摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在必修內(nèi)容中減少了排列組合知識(shí)，因而在古典概型問(wèn)題的解決過(guò)程中主要是通過(guò)列舉的方法確定基本事件個(gè)數(shù)，常用列表和樹(shù)狀圖，而對(duì)于一些古典概型問(wèn)題采用坐標(biāo)來(lái)處理將更方便、簡(jiǎn)潔。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo) 古典概型 列舉

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-1875(2009)05-119-02

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)古典概型的要求為：通過(guò)實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．而對(duì)于古典概型的計(jì)算對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難點(diǎn)就在于計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)，一般采用列表法或樹(shù)狀圖法．筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)列表法進(jìn)行了一些改造，收到了意想不到的效果．

問(wèn)題一：

將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，問(wèn)：

（1）共有多少種不同的結(jié)果？

（2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？

（3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？

（蘇教版 數(shù)學(xué) 必修3 P95 例3）

我們一般可以通過(guò)列表分析（如表1）：

將橫行看作是第一次拋擲，豎列看作是第二次拋擲，從表中可以直接得了共有36種不同結(jié)果，兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有12種，所以得出兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為。

現(xiàn)將表作適當(dāng)?shù)母脑?，將表中的各組數(shù)看作是點(diǎn)的坐標(biāo)，我們就可以用點(diǎn)來(lái)表示，從而就可以用坐標(biāo)系來(lái)表示整個(gè)表（如圖1）

先后拋擲2次骰子，所包含基本事件就是由所表示的點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)就表示一個(gè)基本事件，兩數(shù)之和為3的倍數(shù)即直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)。

因而，我們可以這樣來(lái)解決：設(shè)第一次拋擲骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為x，第二次拋擲骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為y，由x，y只能取1，2，3，4，5，6可得1≤x≤61≤y≤6x，y∈Z，即一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)即所有的基本事件個(gè)數(shù)，而兩次之和為3的倍數(shù)就是直線(xiàn)x+y=3k(k∈(1，2，3，4))所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，共有12個(gè)點(diǎn)，即兩次之和為3的倍數(shù)的基本事件有12個(gè)。

由此，我們可以用同樣的方法解決以下變式：

求：

（1）第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)不小于第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)的概率；

（2）第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)是第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)的3倍的概率；

（3）兩次拋擲的點(diǎn)數(shù)是相鄰的整數(shù)概率。

變式（1）可以表示成區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，有21個(gè)點(diǎn)即21個(gè)基本事件，所以第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)不小于第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)的概率為；變式（2）可以表示直線(xiàn)y=3x上的點(diǎn)，有2個(gè)點(diǎn)即兩個(gè)基本事件，所以第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)是第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)的3倍的概率為；變式（3）可表示成為直線(xiàn)x-y=1和y-x=1上的點(diǎn)，有10個(gè)點(diǎn)即10個(gè)基本事件，所以?xún)纱螔仈S的點(diǎn)數(shù)是相鄰的整數(shù)的概率為，如圖。

采用坐標(biāo)系中的點(diǎn)可以直觀地?cái)?shù)出基本事件個(gè)數(shù)，比列表簡(jiǎn)單，并且可以結(jié)合平面解析幾何知識(shí)靈活解決一些實(shí)際的問(wèn)題。

對(duì)于摸球問(wèn)題也可以用此方法解決：

問(wèn)題二：

一只口袋同裝有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，從中一次摸出兩只球．

（1）共有多少個(gè)基本事件？

（2）摸出的兩只球都是白球的概率是多少？

分析：將4只白球的編號(hào)為1，2，3，4，2只黑球?yàn)?，6，一次摸出兩只球，由于找到（1，2）和（2，1）是一樣的，所以我們?nèi)。?，1），而且不可能出現(xiàn)兩個(gè)球編號(hào)一樣，所以我們可以得到如下圖形，所以我們可以看出有15點(diǎn)即有15個(gè)基本事件，找出兩只球都是白球即橫縱坐標(biāo)都在{1.2.3.4}范圍之內(nèi)，即可以用在區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示，有6個(gè)點(diǎn)以即6個(gè)基本事件，所以摸出的兩只球都是白球的概率是。則區(qū)域B表示橫坐標(biāo)在{5，6}范圍內(nèi)，縱坐標(biāo)在{1.2.3.4}范圍內(nèi)表示摸到一只白球和一只，有8個(gè)點(diǎn)即8個(gè)基本事件，其概率為；區(qū)域C表示橫縱坐標(biāo)都在{5，6}范圍之內(nèi)，表示摸到的兩只球都是黑球，有1個(gè)點(diǎn)即1個(gè)基本事件，其概率為。

變式：

有兩只口袋，其中一只同裝有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，另一只同裝有大小相同的5只球，其中2只白球，3只黑球，分別從兩只口袋中各摸出一只球．求摸出的兩只球都是黑球的概率是多少？

將第一只口袋中的4只白球的編號(hào)為1，2，3，4，2只黑球?yàn)?，6，另一口袋中的2只白球的編號(hào)為1，2，2只黑球?yàn)?，4，5，將從第一只口袋中的摸出的球的編號(hào)代表橫坐標(biāo)，從第二只口袋中的摸出的球的編號(hào)代表縱坐標(biāo)，建立直角坐標(biāo)系如圖。從中可以看出從兩只口袋中各摸出一只球的30個(gè)基本事件，摸出的兩個(gè)球都是黑球有6個(gè)基本事件（由區(qū)域C內(nèi)的點(diǎn)表示），所以摸出的兩只球都是黑球的概率為。

對(duì)于可以用實(shí)數(shù)對(duì)進(jìn)行表示的古典概型的問(wèn)題都可以運(yùn)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來(lái)進(jìn)行解決，同時(shí)很好地解決了列舉中的不重不漏，而且當(dāng)總體的數(shù)很多我們也可以很方便地進(jìn)行解決。

參考文獻(xiàn)：

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