李光紅

星期二下午的數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，我在黑板上畫了4個(gè)圖，每個(gè)圖中都有8個(gè)數(shù)字，如圖1.

同學(xué)們都很納悶，不知道這幾個(gè)表有什么用.

這時(shí)，我說：“我們先來做一個(gè)猜數(shù)字的游戲.”

同學(xué)們一聽要做游戲，就來勁兒了，教室里立刻響起一片掌聲.

我接著說：“同學(xué)們，你們先想好1~15中的一個(gè)整數(shù)，然后告訴我都有哪幾個(gè)圖上顯示了這個(gè)數(shù)，我就能說出你想的數(shù)字是幾.”

王浩同學(xué)首先發(fā)言：“我想好的數(shù)字在（1）（2）（3）中都有，在（4）中沒有.”

我很快報(bào)出：“你想的數(shù)字是14.”王浩吃驚地答道：“是的.”

接著，陳亮同學(xué)發(fā)言：“我想好的數(shù)字在（2）（3）中有，在（1）（4）中沒有.”

我又準(zhǔn)確地說出：“你想的數(shù)字是6.”陳亮點(diǎn)頭表示正確.

又有幾位同學(xué)發(fā)言，我都準(zhǔn)確無誤地說出了他們想的數(shù)字.

大家都感到驚奇，只有班上的“數(shù)學(xué)王子”劉濤一直沒有說話，這時(shí)他舉起了手，說：“我看這個(gè)游戲并沒有什么新奇的地方，只要仔細(xì)按要求找一下就可以確定所想的數(shù)了.而且，因?yàn)槊總€(gè)圖只有‘有和‘無兩種狀態(tài)，所以共有2 × 2 × 2 × 2 = 16種‘有無情況，去掉‘全無的1種情況，共有15種‘有無情況，如14對應(yīng)于‘有有有無，6對應(yīng)于‘無有有無等.”教室里又響起了掌聲.

這時(shí)，楊明說：“可是我看老師并沒有找，而且找起來也比較慢呀！”

“老師，你不會(huì)把這15種對應(yīng)關(guān)系全記住了吧？”王浩顯得有點(diǎn)得意.

我見大家討論得差不多了，就笑著說：“同學(xué)們的積極性都很高，開動(dòng)了腦筋，發(fā)現(xiàn)了其中隱含的規(guī)律.不過我不是用‘記的方法，而是用‘算的方法.同學(xué)們，你們知道是怎么算的嗎？”

教室里靜了下來，有的同學(xué)還用筆算起來.

過了一會(huì)兒，陳亮跳了起來，高興地說：“我知道了！只要把所有包含所想數(shù)字的圖中的第一個(gè)數(shù)字相加就可以得到這個(gè)數(shù)了！”

大家都趕緊嘗試，很快也報(bào)以熱烈的掌聲.

緊接著，我開始講課了.

其實(shí)，我們今天做的游戲與二進(jìn)制有關(guān).我們通常用的數(shù)字是十進(jìn)制的，也就是說逢十進(jìn)一.任何一個(gè)十進(jìn)制的整數(shù)，總可以寫成a0 × 10n +a1 × 10n-1 + … + an - 1 × 101 + an的形式.如2008 = 2 × 103 +0 × 102 +0 ×101 +8.我們稱10是十進(jìn)制記數(shù)法的基數(shù).

計(jì)算機(jī)通常用的是二進(jìn)制數(shù)，這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的計(jì)算和記憶元件只有兩種不同的狀態(tài)，如“開”、“關(guān)”.在二進(jìn)制中，是逢二進(jìn)一的，只有0、1兩個(gè)數(shù)碼.任何一個(gè)二進(jìn)制的整數(shù)，都可以表示成a0 × 2n + a1 × 2n - 1 + … +an - 1 × 21 + an的形式.如1 010 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 +0.我們稱2是二進(jìn)制記數(shù)法的基數(shù).

為了與其他進(jìn)位制相區(qū)別，常常將基數(shù)2寫在右下角，如1 0102，十進(jìn)制的基數(shù)10一般不寫.二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)比較容易，如把1 0102化為十進(jìn)制數(shù)，只要把1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0算一下就可以了，1 0102 = 8 + 2 = 10.那么，如何把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)呢？

可以逆向思考，先把十進(jìn)制數(shù)化為a0 × 2n + a1 × 2n - 1 + … + an - 1 × 21 +an的形式，再寫出這個(gè)二進(jìn)制數(shù).例如，我們可以來看一道中考題.

題目：計(jì)算機(jī)采用的是二進(jìn)制數(shù)，它共有兩個(gè)數(shù)碼0、1.將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，只需把該數(shù)寫成若干個(gè)2n數(shù)的和，依次寫出1或0即可，如19 = 16 + 2 + 1 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 10 0112，它是二進(jìn)制下的5位數(shù)，則十進(jìn)制數(shù)2 004是二進(jìn)制下的（）.

A． 10位數(shù) B． 11位數(shù)

C． 12位數(shù) D． 13位數(shù)

解析： 這道題首先舉例說明了十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)的方法，然后讓我們加以應(yīng)用.考慮不大于2 004且最接近于2 004的2的乘方是210，所以它是二進(jìn)制下的11位數(shù)，故應(yīng)選B.

下面我們把1~15之間的整數(shù)都轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，如表1（不足4位的，在前面補(bǔ)0）.

我們再來看前面的圖1中的數(shù)字.凡是轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)以后，首位為1的，都記入圖1（1）中；第二位為1的，都記入圖1（2）中；第三位為1的，都記入圖1（3）中；末位為1的，都記入圖1（4）中.當(dāng)王浩同學(xué)說在（1）（2）（3）中都有，在（4）中沒有時(shí)，就對應(yīng)著二進(jìn)制數(shù)1 1102，化為十進(jìn)制，就是1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14，也相當(dāng)于陳亮所說的把顯示所想數(shù)字的圖中的第一個(gè)數(shù)字相加.Y

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”