帶電粒子在勻強磁場中的運動是高考物理的考查重點，近年高考試題中設(shè)置的情景往往是磁場有邊界或有障礙物，使粒子運動軌跡是一個殘缺圓，或者是帶電粒子離開有界磁場再作其它形式的運動， 試題情景具有開放性，富有探究性，這類試題要求考生根據(jù)粒子運動軌跡去尋找?guī)缀侮P(guān)系，將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)工具結(jié)合起來分析，考查考生運用數(shù)學(xué)工具的能力和分析綜合的能力。帶電粒子在磁場中運動的邊界問題大體分為以下兩類：

1 帶電粒子的速度大小、方向不確定引起的邊界問題

例1 如圖1，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度的大小B = 0.60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab ，板面與磁場方向平行，在距ab距離l =16cm處，有一個點狀的α放射源S。它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v =3.0×106m/s，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比 q / m = 5.0×107 C/ kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。

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解析 α粒子帶正電，在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，令半徑為R ，則

qvB = m v2/R ， 得 R= m v /qB 

代入數(shù)據(jù)得：R =10cm

顯然2R＞l＞R ，因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡均過S點，故此，某一圓軌跡在圖2中N左側(cè)與ab相切，則切點P1即為α粒子能打中左側(cè)的最遠(yuǎn)點。令圓心為Q，由圖2中幾何關(guān)系知NP1=R2-（l-R）2=8cm



對于右側(cè)，易知任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R ，以2R為半徑，S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn) NP2=（2R）2-l2=12cm

所求長度為：P1P2= NP1 + NP2= 20 cm， 因此ab上被α粒子打中區(qū)域長度為20cm。

方法歸納 本題開始分析時，可假設(shè)粒子速度方向向下，其軌跡為經(jīng)過出發(fā)點S的直徑為2R的圓，然后考慮從S點出發(fā)的粒子速度方向逆時針轉(zhuǎn)動，粒子的圓軌道以S為中點逆時針滾動，觀察圓軌道與ab直線的相交情況，據(jù)動態(tài)分析，可確定圖2中P2點為粒子打在ab板上最右端的位置。繼續(xù)將粒子圓軌道以S點為中心逆時針滾動，可知圓軌道與ab相切點P1為粒子到達ab 最左端的位置。解這類題目， 要進行動態(tài)分析，細(xì)心探究，然后作出正確的示意圖，若畫的圖形龐雜零亂，會給分析和計算帶來失誤，部分學(xué)生誤認(rèn)為P1、P2對稱，導(dǎo)致出錯，解題時不能想當(dāng)然，更不能以猜想作為結(jié)論。

2 磁場區(qū)域（大小、位置）不確定引起的邊界問題

例2 一勻強磁場，磁場方向垂直于x y平面，在x y平面上，磁場分布在以O(shè)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸為30°，P到O的距離為l ， 如圖3所示，不計重力的影響，求磁場的磁感強度B的大小與x y平面上磁場區(qū)域的半徑R。

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解析 令粒子軌跡半徑為r ，由洛侖茲力提供向心力則qvB = mv2/r

如圖4所示，由題意可推知，軌跡的圓心必在y軸上，且P點在磁場區(qū)域外，過P點沿速度的反方向作延長線，與x軸交于Q點，作圓弧過點O與x軸相切，且與PQ相切，切點A即粒子離開磁場區(qū)的位置。由題中知：L = 3r

解得磁感強度B = 3 m v/q L

圖中OA長度即圓形磁場區(qū)半徑R，易知場區(qū)域的半徑R=3L/3

方法歸納 帶電粒子在有界磁場運動一段時間再飛出磁場邊界，解決這類問題思維突破方法：先作出帶電粒子飛離磁場后的軌跡（如本題中， 將離開磁場的軌跡直線反向延伸）與粒子在磁場中圓運動軌跡的相交點，該點往往就是有界磁場的邊界，再據(jù)帶電粒子在磁場中圓運動軌跡與粒子離開磁場后的直線軌跡結(jié)合， 尋找?guī)缀侮P(guān)系，列出相應(yīng)關(guān)系式。解題中要注意以下兩點：一是圓心的確定， 因為洛侖茲力F⊥v ，畫出圓軌跡上的任意兩點（一般為進入和射出磁場的兩點）的洛侖茲力的方向，其延長線交點即為圓心；二是半徑的計算， 一般利用幾何知識解直角三角形。

同步訓(xùn)練

1.在邊長為2a的等邊△ABC內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，有一帶正電q，質(zhì)量為m的粒子從距A點3a的D點垂直AB方向進入磁場，如圖5所示，若粒子能從AC間離開磁場，求粒子速率應(yīng)滿足什么條件及粒子從AC間什么范圍內(nèi)射出。

2.一質(zhì)量為m ，帶電量為q的粒子，以速度v0 從O點沿y軸正方向射入磁感強度為B的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向夾角為30°，如圖6所示，不計粒子重力，求：

（1）圓形磁場區(qū)域的最小面積；

（2）粒子從O進入磁場區(qū)域到達b所經(jīng)歷的時間及b的坐標(biāo)。

3. 如圖7所示，A、B為水平放置的足夠長的平行板，板間距離為d =1.0×10－2m，A板中央有一電子源P ，在紙面內(nèi)能向各個方向發(fā)射速度在0 ~ 3.2×107 m/s 范圍內(nèi)的電子，Q為P點正上方B板上的一點，若垂直紙面加一勻強磁場，磁感應(yīng)強度B = 9.1×10－3T，已知電子的質(zhì)量m = 9.1×10－31kg，電子電量e= 1.6×10－19C，不計電子重力和電子間的相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到大地。求：

（1）沿PQ方向射出的電子擊中B兩板上的范圍；

（2）若從P點發(fā)出的粒子能恰好擊中Q點，則電子的發(fā)射方向（用圖中θ角表示）與電子速度的大小v之間應(yīng)滿足的關(guān)系。

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“帶電粒子在磁場中運動的邊界問題”答案

1.3（2－3）aqB/m＜ v ≤ aqB/m ，粒子距A點（23－3）a ～3a 的區(qū)間射出。

2.（1）3πm2v02/4q2B2

(2) t = (33+2π) m / 3qB ，

xp = 3 m v0 /qB，

yp = 0

3.（1）與Q點相距 2.7×10－3m～1.0×10－2m 

(2)vsinθ=8×106m/s`