系,換句話說(shuō),研究三角函數(shù)必須把邊、角放到直角三角形中,下面略舉幾例解讀如何在特殊背景中構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值.

        一、 以網(wǎng)格為背景

        1. 正方形網(wǎng)格中,∠AOB如圖1放置,則cos∠AOB的值為( ).

        A. B.

        C. D.

        【分析】圖形中有直角三角形嗎?能將∠AOB放到直角三角形中嗎?利用網(wǎng)格容易構(gòu)造出Rt△ACO,如圖2設(shè)網(wǎng)格的長(zhǎng)度為單位1,則可求出OC=AC=,即cos∠AOB=,故選D.

        聰明的你還有其他的構(gòu)造方法嗎?

        二、 以平面直角坐標(biāo)系為背景

        2. (2007·甘肅)如圖3,P是∠α的邊OA上一點(diǎn),且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),則sinα=( ).

        A. B.

        C. D.

        【分析】過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B,∠α在Rt△OBP中,根據(jù)坐標(biāo)的含義可知,PB=4,OB=3,求出斜邊OP=5,即sinα=,故選B.

        三、 以圓為背景

        3. (2007·山東煙臺(tái))如圖4,已知AB是半圓O的直徑,弦AD,BC相交于點(diǎn)P,若∠DPB=α,那么等于( ).

        A. sinα B. cosα C. tanα D.

        【分析】題中所求的是兩條線段的比值,選項(xiàng)中給出的卻都與三角函數(shù)有關(guān),自然想到將∠α放到直角三角形中,結(jié)合題中的背景——圓,連接BD后,構(gòu)造∠ADB=90°,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,得=,在Rt△PDB中,cosα=,故選B.

        四、 綜合型

        4. 如圖5,∠1的正切值等于______.

        【分析】圖中的背景比較多,是前三種類型的綜合. 仔細(xì)觀察圖形發(fā)現(xiàn):∠1是圓周角,根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”可得∠1=∠A,而∠A可以放到Rt△ACB中,由網(wǎng)格可知BC=1,AC=3,故tan∠1=.

        【總結(jié)】無(wú)論以何種背景呈現(xiàn),都要充分挖掘特殊圖形中隱藏的信息,將角、邊放在直角三角形中來(lái)處理.

        小試身手

        1. (2007·江蘇揚(yáng)州)正方形網(wǎng)格中,∠AOB如圖6放置,則cos∠AOB的值為( ).

        A. B.

        C. D. 2

        2. 如圖7,點(diǎn)E(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BE是⊙A的一條弦,則tan∠OBE=______.

        (作者單位:江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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