摘 要：研究了一類新型混沌系統(tǒng)——Nadolschi系統(tǒng)的同步控制問題。首先為響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計一個多變量線性狀態(tài)反饋控制器，進(jìn)而將Nadolschi系統(tǒng)的同步控制問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)零平衡點的鎮(zhèn)定問題。然后，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，得出使Nadolschi混沌系統(tǒng)達(dá)到漸近同步的充分條件。仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性，所設(shè)計的控制器具用結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)等優(yōu)點。

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關(guān)鍵詞：Nadolschi混沌系統(tǒng)；混沌同步；線性狀態(tài)反饋；漸近穩(wěn)定

中圖分類號：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)09-100-02

Synchronization of Nadolschi Chaotic System Based on Linear State Feedback Control

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MIAO Lihua1，KUANG Baoping1，ZHAO Yan2

(1.Information Technique Center，Shenyang Medical College，Shenyang，110031，China;

2.Information Science Engineering College，Northeastern University，Shenyang，110004，China)

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Abstract：Synchronization control of a class of new chaotic system named Nadolschi chaotic systems is studied.A multi-variables linear state feedback controller is designed for the response system.Then，the synchronization of chaotic system is converted into the stabilization of error systems at the zero equilibrium point.According to Lyapunov stability theory，the sufficient condition of synchronization of the Nadolschi chaotic systems is derived.Simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method.The designed controller is simple and convenient to implement.

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Keywords：Nadolschi chaotic system;chaotic synchronization;linear state feedback;asymptotic stability

1 引 言

自從Pecora和Carroll ^[1]在1990年發(fā)表具有代表性的混沌同步方面的文章以來，許多控制方法被應(yīng)用到混沌同步控制中^[2-10]。其中，基于線性狀態(tài)反饋方法的控制器具有設(shè)計簡單，易于實現(xiàn)等優(yōu)點，在混沌控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用^[9]。文獻(xiàn)［9］對多種常見的混沌系統(tǒng)如Lorenz系統(tǒng)族、Rossler系統(tǒng)等采用線性狀態(tài)反饋控制器實現(xiàn)了混沌同步，這些混沌系統(tǒng)的共同特點是方程的右端只含有1個或者至多含有2個非線性項。1944年，Nadolschi研究剛體運動時引入一個混沌系統(tǒng)^[11]，其特點是方程右端含有3個非線性項。由于其結(jié)構(gòu)的特殊性，文獻(xiàn)［9］提出的方法不可以直接應(yīng)用到該系統(tǒng)中。

為此，本文針對Nadolschi混沌系統(tǒng)，提出一種新的線性狀態(tài)反饋同步方法，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，得出使Nadolschi混沌系統(tǒng)達(dá)到自相似結(jié)構(gòu)同步的控制器增益取值范圍，該方法的有效性在數(shù)值仿真中得到了驗證。

2 問題描述

考慮一類混沌系統(tǒng):



1=－x2x3+ax12=x1x3+bx23=x1x2/3+cx3

(1)



當(dāng)參數(shù)取值為a=5，b=－10，c=－3.8，初值(x10，x20，x30)=(－12，5，－4)時，該系統(tǒng)存在圖1所示的奇怪吸引子，即為混沌系統(tǒng)，通常被稱為Nadolschi混沌系統(tǒng)。

圖1 Nadolschi系統(tǒng)的奇怪吸引子

本文的目標(biāo)是，將式(2)作為響應(yīng)系統(tǒng)，取式(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，設(shè)計一個穩(wěn)定的控制器使上述系統(tǒng)實現(xiàn)自相似結(jié)構(gòu)漸近同步。



1=－y2y3+ay12=y1y3+by23=y1y2/3+cy3

(2)



其中參數(shù)取為a=5，b=－10，c=－3.8，初值取為(y10，y20，y30)=(－7，8，－11)。

3 線性狀態(tài)反饋控制器設(shè)計

在混沌同步中，用到的反饋方法主要有參數(shù)反饋和狀態(tài)變量反饋兩種。參數(shù)反饋是指利用反饋的誤差信號去調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)，使兩個混沌系統(tǒng)實現(xiàn)同步化。狀態(tài)變量反饋指的是反饋的信號直接加到響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量上去，不改變系統(tǒng)的參數(shù)。狀態(tài)變量反饋可以有多種形式，可以是線性的，也可以是非線性的。這里，采用線性狀態(tài)變量反饋方法設(shè)計同步控制器。

引入狀態(tài)反饋控制的響應(yīng)系統(tǒng)可以表示為:



1=－y2y3+ay1－k1(y1－x1)2=y1y3+by2－k2(y2－x2)3=y1y2/3+cy3－k3(y3－x3)

(3)



其中，k1，k2和k3為控制增益。

由驅(qū)動系統(tǒng)(式(1))和響應(yīng)系統(tǒng)(式(3))構(gòu)成的誤差系統(tǒng)可以表示為:



1=1－1=(a－k1)e1－x3e2－y2e32=2－2=x3e1+(b－k2)e2+y1e33=3－3=13x2e1+13y1e2+(c－k3)e3

(4)



顯然，誤差系統(tǒng)的原點（e1=e2=e3=0）是該系統(tǒng)的平衡點，因此，可以選取合適的k1，k2和k3的值，使誤差系統(tǒng)在零平衡點處漸近穩(wěn)定，即混沌系統(tǒng)達(dá)到自相似結(jié)構(gòu)同步。

4 Nadolschi混沌系統(tǒng)同步的充分條件

[HTH]定理[STHZ]1[STBZ] [HTSS]對于式(4)所示的誤差系統(tǒng)，當(dāng)下列條件滿足時，誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到漸近同步。



k1>a+1(5)

k2>b+1(6)

k3>c+(13x2－y2)24+4y219

(7)



證明 選取如下的Lyapunov函數(shù):



V=12(e21+e22+e23)

(8)



對其求對時間的導(dǎo)數(shù)，可得:

從上式可以看出，當(dāng)條件式(5)、(6)和(7)滿足時，總是小于0的，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)(式(4))是漸近穩(wěn)定的，證畢。

注釋：根據(jù)混沌系統(tǒng)具有狀態(tài)有界性，可以從仿真試驗中獲得每個狀態(tài)變量的取值范圍，即y1∈［－d1，d1］，y2∈［－d2，d2］，x2∈［－d3，d3］，因此，控制增益k3的取值范圍也可以隨之確定。

所以，根據(jù)定理1，可以找到適當(dāng)?shù)目刂圃鲆妾1，k2和k3，使Nadolschi混沌系統(tǒng)達(dá)到自相似結(jié)構(gòu)漸近同步。

5 仿真研究

為說明所提方法的有效性，下面進(jìn)行仿真研究。系統(tǒng)參數(shù)分別取a=5，b=－10，c=－3.8。從系統(tǒng)的仿真試驗中可以得出d1=27，d2=23，d3=23。于是，根據(jù)定理1，可以取k1>6，k2>－9，k3>555.32使Nadolschi混沌系統(tǒng)達(dá)到自相似結(jié)構(gòu)同步。這里取k1=10，k2=10，k3=600。

施加控制后的誤差系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。從仿真圖中可以看出，Nadolschi混沌系統(tǒng)可以很快地達(dá)到自相似結(jié)構(gòu)漸近同步，達(dá)到了預(yù)期的控制目標(biāo)。

圖2 誤差模糊系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

6 結(jié) 語

本文研究了Nadolschi混沌系統(tǒng)的同步控制問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計了相應(yīng)的線性狀態(tài)反饋控制器，使Nadolschi混沌系統(tǒng)達(dá)到自相似結(jié)構(gòu)漸近同步。從仿真結(jié)果可以看出，該方法取得了良好的控制效果。

參 考 文 獻(xiàn)

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。