Z老師說：臨近中考，同學(xué)們希望能對(duì)中考的一些熱點(diǎn)問題有更多的了解，以提高自己的應(yīng)對(duì)能力.為此，今天我們對(duì)“折疊問題”進(jìn)行剖析.折疊問題是現(xiàn)實(shí)生活中一個(gè)常見的問題，很多中考試卷涉及折疊問題，其中為壓臺(tái)題的就不少.

折疊作為一個(gè)過程，有折前與折后的區(qū)分，被折疊的平面圖形折前與折后是兩個(gè)全等的圖形，提供了關(guān)于邊、角的各種等量關(guān)系，這是解決折疊問題的第一注意點(diǎn)；其次要注意到這兩個(gè)全等的圖形以折痕為對(duì)稱軸組成軸對(duì)稱圖形；另外要充分利用已知圖形的各種隱含條件.

例1如圖1，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上.設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的兩點(diǎn)，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點(diǎn).

（1）求證：四邊形AECG是平行四邊形；

（2）若AB=4cm，BC=3cm，求線段EF的長(zhǎng).

（2007年吉林省中考試題）

小清說：要證明四邊形AECG是平行四邊形，由于已知圖形ABCD是矩形，有CG∥AE，只要證明AG∥CE.為此轉(zhuǎn)為證∠CAG=∠ACE.由于圖形折疊，得△CBE≌△CFE，有∠BCE=∠ACE.同理∠DAG=∠CAG.而∠ACE=∠ACB，∠CAG=∠DAC.由AD∥BC，有∠ACB=∠DAC，于是∠CAG=∠ACE，命題得證.

由于△BCE≌△FCE，有CF=BC=3.∠CFE=∠CBE=90°，BE=FE.設(shè)EF=x，則BE=x，AE=4-x.注意到ABCD是矩形，由BC=3，AB=4，得AC=5，導(dǎo)出AF=5-3=2.在Rt△AEF中，AE2=EF 2+AF 2，于是（4-x）2=x2+22，得x=（cm）.

與傳統(tǒng)的幾何題相比，證明結(jié)論所需的已知條件，題中并未明確列出，而是需要在解題的過程中自己去挖掘，這就涉及到對(duì)隱含條件的取舍問題.我認(rèn)為，從要證明的結(jié)論著手，逐步去探求它成立所需要的條件，這是有效的方法.

Z老師說：小清的分析很好，體會(huì)也很實(shí)在.過去我們?cè)诮忸}時(shí)強(qiáng)調(diào)八個(gè)字：由因?qū)Ч?，?zhí)果索因.在折疊問題解決中，執(zhí)果索因成為解題的一條主途徑.切忌將折疊中所隱含的各種等量關(guān)系一一列舉，而使解題無從下手.

例2如圖2所示，把一個(gè)正方形對(duì)折兩次后沿虛線剪下，展開后所得的圖形是（ ）.

（2007年鹽城市中考試題）

S同學(xué)說：開始我想剪去一角，估計(jì)是D.后來我用紙折疊后，撕去一角，展開，發(fā)現(xiàn)應(yīng)是B.

K同學(xué)說：我是采用逆向還原，將右折對(duì)應(yīng)于左翻，將上折對(duì)應(yīng)于下翻，選B.

Z老師說：S同學(xué)的現(xiàn)場(chǎng)操作，在考試時(shí)也是允許的.K同學(xué)逆向還原，這種逆推法，我們還在哪里見過？

W同學(xué)說：在二次函數(shù)的圖象中曾遇到.例如，由二次函數(shù)y=2(x-3)2-1的圖象通過平移作出y=2x2的圖象.

Z老師說：利用y=2x2得出y=2(x-3)2-1的圖象，這是大家熟悉的，再逆向還原，問題就可順利解決.請(qǐng)你試一試.

例3已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.

（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖3），AF=，求DE的長(zhǎng)；

（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖4），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng).

（2006年南京市中考試題）

H同學(xué)說：第一小題很容易解決，由折疊知EF=AF=，又DF=AD-AF=.在Rt△DEF中，由勾股定理，求得DE

==.第二小題的解題途徑還未找到.

Z老師說：這是南京市中考試卷的最后一題，當(dāng)然有一定的難度.作為綜合題，它涉及到Rt△ADE的外接圓和切線，對(duì)此，你聯(lián)想起什么？

W同學(xué)說：確定圓心和切點(diǎn)至關(guān)重要.直角三角形外接圓圓心是斜邊的中點(diǎn)，記AE的中點(diǎn)為O，O是折痕FG與AE的交點(diǎn).⊙O的半徑r=OE=AE.過O作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，則M是AD的中點(diǎn)，ON⊥BC.由于BC與⊙O相切，所以O(shè)N=OE=r，則OM=2-r.易證O是折痕FG的中點(diǎn)，即OF

=OG.在Rt△AOM中，r2=(2-r)2+，求得r=.在

Rt△ADE中，DE===.由于FO

=OE·tanα=r·=×=，所以FG=2FO=.當(dāng)然也可由△FOE

∽△ADE導(dǎo)出，但我覺得利用三角函數(shù)，解法簡(jiǎn)明.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文