張　蘭

一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過(guò)一番艱辛,冥思苦想解出答案后,必須認(rèn)真進(jìn)行如下探索:命題的意圖是什么?考核的概念、知識(shí)和能力是什么?驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理,命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備?求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù),嚴(yán)密完善?本題有無(wú)其他解法——一題多解?多題一解?通過(guò)解題后改進(jìn)解題過(guò)程、探討知識(shí)聯(lián)系、知識(shí)整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng),讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)飛翔。這是解題過(guò)程中更高一級(jí)的思維活動(dòng)。為了讓學(xué)生思維繼續(xù)飛翔,提高解題能力,應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思。

1 積極反思,查缺補(bǔ)漏,確保解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題,有時(shí)由于審題不準(zhǔn)確,概念不清,忽視條件,套用相近知識(shí),考慮不周或計(jì)算出錯(cuò),難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤,即學(xué)生解數(shù)學(xué)題,不能保證一次性正確和完善。所以解題后,必須對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià),對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證?？墒且恍W(xué)生把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù),解完題目便以為結(jié)束,由此產(chǎn)生大量謬誤,應(yīng)該引起重視,加以克制,引以為戒。如:結(jié)論荒唐,引為笑柄;以特殊代替一般;臆造“定理”,判斷無(wú)據(jù),以日常概念代替科學(xué)概念。以上常見(jiàn)的錯(cuò)誤不勝枚舉。由此可見(jiàn),解題反思的積極意義及其重要性,必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視。

2 積極反思,探求一題多解和多題一解,提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系、縱橫交錯(cuò),解題思路靈活多變,解題方法途徑繁多,但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確,也未必就是最佳思路,最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法。不能解完題就此罷手,如釋重負(fù),應(yīng)該進(jìn)一步反思,探求一題多解、多題一解的問(wèn)題,開(kāi)拓思路,勾通知識(shí),掌握規(guī)律,權(quán)衡解法優(yōu)劣,在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié),使自己的解題能力更勝一籌。一題多解,每一種解法可能用到不同章節(jié)的知識(shí),這樣一來(lái)可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí),掌握不同解法技巧,同時(shí)每一種解法又能解很多道題,然后比較眾多解法中對(duì)這一道題哪一種最簡(jiǎn)捷、最合理?把本題的每一種解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣,同時(shí)既看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用,又善于總結(jié),掌握規(guī)律,探求共性,再由共性指導(dǎo)去解決碰到的這類問(wèn)題,梳理出一類題的一般方法和思路,這對(duì)提高解題能力尤其重要。

3 積極反思、系統(tǒng)小結(jié),使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化,在解題中應(yīng)用自如、改進(jìn)過(guò)程,尋找解

題方法上的創(chuàng)新

問(wèn)題解決之后,要不斷地反思:解題過(guò)程是否浪費(fèi)了重要的信息,能否開(kāi)辟新的解題通道?解題過(guò)程多走了哪些思維回路,思維、運(yùn)算能否變得簡(jiǎn)捷?是否拘泥于思維定勢(shì),照搬了熟悉的解法?通過(guò)這樣不斷質(zhì)疑、不斷改進(jìn),讓解題過(guò)程更具有合理性、科學(xué)性、簡(jiǎn)捷性。

如求證:正四面體和正八面體相鄰兩側(cè)所成的二面角互補(bǔ)。此題有常規(guī)的解題思路:分別求出2個(gè)多面體的二面角的值,再求和。這也是一般參考書上的解法。探索解題過(guò)程,總感覺(jué)這樣解題很笨拙,缺少靈氣,不能反映2個(gè)多面體的巧妙結(jié)構(gòu)。事實(shí)上,問(wèn)題隱含了“結(jié)構(gòu)”這個(gè)重要信息,那么能否把“結(jié)構(gòu)”作為切入點(diǎn)去探究問(wèn)題呢?

4 重視知識(shí)的遷移和應(yīng)用,探究問(wèn)題所含知識(shí)的系統(tǒng)性

解題之后,要不斷地探究問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入的探究?能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系?把問(wèn)題所蘊(yùn)含的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”,擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”。通過(guò)不斷的拓展、聯(lián)系,加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解,進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性。

5 整合知識(shí),創(chuàng)新設(shè)問(wèn)

要讓學(xué)生明白,問(wèn)題與問(wèn)題之間不是孤立的,許多表面上看似無(wú)關(guān)的問(wèn)題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系,解題不能就題論題,要尋找問(wèn)題與問(wèn)題之間本質(zhì)的聯(lián)系,要質(zhì)疑為什么有這樣的問(wèn)題?它和哪些問(wèn)題有聯(lián)系?能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā),將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效整合,創(chuàng)造性地設(shè)問(wèn)?讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中,豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容,體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來(lái)的樂(lè)趣,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是非常有利的。

6 探究規(guī)律,形成小結(jié)

對(duì)每個(gè)問(wèn)題都要尋根問(wèn)底,能否得到一般性的結(jié)果,有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)?能否形成獨(dú)到的見(jiàn)解,有自己的小發(fā)明?點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn),都能喚起學(xué)生的成就感,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣。長(zhǎng)期的積累,更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成,并增加知識(shí)的存儲(chǔ)量。

總之,解題后引導(dǎo)學(xué)生不斷對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括,對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷的思考并做出新的判斷,讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣,享受探究帶來(lái)的成就感。長(zhǎng)此以往,逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣,并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué),這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。

(作者單位:江蘇省鹽城市建湖縣第二中學(xué))