天體的運(yùn)動軌跡往往是圓或橢圓，而現(xiàn)行物理教科書中對圓形軌道的介紹較多，軌跡為橢圓的天體運(yùn)動則介紹甚少。針對參加物理競賽同學(xué)在解答衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動一類試題所遇到的問題，以及全國中學(xué)生物理競賽考綱要求考生掌握軌跡為橢圓的天體運(yùn)動。本文對如何解答此類問題進(jìn)行簡單探討。

1 衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動遵循的基本規(guī)律

1.1 開普勒定律

天體的運(yùn)動必須遵守開普勒天體運(yùn)動三定律，即行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上；行星與太陽之間的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積；行星軌道的半長軸的三次方跟它的運(yùn)動周期的二次方的比值都相等，即a3T2=k。對于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動同樣遵循開普勒三定律。

1.2 萬有引力定律

衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動，其本質(zhì)是因?yàn)槭艿降厍蛞Φ淖饔茫孕l(wèi)星的運(yùn)動遵守萬有引力定律，即F=GMmr2，這是衛(wèi)星運(yùn)動的最根本規(guī)律。

1.3 機(jī)械能守恒定律

衛(wèi)星在運(yùn)動過程中只有動能和引力勢能的相互轉(zhuǎn)化，因此衛(wèi)星的運(yùn)動過程滿足機(jī)械能守恒定律，即

12mv21-GMmr1=12mv22-GMmr2

式中12mv2表示衛(wèi)星的動能，-GMmr表示衛(wèi)星的勢能。

另外，除了上面的物理規(guī)律外，還涉及到高中數(shù)學(xué)平面解析幾何中的橢圓知識，這里不再贅述。需要說明的是圓是離心率為1的橢圓。

2 例析規(guī)律的應(yīng)用

例1 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動，其周期為T。若飛船要返回地面，可在軌道上的某一點(diǎn)A處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切，如圖1所示。若地球半徑為R0，求飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需要的時間。



解析 圓軌道是離心率為零的特殊的橢圓軌道。根據(jù)題意，飛船繞地球做圓周運(yùn)動時，其軌道半徑的三次方跟周期平方的比值等于飛船繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動時其半長軸的三次方跟周期平方的比值。設(shè)飛船橢圓軌道的半長軸為a，運(yùn)行周期為T0，則有

a3T20 =R3T2

a=R+R02

解之得T0=T2R3(R+R02)3

則飛船從點(diǎn)到點(diǎn)所需的時間為

t=T02=(R+R0)T4R#8226;R+R02

例2 空間站和宇宙飛船對接在一起以半徑R繞地球做圓周運(yùn)動，某時刻飛船在A處脫離空間站，并沿原來的速度方向加速，加速后飛船進(jìn)入一橢圓軌道，空間站仍在圓軌道運(yùn)動。若飛船在橢圓軌道上運(yùn)行一周后恰好又能在A處與運(yùn)行了N圈的空間站對接。試求：飛船在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度大小。已知地球質(zhì)量為M。

解析 設(shè)空間站做圓周運(yùn)動的周期為T，飛船做橢圓運(yùn)動的周期為T0，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地心為r。根據(jù)題意有萬有引力定律和向心力公式有

GMmR2=mω2R

式中ω=2πT為空間站做圓周運(yùn)動的角速度。

由開普勒第三定律有

R3T2=a3T20

式中a=R+r2為飛船橢圓軌道的半長軸。

空間站的圓周運(yùn)動與飛船的橢圓運(yùn)動的周期關(guān)系為

NT=T0

設(shè)飛船在橢圓軌道近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大小分別為v1、v2，根據(jù)開普勒第二定律有

Rv1=rv2

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

12mv21-GMmR=12mv22-GMmr

綜合以上各式解得

v2=GMRN23(2N23-1)

本例是一道綜合題，在解題過程中綜合運(yùn)用了開普勒三定律、萬有引力定律和機(jī)械能守恒定律。通過本例體現(xiàn)了在解決此類問題時需要綜合考慮這三大規(guī)律，根據(jù)具體問題具體分析，才能巧妙地解決衛(wèi)星乃至行星的橢圓運(yùn)動的問題。