單擺在小角度擺動(dòng)時(shí)，忽略空氣阻力等的影響可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這在人教版及滬科版教材中都有理論推導(dǎo)證明。但是，都采取了多次近似的方法，即當(dāng)角度很小（一般認(rèn)為角度小于或等于5°）時(shí)，該角度的弧度值與其正弦值近似相等，該角度所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)約等于弦長(zhǎng)；另外，圓弧上任一點(diǎn)的切線方向與弦所在直線方向也趨于一致。具體證明如下：

如圖1所示，O為單擺運(yùn)動(dòng)的平衡位置，l為單擺擺長(zhǎng)；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到任意位置P時(shí)，擺球受到的回復(fù)力是其重力G沿著圓弧切線方向的分力G1，F(xiàn)=G1=mgsinθ。

注意此處為第一次近似，方向近似，回復(fù)力的方向本應(yīng)為PO→，由于θ很小，PO→方向與G1→方向趨于一致。

如圖2所示，在擺角θ很小時(shí)，則有sinθ≈θ≈OP⌒l(wèi)，并且位移x≈OP⌒，考慮了位移和回復(fù)力的方向后，有F=-mgxl，其中mgl可以用一個(gè)常數(shù)k來(lái)表示，則上式又可以寫成F=-kx。

這就是說(shuō)，在擺角很小時(shí)，單擺所受到的回復(fù)力跟位移成正比而方向相反，所以單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

本人認(rèn)為，上述證明方法盡管采取了多次近操作，由于每次操作都是在誤差允許范圍內(nèi)的，最終結(jié)果比較準(zhǔn)確。但是，整個(gè)證明過(guò)程總讓人感覺(jué)有點(diǎn)牽強(qiáng)附會(huì)，經(jīng)過(guò)再三思索之后，我認(rèn)為用下面的方法證明避免了幾次近似，有異曲同工之效。下面就將具體證明過(guò)程展現(xiàn)給大家。

如圖3所示，O為單擺運(yùn)動(dòng)的平衡位置，l為單擺擺長(zhǎng)，P為擺球運(yùn)動(dòng)中的任意位置，在P處小球所受的回復(fù)力F應(yīng)為由P指向O的某一分力；又知擺球受到重力G和繩的拉力T。

當(dāng)小角度擺動(dòng)時(shí)，當(dāng)小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，它所受的向心力為：

F=mv2l，①

又12mv2=mgl(1-cos5°)。②

由①②得，F(xiàn)=2mg(1-cos5°)=7.61×10-3mgmg。

由以上表達(dá)式可知，當(dāng)最大擺角越小時(shí)，擺球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力就越小。所以，當(dāng)小角度擺動(dòng)時(shí)，擺球作圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力完全可以忽略。我們就可以近似的認(rèn)為繩的拉力與重力的合力提供擺球作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，由上圖中力三角形與幾何三角形AOP相似，得：

Fmg=xl，所以F=xlmg。

考慮回復(fù)力與位移方向之間的關(guān)系，其矢量表達(dá)式為：F=-mglx。

令mgl=k，則F=-kx。

由上面表達(dá)式可以清楚看出擺球在小角度擺動(dòng)時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，對(duì)比兩種證明過(guò)程可以看出，都采取了近似的思想，但所論證的角度不同，第一種方法重在幾何意義上的近似，而第二種方法更注重物理內(nèi)涵的挖掘。從本質(zhì)意義上而言，擺球在運(yùn)動(dòng)時(shí)能不能看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，取決于擺球受力方面能不能忽略向心力，從運(yùn)動(dòng)的角度能不能忽略擺球做圓周運(yùn)動(dòng)。

(欄目編輯羅琬華)