摘 要：以二階、三階基函數(shù)為例，應用高階有限元-邊界積分法分析了二維散射體電磁散射特性。計算了幾種二維方柱(導體和介質)的雷達散射截面，結果與矩量法一致，對三種數(shù)值結果進行了誤差分析。結果表明：高階有限元-邊界積分法比一階有限元-邊界積分法有著更高的計算精度、收斂速度和計算效率。

關鍵詞：高階有限元;邊界積分法;二維散射體;雷達散射截面

中圖分類號：TN82 文獻標識碼：B

文章編號：1004373X(2008)0500104

Application of High-order Finite Element-Boundary Integral

Method to 2D Scattering Problems

LIU Yao，PANG Yanhong，WU Xianliang

(Department of Electronic Science and Technology，Anhui University，Hefei，230039，China)

Abstract：Using the second-order and third-order basic functions，the high-order Finite Element Method (FEM) in conjunction with Boundary Integral Method (BIM) is used to analyze electromagnetic scattering characteristics of two-dimensional objects.As the examples，the Radar Cross Sections (RCS) of some two-dimensional square cylinders(conductor and dielectric) are calculated，the results agree well with those obtained by Method of Moments (MOM).The error of result is analyzed.Compared with first-order FEM-BIM，numerical results suggest that the high-order FEM-BIM has higher precision，faster convergence rate and more efficiency.

Keywords：high-order finite element;boundary integral method;two-dimensional objects;radar cross section

1 引 言

有限元法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值方法，他于20世紀40年代提出，隨著計算機技術的迅速發(fā)展，已被廣泛地應用在結構分析、機械制造、建筑設計、電磁分析等領域。由于他對場域的剖分具有很大的靈活性，因此對不規(guī)則、非均勻的物體具有廣泛的適用性，而且形成的矩陣為稀疏矩陣，人們可以利用這一特點快速求解含未知量的稀疏矩陣方程 [1，2]。但有限元在分析開域問題時遇到困難，因為區(qū)域的無限大，有限元剖分時將有無窮多個節(jié)點，所形成的矩陣方程將很難求解^[3]。多年來對于二維開域問題的研究概括起來主要分為兩大類^[4-8]：一類是利用吸收邊界條件或完全匹配層技術將無限大空間截斷，使原散射問題限制在被研究物體周圍一個有限的范圍內，然后采用有限元進行分析；第二類是應用矩量法或邊界積分方法來處理柱體外的無限大空間，柱體所在區(qū)域采用有限元法來分析。第一種方法缺點在于擴大了研究區(qū)域，產生了較多的節(jié)點數(shù)，特別是吸收邊界的形狀以及他與散射體間的距離對于解的精度有很大影響。第二種方法精度較高，產生的節(jié)點數(shù)較少，但生成的是部分稀疏，部分滿秩的矩陣，如果能夠快速求解該方程，則該方法有著較好的應用前景，特別對于電尺寸較大的散射體。

本文在已有文獻工作的基礎上，應用高階有限元-邊界積分法分析二維散射體的電磁散射特性。對散射體內、外區(qū)域分別應用高階有限元和邊界積分法進行分析。然后通過場的連續(xù)性進行耦合，形成待求矩陣方程組，求解該方程組，獲得每個結點的場值，進一步求解雷達散射截面。作為算例，分別應用二階和三階有限元-邊界積分法計算了幾種二維方柱(導體和介質)的雷達散射截面，并將結果與矩量法的數(shù)值結果作了誤差分析。數(shù)值結果表明，高階有限元-邊界積分法較之一階線性有限元-邊界積分法有著更高的計算精度、收斂速度和更高的計算效率。

2 理論分析

2.1 高階插值基函數(shù)

傳統(tǒng)的線性(一階)有限元-邊界積分法的缺點在于精度較低，對一定的單元或結點數(shù)，解的收斂性較慢。獲得較高精度而不增加結點數(shù)的一個有效方法是應用高階插值函數(shù)，下面將討論以Lagrange插值法為基礎的高階插值函數(shù)的建立過程。

首先介紹高階三角形單元插值函數(shù)的建立。Lagrange的k次多項式插值需要12(k+1)(k+2)項，需要12(k+1)(k+2)個結點。按照三角形各邊的k等分點以及他們連線的交點作為結點，可以建立如圖1所示的各階三角形插值單元。設三角形單元e=ΔP

為了離散式(4)，散射體區(qū)域被高階三角形單元劃分為M個小單元(對于導體來說，需要在離導體目標0.1個波長到0.2個波長的外圍區(qū)域建立新的虛構邊界，離散區(qū)域是新的虛構邊界到導體邊界的區(qū)域)。相應地，虛構邊界Γ被分成Ms個小線段。對每個三角形單元和線段進行高階基函數(shù)插值后代入式(4)，并利用變分法，再對所有矩陣單元進行組合，可得到下面的矩陣方程:

上式中矩陣[P′]，[Q]，的具體計算公式參見文獻［12］，顯然方程組(9)含有Ms個方程。方程組(5)和(9)可以構成一個完備的方程組，是一個稀疏度較低的矩陣方程。通過求解這個完備的方程組可以得到每個結點的

Φ值和虛構面上每個結點的Ψ值。進一步雷達散射截面的計算公式可參考文獻[12]。

3 計算實例

為了驗證高階有限元-邊界積分法理論的正確性和優(yōu)越性，首先計算邊長為2個波長的導體方柱對EZ極化平面電磁波的散射(入射場為e－jk0x)。計算過程中一階方法，剖分精度為λ/20，二階方法，剖分精度為λ/10，三階方法，剖分精度為λ/6，這樣未知量個數(shù)基本相同。圖2給出了一階、二階、三階算法的RCS與矩量法數(shù)值結果的對比。圖3給出了一階、二階、三階算法的RCS與矩量法數(shù)值結果誤差的比較。

表1給出計算導體方柱RCS在相同誤差精度條件下，3種方法所需的未知量個數(shù)、占用的內存比較。通過比較可以清楚的看到，在相同誤差精度條件下，二階方法比一階方法節(jié)省了約89%的內存，三階方法更是節(jié)省了約96%的內存。本文中的全局誤差由公式計算得出:

表2給出在需要相同求解未知量個數(shù)條件下，3種方法的全局誤差比較和CPU時間比較。通過比較可以看到，在相同求解未知量個數(shù)條件下，二階方法節(jié)省了約57%的時間，且精度高。三階方法則給出了更高的精度，節(jié)省了約75%的計算時間。

電磁波的散射(入射場e－jk0x)。本算例采用三階基函數(shù)方法，剖分精度為每個波長剖分6段，有3 721個未知量，耗時7-3 s。因為計算機內存的限制，一階方法無法快速有效地計算電尺寸稍大的目標。本算例充分體現(xiàn)了高階基函數(shù)的優(yōu)越性。圖6是5個波長的導體方柱的RCS，并與矩量法的結果做了比較。

4 結 語

采用高階插值基函數(shù)離散有限元方程和邊界積分方程，構成高階有限元-邊界積分法，計算了典型二維散射體的雷達散射截面， 與矩量法的數(shù)值結果比較和一系列的誤差分析表明了高階有限元-邊界積分法較之一階方法有更高的計算精度、收斂速度和計算效率。由于高階方法允許更大的剖分網格，因此在分析電尺寸較大的散射體時有高效快速的優(yōu)勢。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”