摘 要：在分析傳統(tǒng)的基于GNSS載波相位測量模型對整周模糊度解算的一般規(guī)律后，得出一般歸整映射的性質(zhì)，進(jìn)而提出粗糙歸整映射理論，用來解決整周模糊度浮點(diǎn)解歸整問題，提高了整周模糊度的搜索效率，一定程度上解決了載波相位實(shí)時(shí)測量的技術(shù)難題。

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關(guān)鍵詞：GNSS；載波相位；整周模糊度；一般歸整映射；粗糙歸整映射

中圖分類號：P228.41 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)09-138-03

Rough Integer Mapping and the GNSS Integer Ambiguity Estimation

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KANG Ronglei1，2，SHU Lan1，CHEN Xiaoping2

(1.School of Applied Mathematics， University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，610054，China;

2.Research Institute of Electronic Science and Technology，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，610054，China)

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Abstract：Based on the analysis of the traditional GNSS carrier phase measurement model and the rule of the integer ambiguity estimation，the quality of normal integer mapping is gained，then，the theory of rough integer mapping is proposed，the question of GNSS integer ambiguity estimation is solved，the searching efficiency of integer ambiguity is improved，the problem of GNSS carrier phase measurement in a certain extent is solved.

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Keywords：GNSS;carrier phase;integer ambiguity;normal integer mapping;rough integer mapping

1 引 言

GNSS(Global Navigation Satellite Systems)的興起與發(fā)展，在各應(yīng)用領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)、社會效益。其用于測量、定位和導(dǎo)航的模型眾多，但只要涉及載波相位測量，都要面臨解算整周模糊度的難題。已有整周模糊度解算方法中，比較成熟的有4類：雙頻偽距法、模糊度函數(shù)法、最小二乘搜索法和模糊度協(xié)方差法。尤其是模糊度協(xié)方差法中的LAMBDA ( Least-squares AMBiguity Decorrelation Adjustment )^[1]方法已經(jīng)實(shí)際應(yīng)用于多種基線測量模型中，在一定程度上解決了整周模糊度的解算問題。

但將LAMBDA方法用于單點(diǎn)載波相位測量時(shí)，使得搜索域較大，導(dǎo)致無法實(shí)現(xiàn)整周模糊度快速解算。為了減少搜索時(shí)間，提高整周模糊度解算效率，下面提出粗糙歸整映射理論，在模糊度浮點(diǎn)解到整數(shù)估計(jì)解的映射方面，改造LAMBDA方法搜索區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并利用粗糙整數(shù)運(yùn)算提高搜索效率，為實(shí)現(xiàn)更短時(shí)間內(nèi)解算整周模糊度奠定了理論基礎(chǔ)。

2 傳統(tǒng)整周模糊度解算

通過對各種載波相位測量模型的研究，將基于整周模糊度解算的GNSS模型從概念上歸納為下列線性化觀測方程^[2]：



E{Φ}=[WTHX]A[WTBX]N+[WTHX]B[WTBX]b

(1)

求解模型式(1)的過程一般分為以下4個(gè)步驟^[2]：

(1) 忽略N的整數(shù)特性，直接采用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估計(jì)，得到整周模糊度浮點(diǎn)解N；

(2) 利用模糊度浮點(diǎn)解N計(jì)算相應(yīng)的模糊度整數(shù)估計(jì)解N<。

(3) 確定整周模糊度的正確整數(shù)解N。

(4) 將整周模糊度的整數(shù)解N代入下列方程，獲得待估參數(shù)b的固定解。

解算整周模糊度的大部分時(shí)間都消耗在第(3)步的搜索上，而第(2)步中得到的估計(jì)解N<是搜索的基準(zhǔn)。因此，本文重點(diǎn)研究解算整周模糊度的第(2)步與第(3)步，即從整周模糊度浮點(diǎn)解到整周模糊度整數(shù)估計(jì)解的映射函數(shù)入手，建立粗糙歸整映射，并提出粗糙整數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)，來提高整周模糊度的搜索效率。

3 粗糙歸整映射理論

通過上面的論述，可知解算整周模糊度需要建立一個(gè)歸整映射函數(shù)，使得整周模糊度的浮點(diǎn)解可以通過映射函數(shù)歸整為一個(gè)整數(shù)估計(jì)解，作為下一步搜索的基準(zhǔn)。下面，通過對這種映射的歸納總結(jié)，提出了一般歸整映射與粗糙歸整映射理論。

3.1 一般歸整映射

從一個(gè)實(shí)數(shù)向量到一個(gè)整數(shù)向量的映射函數(shù)很多，均對應(yīng)一個(gè)從n維實(shí)數(shù)空間到n維整數(shù)空間的映射f:[WTHX]R[WTBX]n→[WTHX]Z[WTBX]n。一旦歸整映射的定義確定，就可以得到映射函數(shù)的表達(dá)式為：



y=f(x) (x∈Rn，y∈Zn)

(2)



通過研究整周模糊度浮點(diǎn)解歸整到整數(shù)估計(jì)解的性質(zhì)，確定一般歸整映射應(yīng)該具有的性質(zhì)，主要有以下4條^[2]：

(1) 一般歸整映射為多對一映射，一般不存在逆映射。

(2) 所有歸屬域的并覆蓋整個(gè)n維實(shí)數(shù)空間。

[HTH]定義[STHZ]1[STBZ][HTSS] 對于每個(gè)整數(shù)向量y∈Zn和對應(yīng)的集合Sy∈Rn，滿足下述關(guān)系:



Sy={x∈Rn|y=f(x)，y∈Zn}

(3)



就稱實(shí)數(shù)向量集Sy為整數(shù)向量y的歸屬域。

(3) 任意兩個(gè)歸屬域的交為空集(或存在取值概率為0的共同元素)。

(4) 一般歸整映射應(yīng)滿足整數(shù)可加-可減性。

[HTH]定義[STHZ]2[STBZ][HTSS] 對于一般歸整映射f，對任意x∈Rn與z∈Zn，滿足關(guān)系：



f(x+z)=f(x)+zf(x－z)=f(x)－z

(4)



就稱一般歸整映射f滿足整數(shù)可加-可減性。

因此，只要構(gòu)造出從實(shí)數(shù)域到整數(shù)域的映射，使其滿足上述4個(gè)性質(zhì)，那么就稱其為一般歸整映射。

3.2 粗糙歸整映射

設(shè)定論域集合U=[WTHX]R[WTBX]n，V=[WTHX]Z[WTBX]n，且2V為論域V的冪集。這樣，一般歸整映射就是從論域U到論域V的映射?，F(xiàn)在，拓展一般歸整映射范疇，構(gòu)建一個(gè)從論域U到論域V的冪集2V的映射，記做歸整映射fR:U→2V。

用數(shù)學(xué)語言描述為：



x∈U，A∈2V，s.t A=fR(x)，and AV



現(xiàn)假定有一等價(jià)關(guān)系R對論域V進(jìn)行了等價(jià)劃分，商集V/R表示等價(jià)關(guān)系R所對應(yīng)的所有等價(jià)類(或稱作論域V上的分類)構(gòu)成集合，［y］R表示包含元素y∈V的R的等價(jià)類。

現(xiàn)在，我們來探討在等價(jià)空間(V，R)上，對于任意集合AV與等價(jià)關(guān)系R，所定義的兩個(gè)集合：



R(A)={y∈V|［y］RA}R(A)={y∈V|［y］R∩A≠}

(5)



集合R(A)與R(A)分別稱為集合A在等價(jià)關(guān)系R下的下近似集和上近似集。

集合A的下近似集、上近似集也可以用下面的等式表述：



R(A)=∪［y］RA［y］RR(A)=∪［y］R∩A≠［y］R

對于論域V上的集合A在等價(jià)關(guān)系R下所定義的上近似集與下近似集：R(A)與R(A)，當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A)時(shí)，稱集合A為R下可定義集；當(dāng)且僅當(dāng)R(A)≠R(A)時(shí)，稱集合A為R下的不可定義集，即粗糙集。這里，我們把可定義集視為粗糙集的特殊情形。

[HTH]定義[STHZ]4[STBZ][HTSS] 歸整映射fR:U→2V，將論域U上的實(shí)數(shù)向量x∈U映射為論域V上的整數(shù)向量集合AV，即A=fR(x)。當(dāng)集合A為論域V上等價(jià)關(guān)系R下的粗糙集時(shí)，稱歸整映射fR為粗糙歸整映射。由于fR將實(shí)數(shù)映射到論域V上的粗糙集，因此，也稱fR為粗糙化算子。

定理[STHZ]1 [STBZ]當(dāng)?shù)葍r(jià)關(guān)系R將論域V劃分為單元素集時(shí)，粗糙歸整映射將論域U上的實(shí)數(shù)向量x∈U映射為論域V上的可定義集A。

證明 若論域V被等價(jià)關(guān)系R劃分為單元素集，則每個(gè)等價(jià)類都只包含一個(gè)元素，即：



y∈V，［y］R={y}

那么，對于x∈U所對應(yīng)的論域V中的集合A=fR(x)，其上近似集R(A)與下近似集R(A)的表述：



R(A)={y∈V|［y］RA}={y∈V|{y}A}

R(A)={y∈V|［y］R∩A≠}

={y∈V|{y}∩A≠}

={y∈V|{y}A}

[HT10.SS](7)



即，有R(A)=R(A)成立，集合A為可定義集。

定理[STHZ]2 [STBZ]當(dāng)?shù)葍r(jià)關(guān)系R將論域V劃分為單元素集，且粗糙歸整映射將論域U上的實(shí)數(shù)向量x∈U映射為論域V上單元素集A，粗糙歸整映射特殊化為一般歸整映射。

證明 由定理1可知，等價(jià)關(guān)系R將論域V劃分為單元素集時(shí)，集合A=fR(x)為可定義集。這里再次將集合A特殊化為單元素集，因此，歸整映射fR建立了從實(shí)數(shù)論域到整數(shù)論域的多對一映射關(guān)系，滿足一般歸整映射的性質(zhì)要求一?？梢则?yàn)證，這里所特殊定義的粗糙歸整映射也滿足其他3個(gè)性質(zhì)要求，因此屬于一般歸整映射。

3.3 粗糙整數(shù)性質(zhì)研究

為了快速解算整周模糊度，已建立起粗糙歸整映射fR，將整周模糊度浮點(diǎn)解x∈U，映射到整數(shù)論域V中的粗糙集A=fR(x)上，利用等價(jià)類［y］R來描述。為了進(jìn)行整周模糊度在模糊度搜索域中的快速搜索解算，下面定義粗糙整數(shù)。

定義[STHZ]5 [STBZ]整數(shù)論域V在等價(jià)關(guān)系R所劃分的等價(jià)類集V/R，其元素為等價(jià)類［y］R，論域V中的粗糙集A的上、下近似集用等價(jià)類［y］R表示。定義等價(jià)類［y］R為論域V在R下的粗糙整數(shù)，等價(jià)關(guān)系R決定了粗糙整數(shù)的粗糙程度。

定義[STHZ]6 [STBZ]定義粗糙整數(shù)的數(shù)字表現(xiàn)形式：為了運(yùn)算的方便，這里定義粗糙整數(shù)的數(shù)字表達(dá)形式，為粗糙整數(shù)內(nèi)各整數(shù)元素的平均數(shù)直接下歸整。

用數(shù)學(xué)語言描述為：

4 粗糙歸整映射下的整周模糊度解算

上面較為詳細(xì)地介紹了粗糙歸整映射理論與粗糙整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，為通過改造整周模糊度搜索域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而改進(jìn)LAMDA方法奠定了理論基礎(chǔ)，下面給出基于此理論的整周模糊度搜索算法以及仿真結(jié)果。

4.1 算法步驟

結(jié)合傳統(tǒng)解算方法，構(gòu)造粗糙歸整映射下的整周模糊度解算算法步驟如下：

(1) 建立載波相位觀測模型，利用最小二乘法估計(jì)整周模糊度浮點(diǎn)解與協(xié)方差陣；

(2) 利用LAMBDA方法，對協(xié)方差矩陣進(jìn)行降相關(guān)處理，將搜索區(qū)域進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

(3) 將轉(zhuǎn)換后的模糊度浮點(diǎn)解實(shí)數(shù)向量x，通過粗糙歸整映射fR轉(zhuǎn)變成粗糙集A，包含所有整周模糊度的可能取值；

(4) 將粗糙集A的上、下近似集用粗糙整數(shù)來表示，快速定位時(shí)選擇下近似集，準(zhǔn)確定位時(shí)選擇上近似集作為搜索空間；

(5) 利用序貫法進(jìn)行整周模糊度搜索，這里的運(yùn)算均采用粗糙整數(shù)運(yùn)算法則；

(6) 通過減小粗糙整數(shù)的粗糙程度，不斷精確整周模糊度的取值；

(7) 利用Ratio檢驗(yàn)條件，確定最終整周模糊度取值。

4.2 算法仿真及分析

仿真數(shù)據(jù)來源，利用某OEM板輸出的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采樣率為1 s，連續(xù)跟蹤4顆GPS衛(wèi)星，觀測300歷元。采用粗糙歸整映射函數(shù)：fR(x)={y|x－3δ≤y≤x+3δ，y∈Zn}；初始粗糙程度為102(將102個(gè)連續(xù)整數(shù)視作一個(gè)粗糙整數(shù))，每搜索一次后，粗糙程度相應(yīng)減?。挥糜趨f(xié)方差陣降相關(guān)處理以及序貫搜索的算法都來源于文獻(xiàn)［1］。

通過Matlab仿真驗(yàn)證，得到采用原始LAMBDA方法與粗糙歸整映射后的LAMBDA方法搜索效率的比較，見表1。

表1 兩種方法搜索效率比較

由此可見，粗糙歸整映射后，搜索區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變對整周模糊度的搜索效率提高較為明顯，而該方法解算整周模糊度的正確性評價(jià)是另一個(gè)可展開研究的方向。

5 結(jié) 語

粗糙歸整映射將整周模糊度浮點(diǎn)解映射為整數(shù)域中的粗糙集，改造了整周模糊度搜索區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，結(jié)合粗糙整數(shù)運(yùn)算與LAMBDA搜索方法，實(shí)現(xiàn)更短時(shí)間內(nèi)整周模糊度解算，可基本滿足利用GNSS載波相位實(shí)時(shí)精準(zhǔn)定位的要求。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］Teunissen P J G.The Least-squares Ambiguity Decorrelation Adjustment:A Method for Fast GPS Integer Ambiguity Estimation\\[J\\].Journal of Geodesy，1995(70):65-82.

［2］Teunissen P J G.一個(gè)新的GNSS模糊度估計(jì)類\\[J\\].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)信息科學(xué)版，2004，29(9):757-762.

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［3］張文修，吳偉志，梁吉業(yè)，等.粗糙集理論與方法\\[M\\].北京：科學(xué)出版社，2004.

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作者簡介 康榮雷 男，1984年出生，電子科技大學(xué)在讀碩士研究生。現(xiàn)從事衛(wèi)星導(dǎo)航定位領(lǐng)域的研究工作。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。