作者簡介：史永軍，男，中學(xué)高級教師，現(xiàn)在萊西市教體局普教教研室任初中數(shù)學(xué)教研員．2003年被教育部北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心聘為新世紀版數(shù)學(xué)實驗指導(dǎo)委員會委員．曾被評為青島市初中數(shù)學(xué)教學(xué)能手、青島市青年教師優(yōu)秀專業(yè)人才、萊西市優(yōu)秀教師、萊西市十佳青年教學(xué)能手、萊西市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員．先后有十多篇教育教學(xué)論文在國家級或省級刊物上發(fā)表或獲獎,輔導(dǎo)過的三十多名學(xué)生在全國、山東省、青島市等競賽中獲獎．

全等三角形是平面幾何的重要內(nèi)容，它為初中幾何解決線段和角的相等的問題提供了重要工具，也為后面的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)．要學(xué)好全等三角形，必須學(xué)會找準全等三角形的對應(yīng)元素（對應(yīng)邊、對應(yīng)角）的方法．本文談幾點意見，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考．

[問題與情境]

同學(xué)們，你們都見過大風車吧！“大風車轉(zhuǎn)起來，各地的朋友來相會．”現(xiàn)在請你仔細地觀察圖1中這個大風車，看看它是由哪些圖形組成的，這些圖形有什么特點．很顯然，它是由4個三角形組成的，這4個三角形是全等的.

生活中，我們可以發(fā)現(xiàn)很多圖案是由全等三角形組成的（如圖 2）.

[開眼界]

魔術(shù)師的地毯

一個魔術(shù)師拿著一塊邊長為 8 m 的正方形地毯找一個地毯匠，要他把地毯改成長為 13 m、寬為 5 m 的長方形地毯．地毯匠算了算，面積由 64 m2 改成 65 m2，認為這是不可能的事情，可是魔術(shù)師卻說：“你按我的辦法剪裁，保證沒有問題．”魔術(shù)師拿出一張圖給地毯匠看．按圖 3 中粗線裁剪后，得到兩個全等的直角梯形和兩個全等的直角三角形，然后按照圖 4 就可以拼成一個（5 × 13） m2長方形．地毯匠橫看豎看，始終看不出破綻，但又不敢下剪刀，聰明的同學(xué)們，你們明白究竟是怎么回事嗎？

提示：如果你仔細地畫一個大一點的圖出來，就會發(fā)現(xiàn)在 5 × 13 的長方形中，中間接縫是有空隙的，這個空隙的面積恰好是 1 平方單位.

[經(jīng)典例析]

例1 如圖 5，△AOC△BOD，∠A和∠B是對應(yīng)角，AO和BO是對應(yīng)邊，請寫出其他的對應(yīng)角、對應(yīng)邊.

分析：找全等三角形的對應(yīng)元素（對應(yīng)角，對應(yīng)邊），應(yīng)按照如下規(guī)律．

（1） 根據(jù)已知的對應(yīng)元素來找．

① 已知對應(yīng)頂點，以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角，以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊；② 已知對應(yīng)角，對應(yīng)角的對邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；③ 已知對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的對角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．

（2） 根據(jù)兩個全等三角形的位置來找．

① 有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；② 有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角；③ 有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角．

（3） 根據(jù)大小來找．

① 一對最長的邊是對應(yīng)邊，一對最短的邊是對應(yīng)邊；② 一對最大的角是對應(yīng)角，一對最小的角是對應(yīng)角．

（4） 根據(jù)兩個全等三角形的位置關(guān)系，分析其中一個是由另一個經(jīng)過哪種全等變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）形成的，從而找出對應(yīng)關(guān)系.

① 翻折法：一個三角形沿某條直線翻折與另一個三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素；② 旋轉(zhuǎn)法：三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素；③ 平移法：沿某一方向平移使兩三角形重合來找對應(yīng)元素．

點撥：因為△AOC △BOD，所以，將△AOC繞點O旋轉(zhuǎn)180°后，能與△BOD完全重合，不難找到其對應(yīng)元素.

解：∠C和∠D、∠COA和∠DOB是對應(yīng)角.AC和BD、CO和DO是對應(yīng)邊.

此題同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)的錯誤是認為∠C與∠B是對應(yīng)角，∠A與∠D是對應(yīng)角.

例2 如圖 6，△ADE△CBF，AD =CB.求證：AE∥CF.

點撥：欲證明AE∥CF，只需證明∠AED = ∠CFB，∠AED = ∠CFB可由△ADE△CBF推出.根據(jù)已知條件，只需將△ADE向右平移BD長，便可使△ADE與△CBF完全重合.

證明：△ADE△CBF → ∠AED = ∠CFB → AE∥CF.

有的同學(xué)通過∠A = ∠C，證得AE∥CF，你認為對嗎？事實上，雖然能證出∠A = ∠C，但∠A與∠C既不是同位角，也不是內(nèi)錯角，因而得不到AE∥CF.

例3 如圖 7，已知△ABC△BAD，點A、C的對應(yīng)頂點分別為點B、D.如果AB ＝ 7 cm，BC ＝ 5 cm，AC ＝ 10 cm，那么BD等于（）.

A. 10 cmB. 7 cmC. 5 cmD. 無法確定

點撥：本題的解答關(guān)鍵是正確找出BD的對應(yīng)邊.可將△BAD向右翻折，與△ABC重合，便可得到BD的對應(yīng)邊是AC.

解：選 A.

本題的已知條件AB ＝7 cm、BC ＝ 5 cm看似多余，其實旨在考查同學(xué)們能否正確找出BD的對應(yīng)邊，具有一定的迷惑性.

例4 如圖 8，已知△ABC△CDA，AB與CD平行嗎？

點撥：本題結(jié)論未定，屬于探索性命題，需要進行探究.只需將△ABC繞AC的中點O旋轉(zhuǎn)180°，便可得到∠BAC與∠ACD重合.

解：AB與CD平行.△ABC△CDA → ∠BAC = ∠ACD → AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

解答探索性命題時，不要先猜出一個結(jié)論，再去推理論證，應(yīng)從已知條件入手進行推理論證，得到結(jié)論.

[即學(xué)即練]

1. 如圖 9，△ABD△CDB，且AB、CD是對應(yīng)邊，下面4個結(jié)論中不正確的是（）.

A. △ABD和△CDB的面積相等

B. △ABD和△CDB的周長相等

C. ∠A + ∠ABD = ∠C + ∠CBD

D. AD∥BC且AD = BC

2. 如圖10，矩形ABCD沿AM折疊,使D點落在BC上的N點處,如果AD = 7 cm，DM = 5 cm，∠DAM = 39°,則AN = cm，NM = cm，∠NAB = .

3. 如圖11，△ABC△DEF，∠A = 50°，∠B = 35°，ED = 8，則∠F = ，AB =.

4. 如圖12，已知△ABC△EFC，且CF = 5 cm，∠EFC = 65°，則∠B = ，BC = ．

5. 如圖13，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內(nèi)部時，則∠A與∠1 + ∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，你發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律是（）．

A. ∠A = ∠1+∠2

B. 2∠A = ∠1 + ∠2

C. 3∠A = 2∠1+∠2

D. 3∠A = 2（∠1+∠2）

6． 如圖 14，將一張長方形紙片按圖示的方式折疊，BC、BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（）．

A． 60° B． 75° C． 90° D．95°

7． 如圖15，△ABC△A1B1C，且∠A∶∠ABC∶∠ACB = 1∶3∶5，則∠A1CB1與∠ABC的比等于（）．

A．3∶1 B．5∶1 C．5∶3 D．5∶2

8. 如圖 16，把△ABP 繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE．問：△ABP與△ACE是什么關(guān)系？若∠BAP ＝ 40°，∠B ＝ 30°，求∠CAE、∠E和∠BAE的度數(shù).

9. 已知：如圖17，△ABC△ADE，BC的延長線交DA于F，交DE于G，∠ACB = 105°，∠CAD ＝ 10°，∠D = 25°．求∠EAC、∠DFB、∠DGB的度數(shù)．

[中考風向標]

1. （2006年·廣東）如圖 18，若△OAD△OBC，且∠O = 65°，∠C = 20°，則∠OAD = ．

解析：全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)該性質(zhì)可得∠OAD = ∠OBC.借助三角形的內(nèi)角和可求得∠OBC的度數(shù).因為△OAD△OBC，所以∠OAD = ∠OBC.由∠O = 65°，∠C = 20°，可得∠OBC = 180° - 65° - 20° = 95°. 所以∠OAD = 95°.

2. （2006年·濟南市）如圖 19，一張長方形紙片沿AB對折，以AB的中點O為頂點，將平角五等分，并沿五等分線折疊，再從點C處剪開，使展形后的圖形為正五邊形，則剪開線與OC的夾角∠OCD為（）.

A. 126°B. 108°C. 90°D.72°

解析：此題初看很難，俗話說，實踐出真知，我們不妨動手試一試，把正五邊形按折痕折疊后進行對比即可找出展開圖中是那個位置的角.選 C.

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