一、模型簡(jiǎn)介

Merton提出了下面的股票價(jià)格模型

dStSt-=(θ-λμ)dt+σdWt+d(∑Nti=1(eXt-1))(1)

這里θ，σ，λ，μ均為常數(shù)，其中θ為股票的期望收益率，σ為無(wú)跳情形下股票波動(dòng)率，μ為股票價(jià)格的預(yù)期跳躍百分比，即μ=E(eX-1)，Nt為強(qiáng)度λ的Poisson過(guò)程，λ也即瞬時(shí)發(fā)生率。令

Yt=∑Nti=1(eXi-1)，Ji=eXi-1，i=1，2，……(2)

則Yt為復(fù)合Poisson過(guò)程，這里要求J1，J2，……獨(dú)立同分布，Xi∈(-∞，+∞)，且與Poisson過(guò)程N(yùn)t獨(dú)立，另外，模型（1）還要求Yt與布朗運(yùn)動(dòng)Wt相互獨(dú)立。

命題1. 設(shè)dX(t)=u(t)dt+θ(t)dW(t)+v(t)dY(t)為半鞅，其中Yt=∑Nti=1Ji；u(t)，θ(t)為Ft適應(yīng)過(guò)程，v(t)為Ft可料過(guò)程。則

f(X(t))-f(X(0))=∫t0[f′(X(s-))u(s)+12f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0f′(X(s-))θ(s)·dW(s)+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)].

證明：設(shè)τ1＜τ2＜…＜τn＜…是N(t)的跳躍時(shí)間，則由半鞅It公式得

f(X(t))-f(X(0))=∫t0f′X(s-))dX(s)+12∫t0f″(X(s-))d＜X，X＞c(s)+∑0＜s≤t{f(X(s))-f(X(s-))-f′(X(s-))ΔX(s)}

令X(t)=A(t)+B(t)，使得

dA(t)=u(t)dt+θ(t)dW(t)，dB(t)=v(t)dY(t)

則(t)=(t)+(t)=[A，A](t)+(t)

(t)=<∫0v(s)dY(s)，∫0v(s)dY(s)>9t)=∫t0v2(s)d(s)

由于Yt=∑Nti=1Ji為有限變差半鞅，因此c=0

dc(s)=d[A，A]c(s)+v2(s)dc(s)=θ2(s)ds

f(X(t))-f(X(0))=∫t0f′(X(s-))dX(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∑N(t)i=1[f(X(τi))-f(X(τi-))]-∑N(t)i=1f′(X(τi-))[X(τi)-X(τi-]

=∫t0f′(X(s-)dX(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)-∫t0f′(X(s-))[X(s)-X(s-)]dN(s)]

=∫t0f′(X(s-))u(s)ds+∫t0f′(X(s-))θ(s)dW(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)

根據(jù)這個(gè)命題，我們可以求得股票價(jià)格過(guò)程St的表達(dá)式。事實(shí)上，由(1)可得

dlnSt=[(θ-λμ)-12σ2]dt+σdWt+lnStSt-dNt

lnStS0=[(θ-λμ)-12σ2]t+σWt+∑Nti=1Xi

因此St=S0exp{[θ-λμ)-12σ2]t-σWt}∏Nti=1eXi（3）

命題2.令Zm(t)=∏Nti=1Jmi，J1，J2，……獨(dú)立同分布于J，且與強(qiáng)度為λ的Poisson過(guò)程N(yùn)t獨(dú)立，則E[Zm(t)]=exp{-λt(1-E[Jm]}.

證明：E[Zm(t)]=∑∞n=0P(Nt=n)E[∏Nti=1Jmi|Nt=n]

=∑∞n=0P(Nt=n)E[∏ni=1Jmi]

=∑∞n=0(λt)nn!e-λt·（E[Jm])n

=e-λt∑∞n=0(λtE[Jm)]nn!

=e-λt·exp(λtE[Jm]

根據(jù)這個(gè)命題和公式(3)，我們可以得出

E(St)=S0exp{[(θ-λμ)-12σ2]t}E[eσWt]·E（∏Nti=1eXi)

=S0exp{[(θ-λμ)-12σ2]t}e12σ2t·eλμt=S0eθt

E(S2t)=S20exp{[(θ-λμ)-12σ2]2t}E[e2σWt]·E（∏Nti=1e2Xi)

=S20exp{[(θ-λμ)-12σ2]2t}e2σ2t·exp{-λt(1-E[e2X])}

=S20exp{2t(θ-λμ+12σ2)+λt(E[e2X]-1)}

Var(St)=E(S2t)-(E(St))2

=S20e2θt{exp(σ2t-2λμ+λtE[e2X]-λt)-1}

由此可以看出，股票價(jià)格期望與無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，Merton(1976)模型股票價(jià)格期望在有跳和無(wú)跳的情況下都相等，然而其方差卻有變化。

二、對(duì)沖投資組合的存在性

到目前為止，關(guān)于歐式看漲期權(quán)定價(jià)的著名的Black-Scholes方程已經(jīng)有許多推導(dǎo)方法。然而，所有這些推導(dǎo)方法實(shí)質(zhì)上可以分為兩類：Call（表示看漲期權(quán)）復(fù)制方法和Bond（表示短期債券）復(fù)制方法。在Black-Scholes情形中，可以用這兩類方法分別構(gòu)造自融資投資組合Θt=αtSt+βtBt和對(duì)沖投資組合（表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)自融資投資組合），∏t=atSt-btC然后運(yùn)用無(wú)套利原理，最終推導(dǎo)出Black-Scholes公式。

對(duì)于Merton(1976)模型，為了探討是否存在一個(gè)相似的投資組合，按完全對(duì)沖的方法，可以推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格滿足的方程為

Ct+σ22S22CS2+(r-λμ)SCS-rC+λE[C(SeX，t)-C(S，t)]=0.(4)

Merton以股票S，期權(quán)C和債券B的線性組合構(gòu)造了投資組合，然后用反證法給出了否定的答案。另外，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)是跳躍的時(shí)候，用一種期權(quán)，進(jìn)行完全無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖是不可能的。

命題3. 設(shè)Yt=∑Nti=1Ji為一復(fù)合Poisson過(guò)程，J1，J2，……獨(dú)立同分布，且與強(qiáng)度為λ的Poisson過(guò)程N(yùn)t獨(dú)立，那么Yt有平穩(wěn)獨(dú)立增量。并且，若EJ1=μ，則Mt=∑Nti=1Ji-λμt是Ft鞅。

下面我們來(lái)證明第二個(gè)結(jié)論：

要證Mt=∑Nti=1Ji-λμt是鞅，只需證對(duì)任意s＜t，有

E(∑Nti=1Ji-λμt|Fs)=∑Nsi=1Ji-λμs這里Fs=σ{Yt，t≤s}

即證E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=λμ(t-s)

然而E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji)=E(∑Nti=1Ji)-E(∑Nsi=1Ji

可知，E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=λμ(t-s)

因此Mt=∑Nti=1Ji-λμt是Ft鞅。

接下來(lái)僅用Call復(fù)制方法來(lái)證明不存在這樣的自融資投資組合（Bond復(fù)制方法與此類似）使得公式（4）成立。由于股票價(jià)格的跳躍點(diǎn)為可列個(gè)間斷點(diǎn)，因此以概率為1，投資者選擇對(duì)沖的時(shí)刻點(diǎn)是股票價(jià)格的連續(xù)點(diǎn)。在股票價(jià)格的某一連續(xù)時(shí)刻t，即St=St-，我們假設(shè)存在自融資投資組合Θt=αtSt+βtBt=αtSt-+βtBt，令C=C(St，t)，在T時(shí)刻有ΘT=CT.

由于市場(chǎng)無(wú)套利，故對(duì)任意的t，有

Θt=αtSt+βtBt=C(St，t)(5)

記S=St-，由It公式得

dΘt=αtdSt+rβtBtdt=αtS[(θ-λμ)dt-σδWt+d(∑Nti=1(eXi-1))]+r(C-αtS)dt

=rCdt+αtS(θ-r)dt+αtSσdWt+αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]

另一方面，由命題1得

dC=Ctdt+[CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2]dt+CSσSdWt+［C(St，t)-C(S，t)］dNt

而由(3)式可得

dC=[Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2]dt+CSσSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])=(Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2+λE[C(SX，t)-C(S，t)]dt

另外

(Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2+λE[C(SeX，t)-C(S，t)])dt+CSσSdWt+d(∑Nti=1[C(SXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt=rCdt+αtS(θ-r)dt+αtσSdWt+αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]

整理得

{Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2-rC+λE[C(SeX，t)-C(S，t)-αtS(θ-r)]}dt+(CS-αt)σSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]=0(6)

根據(jù)命題3，(6)式中

Ut≡∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)]-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]t

Vt≡∑Nti=1(eXi-1)-λμt

均為Ft鞅，另外布朗運(yùn)動(dòng)Wt也是Ft鞅。因此，要使(6)式無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，則必須有

(CS-αt)σSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]≡0

進(jìn)一步有

(CS-αt)σSdWt=0αt=CS(7)

并且跳躍風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)

d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]≡0

此時(shí)，（6）式變?yōu)?/p>

{Ct+CS(r-λμ)S+122CS2σ2S2-rC+λE[C(SeX，t)-C(S，t)]}dt+d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)])-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-CSS[d(∑Nii=1(eXi-1))-λμdt]=0

然而，跳躍風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)

d(∑Nti=1[C(SeXi，t)-C(S，t)]-λE[C(SeX，t)-C(S，t)]dt-CSS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]≡0

不成立。因此，(6)式的風(fēng)險(xiǎn)無(wú)法消除。這樣自融資投資組合Θt=αtSt+βtBt不存在。也就是說(shuō)，不論是用Call復(fù)制方法還是用Bond復(fù)制方法，采用完全對(duì)沖的方法，是無(wú)法得出公式(4)的。換言之，該模型不存在對(duì)沖投資組合。

三、關(guān)于Merton(1976)方程的解

Merton(1976)證明該模型期權(quán)價(jià)格滿足的方程(7)的解為

C（S，t)=∑∞n=0exp(-λτ)(λτ)nn!En{W[SYnexp(-λμτ)，τ;K，σ2，r]}(8)

事實(shí)上，由(11)式知，Merton(1976)模型與標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型有許多相同的性質(zhì)。比如說(shuō)，它們對(duì)S，K，σ2，r有相同的單調(diào)性。由于該模型的重要性，它后來(lái)又派生出多種帶跳金融模型，如近年來(lái)的雙指數(shù)跳模型。由于篇幅等原因，我就不在這里贅述了。

(作者單位：南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文