摘 要：針對Shannon采樣定理只能處理帶限信號和要求采樣率不低于Nyquist率的缺陷，研究了小波空間中的一種非均勻周期采樣理論，給出了定理成立的條件及其突破Nyquist率限制的理論依據(jù)，將采樣理論擴展到了非帶限信號領(lǐng)域。對于緊支尺度函數(shù)張成的子波空間中的任意信號，可以利用非均勻周期采樣所得的樣本以及正交鏡像濾波器理論求出其小波系數(shù)的估計值，進而得到信號的重建表達式。該方法在信號重建的過程中用到的全是有限沖擊響應(yīng)濾波器，避免了無限沖擊響應(yīng)濾波器的出現(xiàn)， 降低了實際物理實現(xiàn)的難度。計算機仿真結(jié)果表明該方法是切實有效的，信號重建的相對誤差小于1%。

關(guān)鍵詞：采樣理論；小波空間；非均勻采樣；非帶限信號；尺度函數(shù)

中圖分類號：TN911.7 文獻標識碼：B 文章編號：1004373X(2008)1701803

Nonuniform Periodic Sampling Theory in Wavelet Space Based on FIR Filter

TAN Xueqin，WANG Jianxin，LIU Zhong，JIANG Liping

(School of Electronic Engineering Optoelectronic Technology，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，210094，China)

Abstract：Aiming at the drawback that Shannon theory can only process bandlimited signals and it requires the sampling rate is not less than Nyquist rate，this paper studies a nonuniform periodic sampling theory in wavelet space，then presents the precondition and theory base beyond the Nyquist rate.Sampling theory to the non-bandlimited signal field is enlarged.For any signal in the space spanned by compactly supported scaling function，its wavelet coefficients can be estimated by the nonuniform periodic samples and the quadrature mirror filter theory，then its reconstruction expression is gained.Only the finite impulse response filters but not the infinite impulse response filters are used in this method，which reduced the difficulty of physical realization.The simulation results indicate that the method is so effective that its relative reconstruction error is less then 1%.

Keywords：sampling theory;wavelet space;nonuniform sampling;non-bandlimited signals;scaling function

采樣定理是數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)。1948年Shannon提出了經(jīng)典的采樣理論^［1］，Shannon采樣定理揭示了帶限信號應(yīng)遵循的規(guī)律。然而，Shannon采樣定理有兩點限制：一是只能處理帶限信號；二是采樣率要求不低于Nyquist率。但是，在實際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到非帶限信號，因此，研究適合處理非帶限信號的采樣定理十分必要。

繼Shannon采樣定理之后，許多數(shù)學(xué)家研究了Shannon采樣定理的各種推廣形式，其中特別值得注意的是1992年Walter考察了小波函數(shù)的性質(zhì)，認識到Shannon插值函數(shù)sinc(t)實際上是多分辨空間的尺度函數(shù)，將Shannon采樣定理推廣到小波子空間的采樣定理^［2］。后來通過對小波采樣理論的研究，人們發(fā)現(xiàn)Nyquist率并不是信號采樣的一個必要條件，而且即便非帶限信號也是有可能通過樣本無失真重建的。但是小波采樣定理的處理過程中，有可能會出現(xiàn)無限沖擊響應(yīng)(Infinite Impulse Response，IIR)濾波器，這給小波定理的具體實現(xiàn)造成了很大的困難^［3］?；诖?，本文研究了一種小波空間的非均勻周期采樣理論，可以有效地解決該問題，使小波采樣定理得以拓展，并得到了更加廣泛的應(yīng)用。

1 小波采樣定理

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