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        關(guān)于十五子的游戲

        2008-07-11 10:18:46陳景潤
        關(guān)鍵詞:左移右移八號

        陳景潤

        在一張紙上畫一個正方形,并把它分成大小相同的16個小方格,再剪出15個大小相同的正方形紙板,而這些正方形紙板面積稍小于方格的面積.在這些小紙板上寫上1到15這15個數(shù),這樣我們就可以來玩“十五子游戲”了. 把這15個紙板任意放到這16個小方格中去(如圖1). 由于每個小方格只能放1個,因而,有1個小方格是空著的.游戲規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)紙板與空格相鄰時,這個紙板才能和空格相互調(diào)換位置,紙板相互之間不能調(diào)換位置.現(xiàn)在的問題是能不能經(jīng)過有限次的移動以后,把這15個子的順序排為圖2所示的樣子. 我們知道,把這15個紙板按任意順序放到這16個小方格中去的方法共有16 × 15 × … × 3 × 2=20 922 789 888 000(種). 若每一種都要來試一下能不能排成圖2所示的樣子,那得花費多少時間??!于是,我們只能多動腦筋,去找出這個游戲的規(guī)律.

        我們不難看出,任一紙板都能經(jīng)過幾次和空格相互對換位置后,移到這16個小方格中的任一指定的方格中,為了敘述方便,我們將這16個小方格標上號碼,如圖3所示. 另外我們把15個紙板分別稱為1,2,3,…,15.首先,我們可以把“1”移到一號位置上.然后,能否把“2”移到二號位置上呢?這也是可以做到的.若“2”在第一列,我們可以把它移出第一列,也可以把空格移出第一列,然后第一列不動,而在第二、三、四列中,仿前述方法把“2”移到二號位置上.“1”“2”的位置確定后,我們不動它,用相同的方法還可以把“3”移到三號位置上去.這時如果空格不在四號位置上,要想不動“1”“2”“3”而把“4”移到四號位置上去,卻一定不能夠做到了.因為在四號位置右邊和上邊都沒有方格,而左邊的“3”又不能動,故只有下邊的八號位置與它有聯(lián)系了.但我們總可以使第一行不動,而把“4”移到八號位置上,把空格移到十二號位置上,如圖4所示.在圖4中,我們?nèi)∪?、四、七、八、十一、十二這6個方格出來而構(gòu)成圖5.為了方便起見,我們將這幾號位置中紙板上的數(shù)字分別用甲、乙、丙來代替.然后依次把“4”往下移,甲往下移,“3”往右移,乙往上移,如圖6.再把甲往左移,“4”往上移,丙往右移,就變成了圖7,在圖7中把甲往下移,乙往下移,“3”往左移,“4”往上移.此時“3”“4”已分別在三、四號位置上了(如圖8).

        第一行排好后,不動第一行,按照安排第一行的方法,當(dāng)然能夠把“5”“6”“7”安排在五、六、七號位置上,把“8”安排在八號位置上去.

        再來安排第三行與第四行時,就要使用不同的辦法了.我們不是先排第三行,而是先排第一列下面的兩個位置,即九和十三號位置.這也不難做到,因為我們可以把第一列看做第一行,按照排第一行后面兩個位置的辦法來安排第一列后面的兩個位置.“9”和“13”都已安排好后,按上述辦法,我們還能把“10”“14”也安排到十、十四號位置上,這時只剩下“11”“12”“15”這3塊紙板還沒有安排好.我們可以把“11”移到十一號位置上,剩下的“12”“15”可能出現(xiàn)下列兩種情況:其一是“12”“15”都恰好移到十二及十五號位置上,如圖9,這正是我們所要達到的目的.但也可能出現(xiàn)第二種情況,如圖10.“12”排在十五號位置上,而“15”排在十二號位置上.因為圖11可經(jīng)過圖12、圖13、圖14變成為圖15,于是我們知道任給一個初始狀態(tài),經(jīng)過上面的一系列移動后,都可以變?yōu)閳D16與圖17兩種順序中的一種,我們稱圖16為“正常排列”.而移圖17為“奇異排列”.應(yīng)該說,作為一種游戲,討論到此就算完了.但如果要問“奇異排列”能不能夠重新移動而變?yōu)椤罢E帕小?,哪一種初始狀況能變?yōu)椤罢E帕小?,哪一種初始狀況要變?yōu)椤捌娈惻帕小?,那就不得不借助于較多的數(shù)學(xué)方法了.

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