《相似圖形》一章我們將學(xué)習(xí)下面幾個(gè)問題.

1. 什么是相似圖形

相似圖形，教科書上將它定義為形狀相同的圖形.那么，如何理解這個(gè)形狀相同呢？所有的正方形形狀都相同，所有的圓形狀都相同，這些大家都沒有疑問.但是，一般的長(zhǎng)方形，是否形狀都相同呢？可能有人認(rèn)為它們形狀也相同，“瞧，它們都是長(zhǎng)長(zhǎng)方方的”；也有人會(huì)說不同，“它們有的扁一些，有的正一些”.確實(shí)，從數(shù)學(xué)上講，相似圖形這個(gè)定義不甚嚴(yán)密，還需要對(duì)“形狀相同”作出適當(dāng)?shù)慕忉?

教科書介紹了一種幾何變換——位似變換.位似變換后的圖形與原圖形形狀相同，如圖1中的四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′.當(dāng)然，繼續(xù)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折這個(gè)位似變換后的圖形，所得到的圖形仍然會(huì)保持原來的形狀.從這個(gè)意義上說，所謂相似圖形就是能通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折或位似相互得到的圖形.

當(dāng)然，利用變換判斷兩個(gè)圖形相似，需要先直覺地判斷出可能對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的線段，然后不斷嘗試各種變換，比較繁雜.為此，需要尋求簡(jiǎn)便的定義或者判斷方法.因此，就有了相似多邊形的概念：對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似.特殊地，對(duì)于相似三角形，還有其他判別方法.

練習(xí)1 找出圖2中相似的三角形，并通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將小三角形依次變成和它相似的大三角形.

練習(xí)2 如圖3，將正方形的邊框向內(nèi)壓縮相同的長(zhǎng)度后得到一個(gè)小的正方形，它們是相似圖形.將長(zhǎng)方形的邊框向內(nèi)壓縮相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)小長(zhǎng)方形，它們相似嗎？

2. 相似三角形的判別條件

對(duì)于相似三角形的判定，教科書是從其性質(zhì)入手——滿足有關(guān)性質(zhì)的兩個(gè)三角形必然相似.但如果一一驗(yàn)證，勢(shì)必繁雜.因此，我們可以嘗試選擇其中部分性質(zhì)，這樣就得到了三個(gè)常用的判別條件：兩角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等.

練習(xí)3 如圖4，△A1B1C1和△A2B2C2相似嗎？為什么？

上題有網(wǎng)格紙作為背襯，可以算出兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度，不難判斷出兩個(gè)三角形是相似的.

更多的時(shí)候，兩個(gè)相似的三角形存在一定的“交叉”，這樣就可能隱含著一些公共的邊或角，學(xué)習(xí)時(shí)要注意體會(huì).

練習(xí)4 （1）如圖5，△ABC與△ADE有哪些邊或角是公共的？

（2）在各圖中分別增加一個(gè)條件，使得△ABC∽△ADE.

注意，增加的條件不唯一.如第一個(gè)圖中，已經(jīng)有了一個(gè)公共角∠A，因此，可以使得夾該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，也可以增加一對(duì)相等的角，如∠ADE=∠B.此外，還可以換個(gè)方法給出這些條件，如可以通過條件DE∥BC說明∠ADE=∠B，也可以通過D、E分別是AB、AC邊的三等分點(diǎn)說明兩邊對(duì)應(yīng)成比例，等等.對(duì)于其他各圖，同樣可以有多種方法.

此外，在有關(guān)三角形的相似問題中，上面的幾個(gè)圖最為典型.很多圖形只是它們的特殊形式而已.

練習(xí)5 如圖6，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，CE交AD于點(diǎn)F，則圖中相似三角形有對(duì).

3. 相似的應(yīng)用

相似圖形中各對(duì)應(yīng)線段成比例.因此，可以借助小的線段長(zhǎng)度表示大的線段長(zhǎng)度，比如各類圖紙、地圖等；還可以設(shè)法構(gòu)造相似圖形，從而推知一些較難測(cè)量的幾何量的大小，如測(cè)量旗桿、建筑物的高度.人們甚至還創(chuàng)造出一些與相似有關(guān)的特殊的測(cè)量工具.

練習(xí)6 如圖7，三角板ABC是一個(gè)測(cè)量小管口徑的量具.AB的長(zhǎng)為12 cm，AC被分成60等份.若小管管口DE正好對(duì)著量具上40份處（DE∥AB），求小管口徑DE的長(zhǎng).

4. 一個(gè)例子——美妙的黃金分割

教科書中有一節(jié)專門介紹黃金分割，因此，我們也換個(gè)角度，從相似形的角度揭示黃金比的由來.

據(jù)說，黃金分割是由古希臘著名數(shù)學(xué)流派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的標(biāo)志是一個(gè)五角星，其中就蘊(yùn)含著很多黃金比.

練習(xí)7 如圖8，一個(gè)正五邊形內(nèi)部有一個(gè)正五角星.圖中有很多線段，而且其中只有4種不同長(zhǎng)度的線段，找出這4種不同的長(zhǎng)度.圖中有很多等腰三角形，但它們好多是相似的，你能找出這些相似圖形嗎？

圖形比較復(fù)雜，不妨從正五邊形入手，將各個(gè)角的度數(shù)標(biāo)在圖中，你一定可以發(fā)現(xiàn)這些相似圖形！借助這些相似圖形，你還可以發(fā)現(xiàn)，從小到大的4種線段的長(zhǎng)度中，相鄰兩個(gè)的比值就是黃金比！

畢達(dá)哥拉斯說過，“凡是美的東西都具有共同的特征，就是部分與部分及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致性.” 意大利著名科學(xué)家、藝術(shù)家達(dá)·芬奇則認(rèn)為，黃金比在數(shù)學(xué)、美學(xué)、藝術(shù)中顯示出了巨大的作用，隨處可以見到它的影子.19世紀(jì)以后，黃金分割的名稱逐漸流行起來.

黃金比能給人以美感.據(jù)說，主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，能給觀眾留下更美好的印象；芭蕾舞演員踮起腳尖，也是力圖使她的腰部以下的長(zhǎng)度與身高的比達(dá)到0.618，給人更為修長(zhǎng)的感覺……

工業(yè)生產(chǎn)中，常常需要尋求最佳的狀態(tài)（如溫度、濕度等）.可以先找出一個(gè)大致的范圍，然后選取這一范圍的黃金分割點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試、比較，從而將最佳狀態(tài)的范圍縮小，再經(jīng)多次選點(diǎn)、測(cè)試，可以很快確定最佳狀態(tài).這種方法稱為0.618法.數(shù)學(xué)家還證明了，一般情況下，0.618法最為快捷.上個(gè)世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在全國大力宣傳和推廣0.618法，產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)效益.