人教社新課標(biāo)教材(選修3-1)《帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)》一節(jié),在介紹回旋加速器的原理時(shí)說:“D1、D2是兩個(gè)中空的半圓形金屬盒,它們之間有一定的電勢差U。A處的粒子源產(chǎn)生帶電粒子,它們在兩盒之間移動(dòng)時(shí)被電場加速,獲得速度”,如圖1所示。對此有人提出一個(gè)有意思的問題:圖1中的A點(diǎn)究竟應(yīng)處于D形盒的什么位置?是否就是D形盒的中心?教材并沒有說明,下面談?wù)劰P者對這個(gè)問題的分析和思考。
如圖2所示,設(shè)粒子從O點(diǎn)處無初速注入兩D形盒之間的縫隙(加速電場)中,由于縫隙很窄,圖中沒有畫出。加速后進(jìn)入磁場中發(fā)生第一次偏轉(zhuǎn),從A處離開磁場,再加速后發(fā)生第二次偏轉(zhuǎn),再從B處離開磁場,以此類推。粒子由于不斷加速,回旋半徑不斷增大。設(shè)粒子質(zhì)量為m、電量為q,加速電壓為U,偏轉(zhuǎn)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為
B。則第一次偏轉(zhuǎn)的半徑R1=mv1qB=m2UqmqB,同理第二次的偏轉(zhuǎn)的半徑R2=mv2qB=m4UqqBqB=2R1,以此類推,第N次的偏轉(zhuǎn)的半徑RN=NR1。再設(shè)O處為坐標(biāo)原點(diǎn),圖中向右為x軸正分向,則:
第一次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標(biāo):
O1=R1。
第二次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標(biāo):
O2=2R1-R2=2R1-2R1
=O1+(1+2)R1。
第三次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標(biāo):
O3=2R1-2R2+R3
=O2+(-2+3)R1。
以此類推,第N次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標(biāo):
ON=O(N-1)+[(-1)NN-1+(-1)(N-1)N]R1。
如果隨著回旋次數(shù)N的增大,對應(yīng)的圓心坐標(biāo)ON逐漸趨向于坐標(biāo)原點(diǎn)O,則注入回旋加速器的粒子確實(shí)應(yīng)從D形盒的中心注入。由于圓心坐標(biāo)ON的遞推公式比較復(fù)雜,無法直接用數(shù)學(xué)方法求出其極限值。下面用office軟件中的Excel進(jìn)行計(jì)算:
打開Excel,在A1、A2、A3單元格中分別輸入1、2、3,單擊A1、A2、A3單元格,將鼠標(biāo)移到選中區(qū)域的右下角,按住左鍵向下拖動(dòng)鼠標(biāo),這樣單元格A1、A2、A3…AN中出現(xiàn)1、2、3…N數(shù)字。在B1單元格中輸入數(shù)字1(令R1=1),單擊B2單元格中,輸入:
=B1+POWER(-1,A2)*SQRT(A1)+POWER(-1,A1)*SQRT(A2)。
回車后,B2單元格中出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果:0.585 786 437 626 905。單擊B2單元格,將鼠標(biāo)移動(dòng)到該單元格的右下角,按住左鍵向下拖動(dòng)鼠標(biāo),于是單元格B2、B3、B4…中將自動(dòng)生成出如下表所示的計(jì)算結(jié)果。
我們考察表格中的數(shù)據(jù),可以看出,坐標(biāo)ON的數(shù)值不斷交錯(cuò)擺動(dòng),并且隨著回旋次數(shù)N的增大,ON的數(shù)值將逐漸收斂于某一確定結(jié)果,盡管Excel最多只有65 536行,但仍然可以推測圓心坐標(biāo)aN,最終將會(huì)介于0.759 233 062 716 305和0.761 186 195 166 943之間。這說明帶電粒子如果從D形盒的中心無初速注入,則經(jīng)過若干次的加速和偏轉(zhuǎn),最終做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)將趨向于0.76R1。反過來,要使帶電粒子最終以D形盒中心為圓心做圓周運(yùn)動(dòng),則粒子開始應(yīng)從離D形盒中心0.76R1附近處注入。實(shí)際醫(yī)用回旋加速器D形盒的直徑約幾十厘米,加速電壓幾千伏,磁感應(yīng)強(qiáng)度零點(diǎn)幾特斯拉,粒子回旋幾十到幾百圈,不難估算粒子源的注入點(diǎn)應(yīng)離D形盒中心幾厘米左右。
當(dāng)然,以上結(jié)論都是在帶電粒子在無初速注入的前提下得到的,如果帶電粒子注入時(shí)的速度不為零,則粒子源注入點(diǎn)的位置將更難確定。
參考文獻(xiàn):
[1]于玉和.回旋加速器中的螺線并非是等間距的.物理教學(xué)探討[J].2007.7
(欄目編輯羅琬華)