畢　艷　趙書江

兩千多年前的教育家孔子曾經(jīng)說過：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.”意思是說，一個(gè)人學(xué)習(xí)，如果只知死記硬背，而不加以思考、消化，那他就毫無收獲.圖1是證明勾股定理的常用圖形，實(shí)質(zhì)是：分別以一直角三角形的兩條直角邊長為邊長的兩個(gè)正方形的面積之和等于以斜邊長為邊長的正方形的面積.它是證明勾股定理的有力依據(jù).那么，如果把圖中的正方形換為其他圖形，會(huì)得到什么結(jié)論呢？

思索1：把圖1中的正方形換成正三角形，那么，分別以兩直角邊長為邊長的正三角形面積之和是否等于以斜邊長為邊長的正三角形的面積呢？

探究：如圖2，△ABC中，∠C=90°，△ABD、△BCE、△ACF均為正三角形.判斷S△ＢＣＥ+S△ACF是否等于S△ABD.

因?yàn)椤鰽BD、△BCE、△ACF均為正三角形，所以由正三角形面積公式知，S△ABD=AB2，S△ACF=AC2，S△BCE=BC2.Ｓ△ACF+Ｓ△BCE=AC2+BC2=·（AC2+BC2），又因?yàn)锳C2+BC2=AB2，所以S△ABD=S△ACF+S△BCE.

思索2：圖1、圖2中分別是正方形和正三角形，如果換成正六邊形，是否有相應(yīng)的結(jié)論呢？

探究：如圖3，△ABC中，∠C=90°，六邊形ABDEFG、六邊形BCHMNP、六邊形CAOQRT均為正六邊形.判斷S2＋S３＝S１ 是否成立．

因?yàn)槊總€(gè)正六邊形均由六個(gè)全等的正三角形組成，所以其面積為Ｓ＝６×ａ２（ａ表示正六邊形的邊長）.故S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2.S2+S3=BC2+AC2=·（BC2+AC2）.又因?yàn)锳C2+BC2=AB2，所以S1=S2+S3.

思索3：再向前推進(jìn)一步，就是以直角三角形各邊長為邊長作正n邊形，是否有類似的結(jié)論呢？

回答是肯定的，因?yàn)檎齨邊形的面積與其邊長的平方都有類似的關(guān)系.由于現(xiàn)在所學(xué)知識(shí)及篇幅所限，思索3的問題留給讀者自己探究.

思索1至思索3，由課本中一幅圖經(jīng)過修改得出一系列的結(jié)論或者說更一般的結(jié)論.如果對(duì)于課本的每一題都如此這般進(jìn)行思考，同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一定會(huì)有很大的提高.思維在人們認(rèn)識(shí)客觀世界、進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造中具有重要的作用.古今中外成功者的事例無不證明了這一點(diǎn).牛頓思考蘋果落地發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，波義爾思考紫羅蘭發(fā)明了指示劑……一個(gè)人從接受知識(shí)到運(yùn)用知識(shí)，實(shí)際上就是一個(gè)記與識(shí)、學(xué)與思的過程.學(xué)是思的基礎(chǔ)，思是學(xué)的深化，這正如人攝取食物一樣．只學(xué)不思，那是不加咀嚼，囫圇吞棗，食而不化，難以吸收，所學(xué)知識(shí)無法為“己有”.只有學(xué)而思之，才能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通.

如圖4，分別以直角三角形三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示.確定S1、S2、S3之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文