摘 要：倒立擺系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于檢驗(yàn)各種控制理論和控制策略的有效性中。分析了兩種簡(jiǎn)單而有效的控制策略：極點(diǎn)配置法和線性二次最優(yōu)控制策略的LQR法，并通過Matlab仿真對(duì)單極倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了控制效果的對(duì)比，從理論和仿真結(jié)果上討論了這兩種控制策略的優(yōu)缺點(diǎn)。

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關(guān)鍵詞：倒立擺;極點(diǎn)配置法;LQR;Matlab

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004373X(2008)0112902

Study of the Two Control Strategies Based on the Inverted Pendulum

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PAN Jian，WANG Jun，TANG Caigang

(School of Electrical Electronic Engineering，Hubei University of Technology，Wuhan，430068，China)

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Abstract：Inverted pendulums are widely used to verify some qualities and effect of certain control theory or method.The paper analyses the two single and effective control strategies:the pole-placement method and the optimization strategies of LQR method.We compare the control results of the single inverted pendulum system with the two control strategies by the Matlab experiment.The paper points out the advantage and disadvantage between the two different methods through theories and the results of the Matlab experiment.

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Keywords：inverted pendulum;pole-placement method;LQR;Matlab

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1 引 言

倒立擺系統(tǒng)是一種絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，是控制理論研究中理想的實(shí)驗(yàn)對(duì)象，他為控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建了一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，促進(jìn)了控制新理論和新思想的發(fā)展。倒立擺系統(tǒng)可以采用很多種控制策略，例如PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制等。近年來，隨著對(duì)倒立擺系統(tǒng)研究的深入，涌現(xiàn)出大量?jī)?yōu)秀的控制策略和控制方法。因?yàn)閷?duì)倒立擺系統(tǒng)的控制可以比較真實(shí)地模擬火箭的飛行控制和步進(jìn)機(jī)器人的穩(wěn)定控制等問題，所以對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行深入研究具有很重要的理論和實(shí)際意義。

Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，他集數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、信號(hào)處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一個(gè)方便的、界面友好的用戶環(huán)境，是常用的控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)工具。Matlab仿真程序的編寫不需要掌握很深的編程知識(shí)，只需要很少的代碼就能完成控制系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)。同時(shí)其具有很多專用的工具箱，使得編程變得很容易，這樣研究人員就能很直觀、方便地進(jìn)行分析、計(jì)算及設(shè)計(jì)工作，從而大大節(jié)省了時(shí)間，提高了效率。

本文以一級(jí)直線倒立擺為研究對(duì)象，給出兩種在實(shí)際應(yīng)用中廣泛使用的控制策略：狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置法和線性二次最優(yōu)控制策略的LQR法，同時(shí)分別進(jìn)行Matlab的仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)所得到的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究，不僅從理論上分析這兩種控制策略各自的特點(diǎn)，而且從仿真輸出的曲線進(jìn)行詳細(xì)的對(duì)比分析，使讀者能夠很直觀地分辨出兩種控制策略的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，給出其各自的應(yīng)用場(chǎng)合，為人們合理利用這兩種控制策略給出一定的理論指導(dǎo)。 

2 倒立擺系統(tǒng)的建模

控制方法的研究離不開被控對(duì)象精確的線性模型，為了能夠系統(tǒng)地分析上述兩種控制策略，首先必須對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行建模。本文以深圳固高公司的GIP-100-L倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，并經(jīng)過相關(guān)的整理和代入相關(guān)的參數(shù)可以得到如下的狀態(tài)方程：

則可以得出狀態(tài)矩陣：



3 極點(diǎn)配置法

極點(diǎn)配置法通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。

(1) 首先構(gòu)造被控系統(tǒng)的能控性矩陣[WTHX]M[WTBX]C=[[WTHX]B[WTBX] [WTHX]AB[WTBX] [WTHX]A[WTBX]2[WTHX]B[WTBX] [WTHX]A[WTBX]3[WTHX]B[WTBX]]，通過計(jì)算可以得到rank([WTHX]M[WTBX]C)=4，即系統(tǒng)是可控的。

(2) 計(jì)算特征值

根據(jù)要求，并留有一定的裕量(設(shè)調(diào)整時(shí)間為2 s)，選取期望的閉環(huán)極點(diǎn)s=μi(i＝1，2，3，4)，其中：



根據(jù)期望的特征方程：

因此可得：



4 利用愛克曼公式計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣[WTHX]K的值[WTBZ]

根據(jù)愛克曼方程可以確定反饋增益矩陣為:



根據(jù)以上的思路，利用Matlab編寫如下的程序:

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5 線性二次最優(yōu)控制策略的LQR法

LQR方法針對(duì)狀態(tài)方程=[WTHX]A[WTBX]x+[WTHX]B[WTBX]u，通過確定最佳的控制量u(t)=－[WTHX]K[WTBX]x(t)的矩陣[WTHX]K[WTBX]，使得控制性能指標(biāo)J=∫∞0(xT[WTHX]Q[WTBX]x+uT[WTHX]R[WTBX]u)dt達(dá)到最小，其中[WTHX]Q[WTBX]為正定(或半正定)厄米特或?qū)崒?duì)稱矩陣，[WTHX]R[WTBX]為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱矩陣，[WTHX]Q[WTBX]和[WTHX]R[WTBX]分別表示了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性，[WTHX]Q[WTBX]中對(duì)角矩陣的各個(gè)元素分別代表各項(xiàng)指標(biāo)誤差的相對(duì)重要性。

根據(jù)期望性能指標(biāo)選取[WTHX]Q[WTBX]和[WTHX]R[WTBX]，利用Matlab命令LQR就可以得到反饋矩陣[WTHX]K[WTBX]的值。LQR函數(shù)允許選擇兩個(gè)參數(shù)－[WTHX]R[WTBX]和[WTHX]Q[WTBX]，這兩個(gè)參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。在本實(shí)例中，我們選取[WTHX]R[WTBX]=1。

6 兩種控制策略的Matlab仿真結(jié)果的比較

為了觀測(cè)方便，我們只選取小車的位置曲線進(jìn)行一對(duì)一的比較。根據(jù)計(jì)算出來的反饋矩陣[WTHX]K[WTBZ]值，利用Matlab能夠很方便地進(jìn)行相應(yīng)的仿真。在仿真中，通過比較兩種控制策略的輸出曲線來得出相關(guān)的結(jié)論。

極點(diǎn)配置法中，得到的仿真結(jié)果見圖1。

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從仿真結(jié)果可以看出極點(diǎn)配置法和LQR法對(duì)小車的位置都有良好的控制效果，經(jīng)過較短的過渡過程，小車能夠保持穩(wěn)定。將圖1和圖2進(jìn)行比較，很容易看出，圖2中[CM(23*2]的曲線比圖1中的曲線要平滑得多，LQR法比極點(diǎn)配置

法有較小的超調(diào)量，振蕩也較小。但是LQR法的反應(yīng)較遲緩，過渡過程較長(zhǎng)，沒有極點(diǎn)配置法來得迅速。

從兩種控制策略的仿真控制效果來看，極點(diǎn)配置法具有較優(yōu)的魯棒性及瞬態(tài)特性，LQR法的魯棒性及瞬態(tài)性較差，但是LQR法具有較優(yōu)的穩(wěn)態(tài)特性，則極點(diǎn)配置法較差。這是因?yàn)長(zhǎng)QR綜合考慮了各個(gè)狀態(tài)量在輸入控制量下的變化規(guī)律，從而保證了良好的穩(wěn)態(tài)效果，但是犧牲了系統(tǒng)的魯棒性和瞬態(tài)性。極點(diǎn)配置法雖然能夠通過選擇合適的期望閉環(huán)極點(diǎn)達(dá)到良好的控制效果，但是這樣主要是依靠工程師的經(jīng)驗(yàn)來選擇期望的極點(diǎn)，因此極點(diǎn)配置法就沒有LQR法方便和簡(jiǎn)單。

7 結(jié) 語

本文通過Matlab仿真驗(yàn)證了極點(diǎn)配置法和線性二次最優(yōu)控制策略的LQR法的有效性。同時(shí)對(duì)這兩種控制策

略進(jìn)行了深入的比較，給出極點(diǎn)配置法更適合應(yīng)用到要求快速響應(yīng)的控制系統(tǒng)中，而LQR法更適合應(yīng)用到對(duì)穩(wěn)態(tài)性能要求較高的控制系統(tǒng)中。綜合各項(xiàng)性能指標(biāo)來比較兩種控制策略，LQR法在總體上還是優(yōu)于極點(diǎn)配置法。以后的研究工作可以通過改進(jìn)LQR法來提高其魯棒性和瞬態(tài)性，使其具有更好的控制效果。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］叢爽，李澤湘.實(shí)用運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2006.

［2］固高公司.固高教學(xué)產(chǎn)品Matlab實(shí)時(shí)軟件用戶手冊(cè)控制[Z].2004.

［3］胡壽松.自動(dòng)控制原理[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1990.

［4］王孝武.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1998.

［5］王正林，王勝開，陳國(guó)順.Matlab/Simulink與控制系統(tǒng)仿真[M].北京:電子工業(yè)出版社，2005.

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作者簡(jiǎn)介 潘 健 男，1961年出生，上海人，湖北工業(yè)大學(xué)副教授。主要研究方向?yàn)榭刂评碚摗?/p>

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>