陳長青，解永春

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)實驗室北京100190）

最優(yōu)沖量交會的研究進(jìn)展

陳長青1，2，解永春1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)實驗室北京100190）

對最優(yōu)沖量交會的研究進(jìn)展進(jìn)行綜述，介紹最優(yōu)沖量交會中四類比較典型的研究成果：基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會、Lambert最優(yōu)沖量交會、利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會和基于鄰近圓軌道交會理論的最優(yōu)沖量交會，并分析這些類型的最優(yōu)交會的特點(diǎn)。

最優(yōu)沖量交會；沖量校正理論；Lambert交會；鄰近圓軌道交會

1 引 言

從上世紀(jì)50年代開始，有大量的文獻(xiàn)給出交會對接的軌跡優(yōu)化設(shè)計方案。按交會時間可以分為時間不限、時間受限和固定時間這三類交會問題。對時間不限的交會的研究集中在交會對接研究的初期；時間受限的交會問題需要對燃料消耗與交會時間進(jìn)行折衷；從上世紀(jì)60年代開始，交會對接中軌跡優(yōu)化的研究多數(shù)集中在固定時間交會上。交會對接軌跡優(yōu)化研究中的動力學(xué)方程有線性動力學(xué)方程和非線性動力學(xué)方程兩大類，其中比較常用的動力學(xué)方程有CW方程、Lambert方程、T-H方程、基于圓柱坐標(biāo)系的無量綱化方程和Kepler運(yùn)動方程等。按推力器的形式劃分有沖量交會、有限推力交會和常推力交會等。利用沖量實現(xiàn)交會對接的軌跡優(yōu)化問題一般建立在最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上，通過選擇合適的沖量完成交會任務(wù)，一般稱為最優(yōu)沖量交會問題。

最優(yōu)沖量交會問題一般寫成如下的形式：

式中，R，V分別為交會中的相對位置和相對速度矢量，U為所施加控制力提供的加速度，G為中心引力差產(chǎn)生的加速度。在沖量制導(dǎo)時，第k次施加沖量用Uk表示

式中，τk為第k次沖量時對應(yīng)的交會時間，ΔVk為該時刻的速度增量矢量，δ（τ-τk）為狄拉克函數(shù)。則性能指標(biāo)J可以表示為

在初末相對位置和相對速度已知的情況下，這是一個典型的最優(yōu)控制問題。但是即使是利用線性方程描述的交會對接過程，其最優(yōu)交會解也不容易得到。1963年，Lawden基于方程（1）給出了最優(yōu)沖量交會的必要條件，1968年，Lion和Handelsman在Lawden的理論基礎(chǔ)上，提出了一種沖量校正理論，通過增加中間沖量、初始漂移、末端漂移或減少中間沖量實現(xiàn)對非最優(yōu)軌跡的燃料優(yōu)化[1]，在上述理論的基礎(chǔ)上，不少學(xué)者對最優(yōu)沖量交會問題進(jìn)行了深入研究。

文獻(xiàn)[2-6]綜述交會對接軌跡優(yōu)化問題，但沒有文獻(xiàn)對最優(yōu)沖量交會問題進(jìn)行綜述，特別是按最優(yōu)沖量交會的成果進(jìn)行分類綜述。下面介紹最優(yōu)沖量交會中一些比較典型的成果，包括基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會、Lambert最優(yōu)沖量交會、基于數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會和基于鄰近圓軌道交會理論的最優(yōu)沖量交會。

2 最優(yōu)沖量交會的研究現(xiàn)狀

2.1 基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會

文獻(xiàn)[1]把Lawden的最優(yōu)沖量交會的必要條件延伸到對非最優(yōu)軌跡的改進(jìn)上，給出了通過校正沖量減小燃料消耗的準(zhǔn)則，包括增加中間沖量的準(zhǔn)則、消除某個中間沖量的準(zhǔn)則以及是否讓軌跡存在初始或末端漂移的準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則都是建立在對基向量模值分析的基礎(chǔ)上。基向量模值隨時間變化的關(guān)系有如下幾種典型類型，如圖1所示。

圖1 基向量模值隨時間變化的幾種典型圖形

圖1中橫坐標(biāo)為交會時間t，縱坐標(biāo)|p|為基向量的模值，虛線部分表示基向量的模值等于1，即|p|=1。其中圖1（a）滿足Lawden的最優(yōu)沖量交會的必要條件；圖1（b）在中間的某些時刻存在基向量模值大于1的情況，即在模值取最大值的時刻增加一個中間沖量可以實現(xiàn)燃料優(yōu)化；圖1（c）中，在初始的一段時間內(nèi)存在基向量模值大于1的情況，通過一段初始漂移后再施加沖量的制導(dǎo)策略可以節(jié)省燃料；類似地在圖1（d）中，施加最后一個沖量后，再自由漂移一段時間的制導(dǎo)策略可以減少燃料的消耗；消除某個中間沖量以實現(xiàn)燃料優(yōu)化的沖量校正準(zhǔn)則是建立在對一些指標(biāo)函數(shù)的判斷基礎(chǔ)上的。

在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，其他學(xué)者針對直接發(fā)射交會、逃逸、“合作”交會和路徑約束下的交會等實際問題，利用不同的動力學(xué)方程研究在不同交會時間和初末相對條件下的最優(yōu)沖量交會問題，給出沖量解的性質(zhì)和一些其他的結(jié)論。文獻(xiàn)[7]針對非轉(zhuǎn)動的球形行星上固定時間直接發(fā)射的沖量交會問題，利用沖量校正理論，研究了軌道傾角、目標(biāo)航天器軌道半徑和目標(biāo)航天器初始相位角給定的情況下，交會時間不同時的雙沖量最優(yōu)交會模式與三沖量最優(yōu)交會模式的燃料消耗。文獻(xiàn)[8]討論一類直接發(fā)射的固定時間多沖量攔截問題，目標(biāo)航天器軌道為圓軌道，追蹤航天器所在的行星包含轉(zhuǎn)動和非轉(zhuǎn)動兩種類型，討論了存在漂移的單沖量和雙沖量轉(zhuǎn)移策略。文獻(xiàn)[9]在探討固定時間鄰近圓軌道平面內(nèi)的沖量交會和一類受限制的非平面多沖量交會中，研究了軌道高度差和初始相位角差確定，交會時間不同時對應(yīng)的最優(yōu)沖量交會模式的性質(zhì)，其研究成果可以應(yīng)用在對交會時間和燃料消耗進(jìn)行折中的救生操作和避碰機(jī)動任務(wù)上。文獻(xiàn)[10]針對逃逸中的多沖量交會問題，利用三沖量交會策略實現(xiàn)了追蹤航天器離開目標(biāo)航天器-靠近目標(biāo)航天器-制動使之與目標(biāo)航天器狀態(tài)一致的交會過程，利用沖量校正理論，增加中間沖量可以大大減少燃料的消耗。文獻(xiàn)[11-12]研究了一類兩個航天器都可以機(jī)動的“合作”交會問題，給出了固定時間多沖量最優(yōu)交會解，仿真結(jié)果表明該交會策略比只有追蹤航天器能機(jī)動的制導(dǎo)策略節(jié)省燃料，且大幅度擴(kuò)大了交會過程中初始條件的范圍，該結(jié)果可以廣泛應(yīng)用于對時間要求苛刻的救生任務(wù)上。文獻(xiàn)[13-14]研究了一類存在最大最小路徑約束的固定時間多沖量交會問題，利用沖量校正理論給出最優(yōu)沖量交會解。文獻(xiàn)[15]在研究一種衛(wèi)星相位保持的多沖量次優(yōu)控制中，考慮攝動和截斷誤差等對控制的影響，在求解多沖量最優(yōu)解的基礎(chǔ)上增加了中間修正沖量，仿真結(jié)果表明該制導(dǎo)策略具有很好的魯棒性。

利用沖量校正理論求解最優(yōu)沖量交會是一種求解最優(yōu)交會問題的方法，它是建立由最優(yōu)沖量交會必要條件推廣所得到的沖量校正理論上的，可以應(yīng)用于不同的動力學(xué)方程，由于它概念清晰，方法簡單，得到廣泛的應(yīng)用。

2.2 Lam bert最優(yōu)沖量交會

Lambert理論最初是用來解決軌道確定問題的，如圖2，已知衛(wèi)星在初末時刻對應(yīng)的位置矢量分別為r1和r2，兩個矢量之間的夾角為θ，兩個位置之間的弦長為c，相隔的時間為tF-t0，利用Lambert定理可以確定衛(wèi)星轉(zhuǎn)移軌道的軌道半長軸，進(jìn)一步還可以確定其他軌道參數(shù)。Lambert問題的求解一般用普適法[16]，近些年來還有不少文獻(xiàn)對Lambert問題的求解進(jìn)行探討。文獻(xiàn)[17-18]提出一種新的解超越方程的計算方法，提高Lambert問題的求解速度。文獻(xiàn)[19]研究利用Lagrange方法求解Lambert問題的經(jīng)典公式中兩個中間角變量的幾何特點(diǎn)，這兩個變量與末端的半徑矢量r2以及轉(zhuǎn)移軌道的軌道半長軸有關(guān)。

圖2 Lambert問題

在交會對接研究的初期，一般利用Lambert方程描述在給定交會時間下，從追蹤航天器軌道轉(zhuǎn)移到目標(biāo)航天器軌道的交會過程中的沖量求解問題。近些年來，Lambert交會已經(jīng)成為一個獨(dú)立的分支。文獻(xiàn)[20]在研究圓軌道交會中，提出一種多圈Lambert最優(yōu)雙沖量交會的求解方法。其求解過程包含：（1）根據(jù)|r1|+|r2|、c和交會時間T確定滿足交會要求的最大的圈數(shù)Nmax；（2）畫出交會時間與半長軸的對應(yīng)圖形，圖3為其中的一個特例，可以看到虛線表示的直線縱坐標(biāo)為交會時間T，它與Nmax+1條滿足交會要求的曲線存在2Nmax+1個交點(diǎn)，即存在2Nmax+1個轉(zhuǎn)移軌道滿足交會條件。在求解2Nmax+1個轉(zhuǎn)移軌道的基礎(chǔ)上，可以求得2Nmax+1個的燃料消耗ΔV；通過基向量最優(yōu)交會的必要條件確定滿足最優(yōu)交會的解。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[21-22]利用ΔV與轉(zhuǎn)移軌道半長軸a的關(guān)系，提出一種不需要計算2Nmax+1個轉(zhuǎn)移軌道而直接獲得最優(yōu)雙沖量交會解的方法，并應(yīng)用到星座交會的制導(dǎo)上。文獻(xiàn)[23]綜合文獻(xiàn)[20]和[22]的結(jié)論，把2Nmax+1個交會解以及ΔV與轉(zhuǎn)移軌道半長軸a的關(guān)系畫在同一個圖上，通過圖形可以直接得到燃料最省的多圈Lambert最優(yōu)交會解。文獻(xiàn)[24]研究航天器交會中的Lambert問題，闡述轉(zhuǎn)移軌道的幾何特性與轉(zhuǎn)移軌道的類型，分析轉(zhuǎn)移時間與轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)及變軌速度增量之間的關(guān)系。

圖3 多圈Lambert交會

其他研究Lambert最優(yōu)沖量交會的文獻(xiàn)有：文文獻(xiàn)[25]針對遠(yuǎn)程導(dǎo)引段，提出一種滿足遠(yuǎn)程導(dǎo)引對測控、日照、燃料和時間等各種要求的Lambert變軌方案。文獻(xiàn)[26]在文獻(xiàn)[25]的基礎(chǔ)上提出新的基于普適法的多圈Lambert變軌的求解方法。文獻(xiàn)[27]利用遺傳算法研究了初始位置和轉(zhuǎn)移時間不固定的Lambert雙沖量軌道轉(zhuǎn)移的數(shù)值解。

Lambert最優(yōu)沖量交會是一種特殊的動力學(xué)方程描述的交會問題，由于Lambert方程能比較準(zhǔn)確的描述各種交會運(yùn)動，所以得到廣泛的應(yīng)用。近年來，以Prussing為代表的一些學(xué)者對這類制導(dǎo)策略進(jìn)行比較深入的研究，形成了一套獨(dú)立的基于多圈Lambert交會的雙沖量制導(dǎo)理論[20-24]。

2.3 利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會

在求解最優(yōu)沖量交會時，把性能指標(biāo)當(dāng)作優(yōu)化函數(shù)，把邊界值條件和其他交會制約條件當(dāng)作約束條件，則可以把最優(yōu)交會化成優(yōu)化問題，利用數(shù)值解法進(jìn)行求解。這種方法的研究思路清晰，對于一個確定的交會問題，利用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法很容易就可求得最優(yōu)沖量解，這種求解方法可以應(yīng)用于包括非線性方程在內(nèi)的不同的動力學(xué)方程描述的交會問題上。文獻(xiàn)[6]采用非直接法和直接法綜述了1998年之前利用數(shù)值方法進(jìn)行軌跡優(yōu)化的研究成果。非直接法一般需要求解存在多個平衡點(diǎn)的非線性邊界值問題，存在難以推導(dǎo)最優(yōu)軌跡的必要條件、收斂域比較小和一些約束不容易描述等缺點(diǎn)，而直接法利用一些狀態(tài)變量代替控制變量，直接利用打靶法或非線性規(guī)劃等數(shù)值方法來求解。

國內(nèi)也有不少學(xué)者利用數(shù)值方法研究交會對接中的軌跡優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[28]針對沖量固定點(diǎn)交會中的一些具體問題，提出一種兩層動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化算法，并利用這種算法，推導(dǎo)出使共面橢圓軌道上兩個航天器在固定點(diǎn)交會且燃料最省的多沖量推力計算方法。文獻(xiàn)[29-30]利用遺傳算法研究CW方程描述的雙沖量最優(yōu)交會。文獻(xiàn)[31]利用遺傳算法研究CW方程描述的固定時間多沖量最優(yōu)交會，并提出一種誤差修正方法提高制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[32]利用多階段二維動態(tài)規(guī)劃對沖量交會進(jìn)行研究，得到兩沖量和三沖量最優(yōu)交會解。文獻(xiàn)[27]利用遺傳算法研究了初始位置和轉(zhuǎn)移時間不固定的Lambert雙沖量軌道轉(zhuǎn)移的數(shù)值解。文獻(xiàn)[33-34]在研究多目標(biāo)最優(yōu)交會中，把兩個航天器的最小交會距離作為其中的一個約束目標(biāo)，保證求得的軌跡是安全的。

基于數(shù)值方法求解的最優(yōu)沖量交會是求解最優(yōu)交會問題的一種方法，可以應(yīng)用于不同動力學(xué)方程描述的最優(yōu)沖量交會上，有廣泛的應(yīng)用前途。

2.4 基于鄰近圓軌道交會理論的最優(yōu)沖量交會

Prussing[35-36]的鄰近圓軌道固定時間多沖量最優(yōu)交會理論是上世紀(jì)60年代末軌跡優(yōu)化研究中最突出的成果之一。Prussing針對于鄰近圓軌道的軌道平面內(nèi)的交會問題，選擇兩圓形軌道的中間軌道建立參考坐標(biāo)系，利用線性方程下共軛變量與狀態(tài)變量的解耦性，分別對基向量和邊界值問題進(jìn)行求解，完成了最優(yōu)交會中沖量時刻、沖量方向和沖量大小的求解，可以得到四沖量、三沖量、雙沖量及相應(yīng)的漂移模式等幾種最優(yōu)交會模式，且這些模式在不同的初始條件和交會時間下有確定的分布，如圖4。在此基礎(chǔ)上部分國內(nèi)外學(xué)者對其理論進(jìn)行延伸。文獻(xiàn)[37]選擇平均速率參考軌道，重復(fù)了Prussing的工作，克服了中間軌道上建立參考坐標(biāo)系存在的兩個弊端：（1）交會結(jié)束時參考系原點(diǎn)與交會點(diǎn)沒有很直觀的關(guān)系；（2）對于初始相位角差比較大的交會，可能有比較大的制導(dǎo)誤差。文獻(xiàn)[38-39]利用四沖量最優(yōu)交會模式具有的對稱性，提出一種基于二次方程組計算的四沖量最優(yōu)交會模式的求解方法，簡化了四沖量最優(yōu)交會模式的求解過程。

圖4 最優(yōu)交會模式分布圖

文獻(xiàn)[40]給出了利用線性方程描述的最優(yōu)沖量交會的兩個結(jié)論，即最優(yōu)交會的必要條件同時滿足充分條件，線性沖量最優(yōu)交會中沖量的最大個數(shù)等于狀態(tài)變量的個數(shù)。文獻(xiàn)[41-42]在沒有利用最優(yōu)控制理論和優(yōu)化理論下完成了對線性最優(yōu)沖量交會中最優(yōu)解存在的充分、必要條件的證明，以及最大沖量解個數(shù)等于狀態(tài)變量個數(shù)結(jié)論的證明。文獻(xiàn)[43]引入基向量的二階導(dǎo)數(shù)給出最優(yōu)交會新的必要條件和充分條件，該條件只需要對一些特殊點(diǎn)進(jìn)行求解判斷。

在國內(nèi)也有不少學(xué)者在Prussing最優(yōu)交會理論的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究沖量最優(yōu)交會。文獻(xiàn)[44-45]在目標(biāo)航天器質(zhì)心建立參考系，研究CW方程下的四沖量最優(yōu)交會及其應(yīng)用；文獻(xiàn)[46]選擇中間參考軌道建立參考系，探討了三沖量最優(yōu)交會；文獻(xiàn)[47]研究了CW方程下，遠(yuǎn)距離接近段中的四次、三次、二次最優(yōu)沖量解作用時間和沖量幅值的求解算法。

鄰近圓軌道最優(yōu)交會理論是建立在最優(yōu)沖量交會必要條件基礎(chǔ)上的，由于該理論能給出在具體的初末狀態(tài)和交會時間下全局的最優(yōu)沖量交會模式，而且把基向量和邊界值問題分開求解，其沖量求解方法概念清晰、求解方法簡單，受很多學(xué)者的推崇。

2.5 最優(yōu)沖量交會的一些其他問題

其他還有不少文獻(xiàn)也研究最優(yōu)沖量交會，例如探討控制算法在最優(yōu)沖量交會上的應(yīng)用，利用軌道根數(shù)描述的最優(yōu)沖量交會等。這些研究成果還沒有比較成型的結(jié)論，離應(yīng)用和推廣還有一定距離。

國內(nèi)對最優(yōu)交會的研究一般建立在CW方程的基礎(chǔ)上。文獻(xiàn)[48]研究了固定時間下燃料最省的多沖量交會問題，利用拉格朗日乘子法求得燃料最省時各沖量的時間、大小及方向。文獻(xiàn)[49]在文獻(xiàn)[48]的基礎(chǔ)上，適時引入當(dāng)前的狀態(tài)和誤差信息，利用閉環(huán)控制提高制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[50-51]研究交會對接中的雙沖量最優(yōu)交會問題，通過搜索合適的交會時間使得燃料得到優(yōu)化。文獻(xiàn)[52]在文獻(xiàn)[50-51]的基礎(chǔ)上，研究第一個沖量時刻不確定時的雙沖量最優(yōu)交會策略。文獻(xiàn)[53]推導(dǎo)了CW方程下多沖量變軌的一般方法，并研究雙沖量變軌的燃料消耗情況，提出在雙沖量變軌條件下的“不可達(dá)點(diǎn)”及其附近的“高耗能區(qū)域”，并給出了相應(yīng)的物理解釋。

3 結(jié)束語

本文重點(diǎn)闡述了最優(yōu)沖量交會中比較典型的研究成果。

（1）基于沖量校正理論的最優(yōu)沖量交會和利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)交會是求解最優(yōu)沖量交會問題的兩種典型的方法，只要計算時間允許以及描述交會過程的動力學(xué)方程已知，利用這兩種方法可以解決所有的交會問題，但是這兩種方法在工程應(yīng)用時，如何既迅速又準(zhǔn)確的得到最優(yōu)交會解，以及物理概念方面還需要作進(jìn)一步的研究。

（2）Lambert最優(yōu)沖量交會是在Lambert方程基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種交會類型，目前已形成了一套獨(dú)立的基于Lambert交會的兩沖量交會理論，但是在三沖量、四沖量等交會問題上是否有類似的結(jié)論還有待于驗證。

（3）基于鄰近圓軌道的最優(yōu)交會是針對兩個相鄰的圓軌道交會問題，能給出在不同交會時間和初末條件下最優(yōu)沖量模式的分布情況，可以用來指導(dǎo)最優(yōu)交會模式的設(shè)計。其中兩沖量、四沖量交會模式由于算法簡單得到了廣泛的應(yīng)用。但是對于帶漂移的最優(yōu)交會模式，目前文獻(xiàn)中還沒有給出簡單、有效的求解方法。在橢圓軌道交會上，是否存在類似的分布，利用文獻(xiàn)[35-36]的方法是否能解決問題，都還需要進(jìn)行深入的研究。

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Development of Optimal Impulsive Rendezvous

CHEN Changqing，XIE Yongchun
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Laboratory of Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

The development of optimal impulse rendezvous is reviewed in this paper.The optimal impulse rendezvous based on the criterion of impulse modifying，Lambert optimal rendezvous，the optimal impulse rendezvous solved by numerical methods and the optimal impulse rendezvous based on the theory of optimal rendezvous between neighboring circular orbits are introduced.And then the characters of these optimal impulse rendezvous are analyzed.

optimal rendezvous；criterion of impulse modifying；Lambert rendezvous；optimal rendezvous between neighboring circular orbits

V526

A

1674-1579（2008）06-0018-06

*國家自然科學(xué)基金資助項目（90305024）.

2008-08-12

陳長青（1979-），男，福建人，博士研究生，研究方向為交會對接的制導(dǎo)技術(shù)（e-mail：changqingchen@hotmail.com）。