摘要：本文在低密度奇偶校驗(yàn)碼和穩(wěn)定子碼糾錯(cuò)理論基礎(chǔ)上，分析了穩(wěn)定子碼的構(gòu)造方法，提出了一種基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼的構(gòu)造方法，并以（12，3）量子LDPC碼為例說名該方法的有效性，最后對（32，12）和（64，24）碼在退極化信道的性能表現(xiàn)進(jìn)行了數(shù)值分析。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定子碼；穩(wěn)定子生成元；量子LDPC碼；指錯(cuò)子

中圖分類號：TP311文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044(2008)12-2pppp-0c

A Construction Method of Quantum Low-density-parity-check Codes Based on Stabilizer Codes

WANG Chao-yi，YUE Ke-feng，LIU Jing

(Institute of Signal Processing and Transmission，Nanjing University of Posts Telecommunications，Nanjing 210003，China)

Abstract:Based on the classical LDPC construction method and quantum error correction techniques，a construction method of quantum low-density-parity-check codes based on stabilizer codes is discussed method in this paper.We provide quantum code (12，3) obtained by our methed as example to verify this construction， together with a numerical simulation of the performance of quantum code (32，12) and quantum code (64，24)over the depolarizing channel.

Key words:stabilizer codes;stabilizer generators;Quantum low-density parity-check codes;syndrome

1 引言

量子糾錯(cuò)編碼技術(shù)是量子通信和量子計(jì)算實(shí)用化的基礎(chǔ)，迄今為止，量子糾錯(cuò)理論日趨完善，幾乎所有經(jīng)典糾錯(cuò)編碼方案都已經(jīng)被移植到量子領(lǐng)域中[1]。低密度奇偶校驗(yàn)（LDPC）碼以其低復(fù)雜度的迭代譯碼算法和可逼近信道容量限的特性已成為經(jīng)典通信中最佳的編碼技術(shù)之一[2，3]。將經(jīng)典的低密度奇偶校驗(yàn)碼與量子糾錯(cuò)編碼技術(shù)相結(jié)合，得到量子低密度奇偶校驗(yàn)碼，具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

目前介紹的量子LDPC糾錯(cuò)碼都是基于CSS量子糾錯(cuò)碼構(gòu)造的[4，5，7]，為了構(gòu)造更一般的，更有效的量子糾錯(cuò)碼，需要發(fā)展構(gòu)造量子糾錯(cuò)碼的系統(tǒng)的理論方法。Gottesman，Calderbank等人發(fā)現(xiàn)了量子糾錯(cuò)碼的群理論結(jié)構(gòu)，引進(jìn)了碼”穩(wěn)定子”的概念[6]，不僅可以發(fā)現(xiàn)更多的量子糾錯(cuò)碼，也可使量子糾錯(cuò)碼的理論更為系統(tǒng)和完善。因此在穩(wěn)定子碼理論基礎(chǔ)上構(gòu)造量子LDPC碼也是值得研究的課題。

本文在穩(wěn)定子碼的構(gòu)造方法基礎(chǔ)上，提出了基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼的構(gòu)造方法，并通過實(shí)例計(jì)算說明此陪集搜索算法的有效性。

2 穩(wěn)定子碼

一個(gè)量子位和環(huán)境相互作用可能發(fā)生的最一般情況用{I，X，Y，Z}四個(gè)算子的作用表示。

令S為n量子位pauli算子群Gn的一個(gè)Abel子群。由于S中的元素都相互對易，他們在n量子位的Hilbert空間中可以同時(shí)對角化。記S中所有元素本征值為+1的共同本征空間為HS，即當(dāng)且僅當(dāng)對所有M∈S，有

M∣Ф?=∣Ф?（1）

成立，才有∣Ф?∈H。如果一個(gè)量子碼的碼空間就是Hs，則稱這個(gè)量子碼是穩(wěn)定子碼，并稱子群S是這個(gè)碼的穩(wěn)定子[6，8]。

子群S可以用它的生成元表征，一個(gè)用n個(gè)物理量子位編碼K個(gè)邏輯量子位信息的量子碼將有一個(gè)n-K個(gè)生成元的穩(wěn)定子?？梢宰C明，若子群S的生成元有n-K個(gè)（即有n-K個(gè)獨(dú)立的，并足以生成整個(gè)S全體的一組元素），碼空間的維數(shù)將是2K，從而這個(gè)量子碼可以編碼K個(gè)邏輯量子位的信息。

穩(wěn)定子S的生成元可以用于穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)。由于S的生成元M1，M2，…Mk是一組相互對易的厄米算子，它們可以同時(shí)取確定值，因此可以同意對這組算子的集體測量診斷出錯(cuò)誤。如果編碼態(tài)沒有錯(cuò)誤出現(xiàn)，那么對每個(gè)生成元Mi，測量結(jié)果均為其本征值+1。如果對某個(gè)Mi測量結(jié)果為-1，表明已有錯(cuò)誤出現(xiàn)。由于任意出錯(cuò)都可用Gn群元算子的和表示，一個(gè)特定的錯(cuò)誤Ea和穩(wěn)定子的一個(gè)生成元Mi或?qū)σ谆蚍磳σ?。如果Ea和Mi對易，那么

其中∣Ф?∈Hs，這時(shí)出錯(cuò)態(tài)仍保留在碼空間中。如果Ea和M反對易，則有

出錯(cuò)將把編碼態(tài)變換到碼空間以外?？偨Y(jié)上面兩種情況，對于穩(wěn)定子生成元Mi和出錯(cuò)Ea，可以寫出

其中當(dāng)Ea和Mi對易時(shí)，Sia=0；當(dāng)Ea和Mi反對易時(shí)，Sia=1。所以對出錯(cuò)態(tài)Ea∣Ф?，則量穩(wěn)定子S的一組生成元{Mi}，將得到一組本征值：

式中的Sia就是錯(cuò)誤Ea的指錯(cuò)子。對于非簡并碼，不同的Ea，指錯(cuò)子Sia不同，從而測量穩(wěn)定子的n-k個(gè)生成元，可以完全診斷出碼可以糾正的所有錯(cuò)誤[8]。

3 基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼的構(gòu)造

3.1 穩(wěn)定子碼的構(gòu)造

穩(wěn)定子體系極其適合描述量子碼。其基本思想非常簡單[6，8]：一個(gè)[n，k]穩(wěn)定子碼被定義為由Gn的子群可穩(wěn)定的向量空間VS ，使得-I?S且 具有n-k個(gè)獨(dú)立的和對易的生成元，S{g1，…，gn-k}，我們記該碼為C(S)。

碼C(S)的邏輯基狀態(tài)是什么呢？原理上，給定穩(wěn)定子S的n-k個(gè)生成元，我們可以在碼C(S)中選取任意2k個(gè)正交歸一向量以作為我們的邏輯基狀態(tài)。實(shí)際上，更有意義的是，用更為系統(tǒng)的方法來選取狀態(tài)。一種方法如下：首先我們選取算子Z1-，…Zk-，…，Zk-∈Gn，使得g1，…，gn-k，Z1-，…Zk-形成一個(gè)獨(dú)立的和對易的集合。算子Zj-扮演邏輯量子比特?cái)?shù)j上的邏輯Pauli sigma z算子的角色，所以邏輯計(jì)算基狀態(tài)∣x1，…，xk?L定義為具有如下穩(wěn)定子的狀態(tài)：

類似地，定義Xj-為Pauli矩陣乘積，他在共軛作用下將Zj-變到-Zj-，而其他的Zi-和gi保持不變。很清楚，X-j對編碼后的第j個(gè)量子比特起到了量子非門的作用。算子Xj-滿足wcy05.tif，因而可與穩(wěn)定子的所有生成元對易，也容易驗(yàn)證，Xj-與除Zj-以外的所有Zi-對易，與Zj-則為反對易。

3.2 穩(wěn)定子碼的標(biāo)準(zhǔn)形

對穩(wěn)定子碼。如果我們將碼化為標(biāo)準(zhǔn)形[8，11]，邏輯Z和X算子就會(huì)變得容易理解的多。為了解標(biāo)準(zhǔn)形是什么，考慮[n，k]穩(wěn)定子碼C的校驗(yàn)矩陣[8]：

G=[G1∣G2] （7）

這個(gè)矩陣具有n-k個(gè)行。這個(gè)矩陣行的對換對應(yīng)于重新標(biāo)記生成元，這個(gè)矩陣兩邊相應(yīng)列的對換對應(yīng)于重新標(biāo)記量子比特，將兩行相加對應(yīng)于乘以生成元；容易看出，當(dāng)i≠j時(shí)，我們總是可以用gigj來替換gi。因此，存在具有不同生成元集合的一個(gè)等價(jià)碼，其相應(yīng)的校驗(yàn)矩陣對應(yīng)于矩陣G，其中已對G1應(yīng)用Gauss消去法，且在必要是對換量子比特：

其中r是G1的秩。下一步，當(dāng)有必要時(shí)對換量子比特，我們對E執(zhí)行Gauss消去法以得到：

最后s個(gè)生成元不能與最前r個(gè)生成元對易，除非D2=0，因此，我們可以假定s=0。進(jìn)而，通過對行取適當(dāng)?shù)木€性組合，我們也可使C1=0。所以，我們的校驗(yàn)矩陣具有形式：

其中，我們已經(jīng)重新標(biāo)記E2為E，D1為D。不難看出，這種方法不是唯一的；但是，我們說，具有上式形式的校驗(yàn)矩陣處于標(biāo)準(zhǔn)形。

給定量子碼的標(biāo)準(zhǔn)形后，可容易為這個(gè)碼定義編碼后的Z算子。也即，我們必須選擇k個(gè)算子，他們彼此相互獨(dú)立，并獨(dú)立與穩(wěn)定子的生成元，他們彼此對易并與穩(wěn)定子的生成元對易。設(shè)對這些k個(gè)編碼后的Z算子，我們寫出校驗(yàn)矩陣為

其中所有矩陣均具有k個(gè)行，而各自的列維數(shù)分別為r，n-k-r，k，r，n-k-r和k，我們選取這些矩陣使得GZ=?000≠∣A2T0I?。這些編碼后的Z算子與穩(wěn)定子生成元的對易性是由方程I×(A2T)+A2=0來導(dǎo)出的。很清楚，編碼后Z算子相互對易，因?yàn)樗麄冎话琙算子的積。同樣因?yàn)闆]有任何Z項(xiàng)出現(xiàn)在編碼后的Z算子的定義中，所以編碼后的Z算子與穩(wěn)定子的前r個(gè)生成元獨(dú)立；因?yàn)槌霈F(xiàn)在那些生成元校驗(yàn)矩陣中的(n-k-r)×(n-k-r)的單位矩陣，在編碼后的Z算子校驗(yàn)矩陣中沒有相應(yīng)的項(xiàng)，所以編碼后Z算子與n-k-r生成元集合獨(dú)立。采用類似的方法，我們可選擇具有k×2n校驗(yàn)矩陣?0ETI∣CT00?的編碼后X算子。若根據(jù)上述定義得到編碼后的X算子的校驗(yàn)矩陣，則編碼后的X算子具有如下性質(zhì)：相互獨(dú)立且與所有生成元相獨(dú)立，與穩(wěn)定子的所有生成元對易 以及相互對易；并且，Xj-與除Zj-以外的所有Zi-對易，而與Zi-反對易。

3.3 基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼的構(gòu)造

為了介紹基于穩(wěn)定子的量子LDPC碼的構(gòu)造方法，先簡要說明下基于GF(4)的量子碼。

基于GF(4)的量子碼[9]：穩(wěn)定子碼也可以看作是基于GF4={0，1，w，w-}的碼字，其中1+w+w2=1+w+w-=0。它與Pauli算子I，X，Z，Y之間存在著如下的映射關(guān)系：I?0，X?w，Z?w-，Y?1。此外，根據(jù)跡運(yùn)算tr(x)=x+x-=x+x2，可以計(jì)算出如果tr(ab-)為0，則與Pauli算子關(guān)聯(lián)的a，b對易；如果tr(ab-)為1，則他們反對易。從而得出了如下基于GF4n內(nèi)積的定義為[9，10]：

穩(wěn)定子碼的生成源，當(dāng)被表示為一個(gè)GF4n的行向量時(shí)，形成一個(gè)矩陣M，可以被稱為穩(wěn)定子碼的奇偶校驗(yàn)矩陣。定義穩(wěn)定子碼的第i個(gè)生成源以及M矩陣第i行的向量，都由Mi所給出。應(yīng)于上述定義的內(nèi)積，這些行都是正交的。因此對于任意基于GF（4）的行正交的(n-k)×n矩陣，都定義著一個(gè)n量子位的穩(wěn)定子碼。

根據(jù)以上對穩(wěn)定子碼的介紹及其相關(guān)性質(zhì)的論證，我們已經(jīng)可以得到基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼，該碼與一般穩(wěn)定子碼的不同之處在于[n，k]穩(wěn)定子碼C的校驗(yàn)矩陣G=[G1∣G2]為稀疏矩陣。

具體算法如下：

步驟一：在GF(4)上構(gòu)造長度為n的稀疏序列，作為穩(wěn)定子碼的第一個(gè)生成元M1，并根據(jù)M1寫出M1的矢量偶表示(а1∣β1)。

步驟二：在GF(4)上構(gòu)造長度為n的稀疏序列，作為穩(wěn)定子碼的第二個(gè)生成元M2，并根據(jù)M2寫出M2的矢量偶表示(а2∣β2)。

步驟三：計(jì)算兩個(gè)序列的內(nèi)積(M1，M2)。

步驟四：若M1，M2不滿足正交條件，即辛內(nèi)積[8，10] а1β2? а2β1≠0或M2和M1不獨(dú)立，則返回步驟三；若滿足正交條件，即辛內(nèi)積а1β2? а2β1=0并且M2和M1相互獨(dú)立，則繼續(xù)尋找稀疏序列，直到找出所有n-k個(gè)穩(wěn)定子生成元，并得到穩(wěn)定子碼的校驗(yàn)矩陣G。

步驟五：將[n，k]碼的校驗(yàn)矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，得到編碼后的Z算子Gz=?000∣A2T0I?，和編碼后的X算子?0ETI∣CT00?

步驟六：根據(jù)n-k個(gè)穩(wěn)定子生成元和編碼后的Z，X算子，編碼得到量子碼字。

為了驗(yàn)證該算法的有效性，本文通過構(gòu)造（12，3）量子碼為例加以說明，該碼可以編3個(gè)量子比特，穩(wěn)定子生成元個(gè)數(shù)為12-3=9。

根據(jù)步驟1、2、3、4，得到(12，3)碼的校驗(yàn)矩陣為：

便可得到穩(wěn)定子碼的全部碼字。

4 仿真及性能分析

本文仿真了碼率都為3/8的LDPC碼，分別能編12和24個(gè)量子比特，編碼長度為32和64，錯(cuò)誤模型為退極化信道，其中信息在信道傳輸中比特錯(cuò)誤概率為P，即發(fā)生比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤、相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤以及比特和相位均發(fā)生錯(cuò)誤的概率各為P/3。

圖4為(32，12)碼與(64，24)碼誤比特率性能比較，縱坐標(biāo)為誤比特率。從兩副圖中可以看出，(32，12)碼的誤比特率比(64，24)碼差，這與目前采用稀疏矩陣編碼得到CSS碼的結(jié)果相一致。這里采用的是退極化信道，在差錯(cuò)概率為0.04時(shí)性能已明顯不夠理想，其原因還需要進(jìn)一步的研究與探索。

5 結(jié)束語

本文在穩(wěn)定子碼的基礎(chǔ)上，嘗試了量子LDPC碼的構(gòu)造算法，并對所介紹的基于穩(wěn)定子碼的量子LDPC碼編碼算法進(jìn)行了仿真。其性能在某些方面與基于稀疏矩陣量子LDPC編碼算法相一致，但總體來說編碼性能不高。因此構(gòu)造算法尚需完善，此外在譯碼過程中，采用的方法也是穩(wěn)定子碼的譯碼方法，算法復(fù)雜度較高，是否也可采用與MP譯碼算法等類似的迭代譯碼算法對其進(jìn)行譯碼，還需要進(jìn)一步的研究。

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收稿日期：2008-01-29

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>