張海波　葉曉慧

摘 要：通過分析小波變換處理信號噪聲的方法及其在微弱信號檢測方面的不夠完善之處，提出適合于極低信噪比條件下小波消噪法的信號檢測原理和方法，即通過構(gòu)造具有可調(diào)功能的閾值函數(shù)以及對小波分解系數(shù)處理方式的優(yōu)化設(shè)計(jì)等方法，在強(qiáng)背景噪聲中提取出微弱的信號特征信息，從而實(shí)現(xiàn)微弱信號的檢測。最后通過Matlab仿真驗(yàn)證該方法的實(shí)驗(yàn)效果，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明此方法能較大幅度地改善信號比。這里閾值構(gòu)造過程中充分考慮到了信噪比因素的影響，并對小波分解系數(shù)的處理也進(jìn)行了合理優(yōu)化，從而使得去噪效果有較大的改善。

關(guān)鍵詞：小波變換；信噪比；微弱信號檢測；閾值函數(shù)

中圖分類號：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1004－373X(2009)04－124－03

Method of Improving SNR of Weak Signal with Wavelet Transform

ZHANG Haibo,YE Xiaohui

(Navy Engineering University,Wuhan,430044,China)

Abstract：By analyzing the faultiness of the wavelet method used in processing signal denoise and detection of weak signal.This thesis offers a suitable principle and method of detection weak signal with wavelet transform.By designing an adjustive threshold function and optimizing the mode of processing the wavelet coefficient,the characters of weak signal are obtained to realize weak signal′s detection.In the end,the results are verified by Matlab program.It indicats that the method is useful in detecting the weak signal from strong noise background.It innovatively considers the factor of SNR in the design of threshold,and makes improvement on wavelet coefficient processing,thus the denoise effect is improved greatly.

Keywords：wavelet tranform;SNR;weak signal detection;threshold function

0 引 言

任何一個系統(tǒng)都不可能做到完全沒有噪聲，甚至有相當(dāng)多的時候所需要的有用信號被強(qiáng)背景噪聲淹沒。因此如何從信噪比為負(fù)十幾dB甚至幾十個dB的環(huán)境中有效地提取出有用信號顯得越來越重要。對于這種微弱信號的檢測問題的研究，目前已經(jīng)取得一些進(jìn)展，比如隨機(jī)共振檢測理論、分段采樣信號的相位關(guān)聯(lián)檢測技術(shù)以及混沌理論微弱信號檢測原理等。雖然各有所長，但在實(shí)際運(yùn)用過程中還存在這樣那樣的缺陷，不能滿足需要。

這里介紹了最近發(fā)展較快的小波分析理論在信號去噪方面的應(yīng)用，提出了適合于極低信噪比條件下的小波變換去噪法，通過構(gòu)造具有自適應(yīng)性的閾值函數(shù)以及閾值處理方式的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以提取微弱的有用信號特征信息，實(shí)現(xiàn)信號恢復(fù)。

1 小波變換檢測微弱信號原理

小波分析是一種時頻域分析，具有多分辨率特性。因此在時頻域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小不變但其形狀可改變時頻局部化分析方法。在高頻部分使用逐漸尖銳的時間分辨率和較低的頻率分辨率，以便移近觀察信號的快變部分;在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，以便移遠(yuǎn)觀察信號的慢變部分(整體變化趨勢)，小波這種信號分析表示特征對分析非平穩(wěn)信號是非常有效的，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并且展示其成分。這種時頻面上的分析給信號處理帶來前所未有的更為深入的發(fā)展［1］。

運(yùn)用小波分析進(jìn)行一維信號消噪處理是小波分析的重要應(yīng)用之一，下面將其消噪的基本原理做簡要的說明。

一個含噪聲的一維信號的模型可以表示成如下的形式：

s(i)=f(i)+σe(i)， i=0,1,…,n-1

其中：f(i)為真實(shí)信號；e(i)為噪聲；s(i)為含噪聲的信號。г謔導(dǎo)使こ討校有用信號通常表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則通常表現(xiàn)為高頻的信號。所以消噪過程可按如下方法進(jìn)行處理：首先對信號進(jìn)行小波分解，則噪聲部分通常包含在各層的高頻分量中，因而可以以門限閾值等形式對小波系數(shù)進(jìn)行處理，然后對信號進(jìn)行重構(gòu)即可達(dá)到消噪的目的［2］。

根據(jù)上文的分析可以知道，一維信號的消噪過程可分為2個步驟進(jìn)行：

(1) 一維信號的小波分解。選擇一個小波并確定一個小波分解的層次N，然后對信號進(jìn)行N層小波分解；

(2) 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。從第1層到第N層的每一層高頻系數(shù)選擇1個閾值進(jìn)行軟閾值量化處理；

(3) 一維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的第1層到第N層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維信號的小波重構(gòu)。

在這三個步驟中，最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化，從某種程度上說，它關(guān)系到信號的質(zhì)量。這里針對傳統(tǒng)信號的閾值函數(shù)選取以及分解系數(shù)處理方式的不足之處，結(jié)合工程實(shí)際進(jìn)行了改善［3，4］。

2 小波閾值函數(shù)的構(gòu)建

小波閾值去噪的理論依據(jù)為：屬于能量有限空間的信號在小波域內(nèi)其能量主要集中在有限的幾個系數(shù)中，而噪聲的能量卻分布在整個小波域中，因此經(jīng)過小波分解后信號的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，于是可以找到一個合適的數(shù)λ作為閾值(門限)，當(dāng)分解系數(shù)小于該閾值時,認(rèn)為這時的分解系數(shù)主要是由噪聲引起的,并置為零,予以舍棄；當(dāng)分解系數(shù)大于該閾值時,認(rèn)為這時的分解系數(shù)主要是由信號引起的,則把這一部分分解系數(shù)的值直接保留下來(硬閾值方法)或者按某一固定量向零收縮(軟閾值方法),然后由新的小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)得到去噪后的信號［5,6］。

小波閾值的選取是一個非常重要的步驟，其直接影響噪聲消除的效果。很明顯，如果閾值過高，則會將系數(shù)分量中的信號成分當(dāng)作噪聲分量去除，造成信號失真；反之，若閾值選取過低，又不能充分去除噪聲，不能達(dá)到很好的效果［7］。此外，不同的閾值構(gòu)建方法其適用場合也不盡相同，必須圍繞信噪比和信號特點(diǎn)綜合考慮構(gòu)建方式。

針對微弱信號的特點(diǎn)，即SNR＜-1，此時噪聲的能量較大，由于信號的信噪比:

SNR=10log(σs/σn)

式中：Е襰為信號強(qiáng)度；σn為噪聲強(qiáng)度。由此可知，當(dāng)信號強(qiáng)度減小或者噪聲強(qiáng)度增大時，信噪比均會減小。因此，當(dāng)噪聲占主要地位時，若是只考慮噪聲強(qiáng)度是不全面的，例如當(dāng)信號強(qiáng)度不變，增大噪聲，信噪比減?。蝗羰侵豢紤]噪聲強(qiáng)度則會使得閾值成線性上升，使得丟失的信息過多，對于信號參數(shù)的估計(jì)和信號的重構(gòu)都是不利的。另一方面，如果信號是周期性連續(xù)信號，最好選擇同樣具有連續(xù)性的閾值函數(shù)。因此，考慮選取閾值為:

λj=exp2log N1/2/ln(j+1)

其中：j為小波變換尺度；N為采樣點(diǎn)個數(shù)；μ為調(diào)節(jié)因子；用以調(diào)節(jié)隨σs/σn變化，expП浠的快慢。

3 閾值處理方式的優(yōu)化

傳統(tǒng)的硬、軟閾值方法雖然在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用,也取得了較好的效果,但這些方法本身還存在一些缺陷。在硬閾值處理過程中,得到的估計(jì)小波系數(shù)值連續(xù)性差,即由于分解系數(shù)在±λ處是不連續(xù)的,因此重構(gòu)所得的信號可能會產(chǎn)生一些振蕩；而軟閾值方法中估計(jì)小波系數(shù)雖然整體連續(xù)性好,但是由于當(dāng)小波系數(shù)較大時，分解系數(shù)之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構(gòu)信號與真實(shí)信號的逼近程度，給重構(gòu)信號帶來不可避免的誤差。

如果對噪聲用分解的系數(shù)用C(j,k)表示，其中j代表小波尺度，k代表時間，則可以得出如下結(jié)論：

(1) 如果所分解的信號是一個平穩(wěn)、零均值的白噪聲，則其小波分解系數(shù)是不相關(guān)的；

(2) 如果所分解的信號是一個高斯噪聲，則其小波分解系數(shù)是獨(dú)立的，并且也是高斯分布的；

(3) 如果所分析的信號是一個有色、平穩(wěn)、零均值的高斯噪聲序列，則其小波分解系數(shù)也是高斯序列。對每一個分解尺度j，其系數(shù)是一個有色、平穩(wěn)的序列。

用ω(j,k)表示對含噪信號進(jìn)行小波分解后得到的小波系數(shù)，由于小波變換是一種線形變換，因此它由2部分組成：信號對應(yīng)的小波系數(shù)和噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)。由于軟閾值方法估計(jì)出來的小波系數(shù)(j,k)的絕對值總比ω(j,k)要小λ而影響了重構(gòu)精度，應(yīng)設(shè)法減小此偏差。只要使ω(j,k)與由信號對應(yīng)的小波系數(shù)之間的差值盡量小，則(j,k)Ц接近于信號對應(yīng)的小波系數(shù)，重構(gòu)精度就越高。構(gòu)造函數(shù)：

f(x)=x-α1-e-αx1+e-αxλ

可知，當(dāng)α=0時上式等效為Donoho硬閾值；當(dāng)α=1時，上式等效為Donoho軟閾值；當(dāng)α在0~1之間變化時，x→±∞，有f(x)-x→αλ。也就是說，隨著ω(j,k)模值的增大，(j,k)與ω(j,k)偏差的絕對值逐漸減小為αλ，Т蟠蠹跣×巳磴兄搗椒ㄖ脅生的恒定偏差，提高了重構(gòu)精度，改善了去噪效果。可見，相對于硬、軟閾值函數(shù),新閾值函數(shù)是一個更優(yōu)、更靈活的選擇。只要在0和1之間適當(dāng)?shù)恼{(diào)整a的大小,就可以獲得更好的去噪效果。圖1是用Matlab畫出的Donoho軟、硬閾值圖及新閾值函數(shù)圖(α=0.1)。

圖1 硬閾值函數(shù)圖

4 仿真試驗(yàn)

為了說明所述小波消噪法的有效性和優(yōu)越性,分別采用傳統(tǒng)的閾值函數(shù)和軟硬閾值處理的方法以及新閾值函數(shù)和新閾值處理方式的方法進(jìn)行去噪試驗(yàn)，試驗(yàn)對象選擇信噪比為低于-10 dB的混有平穩(wěn)加性高斯白噪聲信號，信號波形如圖2所示。信噪比為-13.777 6 dB。

圖3是用兩種小波方法處理含噪信號的消噪結(jié)果波形圖，表1是兩種消噪方法得到的信噪比。從圖3和表1中可以得到如下結(jié)論：

(1) 傳統(tǒng)小波消噪法處理后的信號雖然去除了部分噪聲信號，信噪比也有所提高，但圖形離原始信號的本來面目相差很遠(yuǎn)，從波形上還是無法確定有用信號的特征，可以說這樣的處理結(jié)果是無效的。產(chǎn)生這種結(jié)果的原因就是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的硬閾值小波消噪在處理噪聲信號時對閾值的選擇依賴性很強(qiáng)，在消噪過程中保留了強(qiáng)背景信號的某些特征，或者消弱了真實(shí)信號的完整性。閾值選擇的適合與否直接影響微弱信號的檢測效果，因此對于淹沒在強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號而言，這種方法顯得束手無策。

(2) 這里結(jié)合信號特征及低信噪比這一實(shí)際情況，采用了具有可調(diào)節(jié)的閾值函數(shù)，并對分解系數(shù)的處理方式進(jìn)行了優(yōu)化，從而大大改善了去噪效果。從圖3中可以看出雖然消噪后的信號與原始無噪信號還有較大差別，但很明顯可以知道信號的周期、幅值等特征，信噪比也達(dá)到15.530 3 dB，提高了約30 dB，基本上完成了微弱信號的檢測任務(wù)。

(3) 表1中的信噪比是對信號消噪的量化表征。很明顯，這里所述的新方法具有最好的去噪效果。

圖2 待分析的信號

圖3 各種小波去噪效果比較

表1 信噪比

方法一般去噪方法新去噪方法

信噪比2.516 5 dB15.530 3 dB

5 結(jié) 語

這里提出了一種具有可調(diào)功能的閾值函數(shù),充分考慮到了信噪比因素的影響，此外對分解系數(shù)的處理也進(jìn)行了合理優(yōu)化。與傳統(tǒng)的硬、軟閾值方法相比,去噪效果無論在視覺上還是在去噪后信號的信噪比都有明顯改善,而且新方法很靈活,具有很好的穩(wěn)定。

參 考 文 獻(xiàn)

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作者簡介

張海波 男，1979年出生，湖北天門人，助理工程師，工學(xué)碩士研究生。主要研究方向?yàn)槿跣盘枡z測。

葉曉慧 男，1962年出生，兵器工程與應(yīng)用博士，教授，博士生導(dǎo)師。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。