人教社新課標教材（選修3-1）《帶電粒子在磁場中的運動》一節(jié)，在介紹回旋加速器的原理時說：“D1、D2是兩個中空的半圓形金屬盒，它們之間有一定的電勢差U。A處的粒子源產(chǎn)生帶電粒子，它們在兩盒之間移動時被電場加速，獲得速度”，如圖1所示。對此有人提出一個有意思的問題：圖1中的A點究竟應(yīng)處于D形盒的什么位置？是否就是D形盒的中心？教材并沒有說明，下面談?wù)劰P者對這個問題的分析和思考。

如圖2所示，設(shè)粒子從O點處無初速注入兩D形盒之間的縫隙（加速電場）中，由于縫隙很窄，圖中沒有畫出。加速后進入磁場中發(fā)生第一次偏轉(zhuǎn)，從A處離開磁場，再加速后發(fā)生第二次偏轉(zhuǎn)，再從B處離開磁場，以此類推。粒子由于不斷加速，回旋半徑不斷增大。設(shè)粒子質(zhì)量為m、電量為q，加速電壓為U，偏轉(zhuǎn)磁場的磁感應(yīng)強度為

B。則第一次偏轉(zhuǎn)的半徑R1=mv1qB=m2UqmqB，同理第二次的偏轉(zhuǎn)的半徑R2=mv2qB=m4UqqBqB=2R1，以此類推，第N次的偏轉(zhuǎn)的半徑RN=NR1。再設(shè)O處為坐標原點，圖中向右為x軸正分向，則：



第一次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標：

O1=R1。

第二次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標：

O2=2R1-R2=2R1-2R1

=O1+（1+2）R1。

第三次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標：

O3=2R1-2R2+R3

=O2+（-2+3）R1。

以此類推，第N次偏轉(zhuǎn)的圓心坐標：

ON=O（N-1）+［（-1）NN-1+（-1）（N-1）N］R1。

如果隨著回旋次數(shù)N的增大，對應(yīng)的圓心坐標ON逐漸趨向于坐標原點O，則注入回旋加速器的粒子確實應(yīng)從D形盒的中心注入。由于圓心坐標ON的遞推公式比較復(fù)雜，無法直接用數(shù)學方法求出其極限值。下面用office軟件中的Excel進行計算：

打開Excel，在A1、A2、A3單元格中分別輸入1、2、3，單擊A1、A2、A3單元格，將鼠標移到選中區(qū)域的右下角，按住左鍵向下拖動鼠標，這樣單元格A1、A2、A3…AN中出現(xiàn)1、2、3…N數(shù)字。在B1單元格中輸入數(shù)字1（令R1=1），單擊B2單元格中，輸入：

=B1+POWER(-1，A2)*SQRT(A1)+POWER(-1，A1)*SQRT(A2)。

回車后，B2單元格中出現(xiàn)計算結(jié)果：0.585 786 437 626 905。單擊B2單元格，將鼠標移動到該單元格的右下角，按住左鍵向下拖動鼠標，于是單元格B2、B3、B4…中將自動生成出如下表所示的計算結(jié)果。

我們考察表格中的數(shù)據(jù)，可以看出，坐標ON的數(shù)值不斷交錯擺動，并且隨著回旋次數(shù)N的增大，ON的數(shù)值將逐漸收斂于某一確定結(jié)果，盡管Excel最多只有65 536行，但仍然可以推測圓心坐標aN，最終將會介于0.759 233 062 716 305和0.761 186 195 166 943之間。這說明帶電粒子如果從D形盒的中心無初速注入，則經(jīng)過若干次的加速和偏轉(zhuǎn)，最終做圓周運動的圓心坐標將趨向于0.76R1。反過來，要使帶電粒子最終以D形盒中心為圓心做圓周運動，則粒子開始應(yīng)從離D形盒中心0.76R1附近處注入。實際醫(yī)用回旋加速器D形盒的直徑約幾十厘米，加速電壓幾千伏，磁感應(yīng)強度零點幾特斯拉，粒子回旋幾十到幾百圈，不難估算粒子源的注入點應(yīng)離D形盒中心幾厘米左右。

當然，以上結(jié)論都是在帶電粒子在無初速注入的前提下得到的，如果帶電粒子注入時的速度不為零，則粒子源注入點的位置將更難確定。

參考文獻：

［1］于玉和．回旋加速器中的螺線并非是等間距的．物理教學探討［J］．2007.7

(欄目編輯羅琬華)