摘 要：通過對線性時(shí)不變系統(tǒng)的各種分析方法進(jìn)行歸納討論，比較出一種完備的分析方法，便于理解各種分析方法的優(yōu)缺點(diǎn)，以利于學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)。采用論述歸納總結(jié)的方法對線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行討論，通過實(shí)例得出線性時(shí)不變系統(tǒng)各種分析方法的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍，為學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)提供一種導(dǎo)引作用。

關(guān)鍵詞：線性時(shí)不變;分析方法;應(yīng)用范圍;適用條件

中圖分類號：TP18文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2009)03-127-03

Discussion on Linear Time Invariant System Analysis

CUI Benliang

(Nanyang Normal University,Nanyang,473061,China)

Abstract：This paper comparatively analyses some methods for the Linear Time Invariant(LTI) systems through discussing and induction,and receives a complete analysis method for the LTI systems,which beneficial to learners.This paper discusses application ranges and conditions of the analysis method for LTI systems through examples,and helps readers to learn the systems and signals.

Keywords：linear time invariant;analysis method;application ranges;application ranges conditions

在系統(tǒng)分析中，線性時(shí)變(Linear Time Invariant,LTI)系統(tǒng)分析方法有重要意義，在通信系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)中都會(huì)大量碰到。該文著重討論確定性輸入信號作用下的集總參數(shù)線性時(shí)變系統(tǒng)的分析方法。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述可分為輸入/輸出描述法和狀態(tài)變量描述法，系統(tǒng)模型的求解方法分為時(shí)域和變換域方法。這里著重從時(shí)域和變換域方法討論系統(tǒng)的分析方法并分析其優(yōu)缺點(diǎn)。

1 基本特征舉例

為了便于對LTI系統(tǒng)的討論，首先列舉它的幾個(gè)基本特征：

(1) 疊加性與均勻性，見圖1。

圖1 疊加性與均勻性

(2) 時(shí)不變性，見圖2。

圖2 時(shí)不變性

(3) 微分特性，見圖3。

圖3 微分特性

(4) 因果性，系統(tǒng)的t0時(shí)刻的輸出只與t=t0和t

圖4 因果性

下面先介紹幾個(gè)概念:

① 零狀態(tài)響應(yīng)(zero-state response);

② 零輸入響應(yīng)(zero-input response);

③ 完全響應(yīng)(total response)。

解釋： H［?］表示系統(tǒng)作用，r(t)即為total response。則:

當(dāng){x(0-)}=0時(shí)，即為zero-state response，rzs(t);

當(dāng)e(t)=0時(shí)，即為 zero-input response rzi(t);

r(t)=rzs(t)+rzi(t)。

④ 沖激信號(impulse signal),見圖5。

δ(t)=lim δΔ(t),當(dāng)Δt→0時(shí)。

圖5 沖激信號

⑤ 階躍信號(step signal),見圖6。

圖6 階躍信號

⑥ 沖激響應(yīng):系統(tǒng)在單位沖激信號δ(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng),簡記:h(t),見圖7。

圖7 沖激響應(yīng)

⑦ 階躍響應(yīng):系統(tǒng)在單位沖激信號u(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng),簡記：g(t),見圖8。

圖8 階躍響應(yīng)

有關(guān)這幾個(gè)概念的相關(guān)性質(zhì),見圖9，圖10及抽樣性。

圖9 階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系

圖10 階躍響應(yīng)的平移

抽樣性：x(t)δ(t)=x(0)

2 方法討論

2.1 時(shí)域分析方法

時(shí)域分析方法是直接分析時(shí)間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特征?？紤]下面一個(gè)簡單電路：

設(shè)有如圖11所示的RC電路，電容兩端起始電壓為VC(0-),激勵(lì)源為e(t),求t>0時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)VC(t)為多少？

圖11 電路圖

(1) 常系數(shù)線性微分方程(differential equation)

Model:輸入/輸出

很顯然，描述系統(tǒng)的微分方程為：

dVc(t)/dt+Vc(t)/rc =e(t)/rc

Vc(t)=e-t/rcVc(0-)+∫te-(t-τ)/rce(τ)dτ

第一項(xiàng)是rzi(t)，第二項(xiàng)為rzs(t)。

優(yōu)點(diǎn)：物理概念清晰，｛x(0-)｝=0時(shí)，系統(tǒng)是LTI的。否則不是LTI，也不是因果的。

缺點(diǎn)：對于大規(guī)模電路列寫微分方程麻煩,解微分方程更不容易;需要求解初始值。

(2) 為了更好地描述系統(tǒng)，用卷積(convolution)來分析、計(jì)算LTI系統(tǒng)。

E(t)=∫e(τ)δ(t-τ)dτ

R(t)=H［e(t)］=H［∫e(τ)δ(t-τ)dτ］=

∫e(τ)H［δ(t-τ)］dτ=

∫e(τ)h(t-τ)dτ=e(t)*h(t)

所以只要求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)就可以求出rzs(t)。

考慮一系統(tǒng)，由三個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，各系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h1(t),h2(t),h3(t),如圖12所示。

圖12 系統(tǒng)框圖

Rzs(t)=e(t)*h2(t)*h1(t)*h3(t)+e(t)*h1(t)

優(yōu)點(diǎn)：描述系統(tǒng)簡單，方便，直觀。

缺點(diǎn)：不易計(jì)算卷積，尤其是一些復(fù)雜函數(shù)的卷積。

(3) 以用杜阿美爾(duhamel)積分求階躍響應(yīng)g(t)。

G(t)= e(0+)g(t)+∫tde(τ)g(t-τ)dτ

G(t)= e(t)g(0+)+∫tdg(t-τ)/dte(τ)dτ

2.2 變換域分析方法

基于時(shí)域的不可操作性和計(jì)算量大的特點(diǎn)，人們提出了變換域的方法。把時(shí)域函數(shù)變換為頻域函數(shù)或S域函數(shù)，大大簡化了系統(tǒng)分析，為系統(tǒng)應(yīng)用提供了廣闊的前景，從而提出了幾個(gè)重要而且基礎(chǔ)性的定理——抽樣定理和調(diào)制解調(diào)原理，為通信理論奠定了基礎(chǔ)。

(1) 頻域分析(Frequency Domain Analysis)

傅里葉分析(Fourier Analysis)是把時(shí)域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)，對于周期信號其三角函數(shù)形式為：

F(t)=a0+Σ［ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)］

其中:A0=∫Tf(t)dt/T，An=2∫Tf(t)cos(nωt)dt/T，Bn=2∫Tf(t)sin(nωt)dt/T。

傅里葉級數(shù)(Fourier Progression)的指數(shù)形式：

f(t)=Σf(nω0)e-jnωt

fn=f(nω)=∫Tf(t)e-jnωtdt

傅里葉變換：

非周期信號的傅里葉變換：

f(ω)=∫f(t)e-jωtdt

周期信號的傅里葉變換：

f(ω)=2πΣfnδ(ω-nω0)

fn=∫f(t)e-jnω0tdt

把信號轉(zhuǎn)換成頻率后，可以對LTI系統(tǒng)的頻率進(jìn)行分析。

頻域卷積定理：

若給定的時(shí)間函數(shù)是f1(t),f2(t),則可以把它轉(zhuǎn)換(利用傅里葉變換)為頻域函數(shù)F1(ω),F2(ω),

ζ［ f1(t)*f2(t)］=F1(ω)F2(ω)

其中：ζ代表傅里葉變換。

ζ［ f1(t) f2(t)］=F1(ω)*F2(ω)/2π

利用傅里葉分析可以分析圖13的頻率特性，它很顯然是一個(gè)低通濾波網(wǎng)絡(luò)。

圖13 RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)

由傅里葉分析，提出了抽樣定理(見圖14)，他奠定了通信理論的基礎(chǔ)。下面做一簡單的論述。

抽樣定理：一個(gè)頻譜受限的信號f(t),如果頻譜只占據(jù)-ωm~+ωm的范圍，則f(t)可以等間隔的抽樣值惟一的表示。最低抽樣頻率為2fm,fm=ωm/(2π)(時(shí)域抽樣)。

圖14 抽樣定理

抽樣在現(xiàn)代信息技術(shù)中起了很關(guān)鍵的作用，它的一個(gè)典型的應(yīng)用就是MP3工作原理,如圖15所示。

圖15 MP3原理圖

(2) S域分析

拉普拉斯變換(Laplace Transform)：

F(s)=∫tf(t)e-stdt=ζ［f(t)］

其中：ζ表示拉普拉斯變換。

時(shí)域與S域的關(guān)系,如圖16所示。

圖16 時(shí)域與S域關(guān)系圖

(3) 卷積

若 ζ［f1(t)］=F1(s)ζ［f2(t)］= F2(s),則:

ζ［f1(t)* f2(t)］= F1(s) F2(s)

下面利用圖16來討論用S域分析的實(shí)例：

① 時(shí)域電路元件在S域的等價(jià)形式：

R(s)=R，L(s)=Sl，C(s)=1/sC

② r(t)=h(t)*e(t),R(s)=H(s)E(s),H(s)=R(s)/E(s)

以下是圖16的S域解答：

H(s)= VC(s)/ E(s)=(1/Cs)/ (R+1/Cs) =1/(1+RCs) =(1/RC)/(s+1/RC)

顯然，s=-1/RC為電路或系統(tǒng)的極點(diǎn)。

優(yōu)點(diǎn):求解的步驟得到簡化;拉氏變換把微分或積分運(yùn)算化為乘法或除法運(yùn)算，即微分方程化為代數(shù)方程;

可以很好地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，零極點(diǎn)。

3 結(jié) 語

以上討論了利用5種方法分析LTI系統(tǒng)。如果要從系統(tǒng)的角度去分析系統(tǒng)，不追求內(nèi)部的細(xì)節(jié)，最好使用卷積分析方法；如果要分析系統(tǒng)的頻率特性，可以使用傅里葉分析；如果要分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性，可采用S域分析。

所以對于大多數(shù)連續(xù)的LTI系統(tǒng)都可以采用以上方法進(jìn)行分析，但是他也有局限性：

對于時(shí)變系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)分析，它無能為力;

只適合分析一維變量，對于多維變量，它無能為力；可采用狀態(tài)變量分析方法;

就精確度來說，這種分析方法不是很高。

盡管連續(xù)LTI系統(tǒng)有很多缺點(diǎn)，但是通過對LTI系統(tǒng)的分析可以培養(yǎng)系統(tǒng)建模和求解能力，為以后分析其他系統(tǒng)作參考。

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作者簡介 崔本亮 男，1962年出生，副教授。主要研究方向?yàn)閼?yīng)用電工技術(shù)、應(yīng)用電子技術(shù)和通信技術(shù)。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。