數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的升華，是知識轉化為能力的橋梁，它蘊藏于數(shù)學教材的每一個內(nèi)容，也蘊含于數(shù)學課堂教學的每一個環(huán)節(jié).本文中，筆者結合“求圓的切線方程”這樣一個問題解決的教學案例，挖掘其中的數(shù)學思想方法.

【例題】求過一點P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線方程.

1. 數(shù)形結合

“過一點P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線”是一種抽象的語言，若賦予幾何意義，就變得非常直觀形象，也使已知條件中的點與圓的位置關系、所求的直線的特征明朗化和簡單化.“……畫出圖形看看.”這就是由數(shù)量關系到圖形的轉化，以此來尋找解題的突破口.另一方面，對圖形的性質，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當表達問題的數(shù)量關系式，用代數(shù)的方法使問題得到解決.“如何求k?能否找出關于k的等量關系?結合圖形試一試.”這是由圖形到數(shù)量關系的轉化，“直線與圓相切”的性質是圓心到直線的距離等于圓的半徑，于是列出相應的代數(shù)式-k+=2;又如“直線與圓相切只有一個公共點”轉化為“由y-=k(x-2)與(x-1)2+y2=4組成的方程組有唯一解，則Δ=0”.數(shù)形結合的實質是抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形相結合，是抽象思維與形象思維相結合，發(fā)揮數(shù)與形的優(yōu)勢的互補與整合，是數(shù)學上常用的方法.

2. 聯(lián)想、類比

“以前見過求直線方程的題目嗎?是怎樣的題目?”這是激起學生的聯(lián)想.在嘗試解決一個新問題時，教師引導學生通過觀察，回憶已有的相關知識和解題經(jīng)驗，尋找新問題和熟知問題之間的關聯(lián).要回憶起某些和目前的題目有聯(lián)系而且以前已經(jīng)得到解決的題目，通常都不是很困難.相反，有時我們找到的題目很多，需要在其中選出一道有用的題目，這時，類比的思想也被調動起來.“把現(xiàn)在這個題跟以前的題目進行對比，已知條件相同嗎?”在觀察、比較中，選出一個類似的、較易的問題，然后利用它的方法或利用它的結果來解決當前的問題.又如“這個題目的結論或者解法能否推廣應用到其它題目?”舉一反三，觸類旁通，新問題得以解決，學到了新的知識，新知識再次被應用，得到了鞏固和發(fā)展.聯(lián)想、類比的方法有助于產(chǎn)生一個解決問題的“好念頭”，是探索問題解決過程中的重要方法.

3. 化歸轉化

“想到這個題可以轉化為怎樣的題目嗎?”如果我們對當前的數(shù)學題不能馬上有思路，就會考慮到化歸轉化策略.

本案例中，待解決的問題是“求過一點且與圓相切的直線方程”，通過數(shù)形結合、觀察、聯(lián)想、類比、嘗試，最終化歸為一個已解決的問題“求已知一點和一法向量的直線方程”. 為了實施有效的化歸，有時轉化問題的條件，有時轉化問題的結論，有時轉化問題的外部形式，如，“求過一點P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線方程”通過待定系數(shù)法可轉化為“求直線方程y-=k(x-2)的系數(shù)k”，“如何求k?”再通過數(shù)形結合，又轉化為“求解另一個含k的方程”.總之，在解決問題的過程中，應當以變化的觀點看待問題，遵循化歸的原則，化陌生為熟悉，化未知為已知，化繁為簡，最終能得到一個解決問題的方案.

4. 順推與逆推相結合

在解決數(shù)學問題時，人們的思考習慣大多是正面的、順向的.對例題的解答，一開始就遵循順向思維的，即由已知出發(fā)，分析已知條件的特征，把當前的問題轉化為已得到解決的題型來解答.而在探討例題的其它解法時，是結合已知和未知量，設出所求的直線方程y-=k(x-2)，再挖掘未知系數(shù)k滿足的等量關系，求出k，從而解得所求的直線方程，這里既有順向也有逆向的思維.特別地，在順向解題遇到困難時，更應該考慮到逆向推導的策略，不妨從未知量出發(fā)逆向思考，或者考慮順推與逆推相結合.

5. 反思與調節(jié)

“回顧”是解題過程中一個很好的習慣.“大家能檢驗這個結果嗎?有其它方法求這個直線方程嗎?”檢驗結果、探索解題方法的多維性是為了鞏固知識并更好地利用它.“哪種解題方法最好?能否直接得到問題的答案?”通過對整個解題過程的反思，使解題者對解題過程有一個重新的認識，對解題方法有一個恰當?shù)脑u價，提高解題的有效性.“這個題目的解法能否推廣應用到其它問題?”通過練習，讓解題方法得以再實踐，在實踐中再反思，并在原有的解題方法的基礎上作出分類、改進和調節(jié)，以實現(xiàn)解題方法的優(yōu)化.反思與調節(jié)是一種更高層次的思維，是優(yōu)化解題方法的重要途徑，也是讓學生學會創(chuàng)造性地解題的一種思維訓練.

責任編輯 羅 峰